Economía
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Cómo eligen las personas, las empresas y los países cuando no pueden tenerlo todo, y cómo saber qué causó qué.


Step 1. Cálculo: pendientes, totales y el puente entre ambos
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Why: Los márgenes son derivadas: la economía estudia "uno más".
El velocímetro de tu auto es una derivada. Su odómetro es una integral. Todo lo que enseña un primer curso de cálculo es una forma de ir y venir entre los dos, y el "uno más" de la economía vive en el mismo puente.

Mira el tablero de un auto. El odómetro dice cuánto has recorrido en total. El velocímetro dice con qué rapidez cambia ese total ahora mismo. Pisas el acelerador y el velocímetro se mueve primero; el odómetro lo sigue, un poco atrás, como un contador paciente que suma lo que el velocímetro fue informando.
  Nadie le dio al velocímetro una regla ni un reloj para mirar todo el viaje. Lee un solo instante. Y aun así informa una tasa, que es una afirmación sobre el cambio, a partir de un único momento. ¿Cómo puede un instante decir algo sobre el cambio? Ese enigma es la razón de ser del curso, y la respuesta resultó ser el motor de buena parte de la ingeniería, la informática y la economía modernas.
  En economía el mismo enigma se llama "el margen". ¿Cuánto cuesta producir una unidad más? ¿Cuánto más ganas si vendes un poco más? ¿A qué ritmo suben los precios ahora? Son derivadas con otro nombre. Por eso casi toda carrera de Economía, de Administración y de Ingeniería empieza aquí.
  Esta es la segunda vez que la biblioteca se encuentra con el cálculo. Cálculo: derivadas, integrales y el lenguaje del movimiento (en inglés, 12/11) es una primera lectura más fácil, con la recta tangente y la suma de rectángulos. Aquí damos un paso más: qué te entrena a ver el curso, cómo se equivoca una computadora (o un ordenador, en España) y dónde se usa la idea después, empezando por el costo marginal de un negocio.

  
    La materia en una caja
    Quién la cursa: los estudiantes de primer año de Economía, Administración, Ingeniería, Informática y casi cualquier otra carrera de ciencias. En Economía es la materia que vuelve exacta la idea de "uno más". Según el país se llama Cálculo I, Cálculo diferencial e integral, Análisis matemático I o Matemáticas I.
    Para qué sirve: convertir "¿cuánto?" en "¿con qué rapidez?" y de vuelta, de modo que el cambio se pueda calcular en vez de adivinar.
    Viene después de: nada en esta serie. Solo supone álgebra y un poco de trigonometría.
    Lleva a: Cálculo multivariable (34/33), Álgebra lineal (34/34), Microeconomía (34/14), Macroeconomía (34/35), Econometría (34/36), Probabilidad y estadística (34/19), Ecuaciones diferenciales (en inglés, 34/03), Física I: mecánica (en inglés, 34/06) y, desde ellas, casi todo lo demás de estas carreras.
    Una línea honesta: después de esta pieza no sabrás derivar a mano una fórmula difícil. Sí verás por qué un tramo plano de una curva es donde se esconde la mejor respuesta, por qué el área bajo una tasa es un total y por qué "ingreso marginal igual a costo marginal" es una frase de cálculo.
  

  Un límite es el lugar donde se asienta un cálculo
  El enigma del velocímetro es este. La velocidad es distancia dividida entre tiempo, pero en un instante no pasa tiempo ni se recorre distancia, así que parece que divides cero entre cero. La salida es dejar de preguntar qué pasa en cero y preguntar hacia dónde se asienta una sucesión de respuestas cada vez mejores. Mide durante un segundo, luego una décima, luego una centésima, y mira cómo la velocidad media se acerca a un número. Ese número es el límite.
  velocidad ahora = límite de (cambio de distancia ÷ cambio de tiempo) cuando el cambio de tiempo se encoge hasta 0
  Un graduado no carga con la definición formal, pero sí con el hábito: si una cantidad parece 0 ÷ 0, pregunta a qué se acerca. Toma sen(x) ÷ x cuando x tiende a cero, con x en radianes. En x = 0.1 vale 0.99833; en 0.01, 0.99998; en 0.001, 0.9999998. Nunca "es" 1 en cero, porque ahí no está definida, pero se asienta en 1. Ese único límite es la razón de que la derivada del seno resulte ser el coseno.

  
    Interactivo · Encoge la brecha hasta que la computadora se rinda
    Estimamos la pendiente de ex en x = 1 con (e1+h − e) ÷ h. La pendiente verdadera es e = 2.718281828459045. Haz más pequeña la brecha h.
    Brecha h = 10−k
      
    
    
  
  El error cae a medida que la brecha se encoge, como promete el límite, hasta cerca de h = 10−8, donde toca fondo en torno a 7 × 10−9. Si la encoges más, empeora: los dos valores que se restan coinciden en casi todos sus aproximadamente 16 dígitos guardados, y la resta borra la información. En 10−16 el resultado es exactamente 0. Es una lección de informática escondida en un curso de cálculo: el límite es una idea matemática, y una máquina solo puede acercarse hasta cierto punto.

  La derivada es una pendiente, y una pendiente es una tasa
  Acércate a cualquier curva suave y se endereza. La inclinación de ese tramito recto es la derivada. En palabras simples: cuánto se mueve la salida por cada empujoncito de la entrada. Si la curva es distancia contra tiempo, la derivada es la velocidad. Si es temperatura contra posición, es qué tan bruscamente se calienta al caminar. Si es el costo total contra las unidades producidas, es el costo de la siguiente unidad. Tasa y pendiente son una sola cosa vista de dos maneras.
  f′(x) = límite de [f(x+h) − f(x)] ÷ h cuando h → 0
  El verdadero capital del graduado no es calcular derivadas sino leerlas. Donde la curva sube, la derivada es positiva. Donde es plana, la derivada es cero. Donde la curva es más empinada, la derivada está en su máximo. Pruébalo: la gráfica de abajo es la derivada de la de arriba, dibujada punto por punto.

  
    Interactivo · Una curva y su pendiente, lado a lado
    
      x³ − 3x
      sen x
      campana: e^(−x²)
    
    Posición x
      
    
    
  
  Revisa las tres curvas. Cada vez que la de arriba llega a una cima o a un valle, la de abajo cruza el cero. Cada vez que la de arriba va subiendo, la de abajo está sobre el eje. Para x³ − 3x la pendiente es 3x² − 3, que vale cero en x = −1 y en x = 1: la cima de la loma y el fondo del valle.
  Una advertencia útil para quien lee noticias económicas. Una tasa casi siempre se expresa en relación con el nivel: la inflación anual no es "cuántos pesos subió el índice de precios", sino cuánto subió por cada unidad que ya valía. En símbolos, es la derivada del nivel dividida entre el nivel. Esa pequeña división explica por qué una inflación constante, aunque parezca modesta, duplica los precios en un tiempo predecible: con 7% anual, los precios se duplican en ln 2 ÷ ln 1.07 ≈ 10.2 años, y con 14% anual, en ≈ 5.3 años. Y explica por qué ex aparece en el interés compuesto continuo: es la función cuya pendiente es ella misma, la que crece a una tasa proporcional a lo que ya tiene.

  La regla de la cadena: las tasas se multiplican a lo largo de una cadena
  Las tasas suelen venir en cadenas. Los pedales de una bicicleta mueven el plato, la cadena mueve la rueda trasera, la rueda mueve la bicicleta. Si la rueda da 3 vueltas por cada vuelta de pedal, y la bicicleta avanza 2 metros por cada vuelta de rueda, la bicicleta avanza 6 metros por vuelta de pedal. Se multiplican las razones. Esa es la regla de la cadena, y es la regla más usada del curso.
  d(exterior)/d(entrada) = d(exterior)/d(intermedio) × d(intermedio)/d(entrada)
  El caso clásico es un globo. Su volumen depende de su radio, y el radio depende del tiempo. A radio r la superficie tiene área 4πr², así que un centímetro más de radio añade una cáscara de volumen cercano a 4πr² cm³: eso es dV/dr. Multiplícalo por la rapidez con que crece el radio y tendrás la rapidez con que crece el volumen. Con r = 10 cm, creciendo 2 cm por segundo, el volumen crece a 4π × 100 × 2 ≈ 2,513 cm³ por segundo. Mueve los deslizadores y compruébalo.

  
    Interactivo · Infla un globo
    Radio ahora
      
    El radio crece a
      
    
    
  
  El dibujo muestra por qué funciona: la cáscara sombreada es lo que agrega un segundo, una piel de área 4πr² y de grosor igual al crecimiento del radio. La misma regla corre dentro de toda red neuronal, donde la "cadena" tiene decenas de capas y la multiplicación se llama retropropagación (Aprendizaje automático, 34/30; Cálculo multivariable, 34/33). En economía, la cadena es cualquier efecto indirecto: un cambio en el precio del petróleo mueve el costo del transporte, que mueve el precio de los alimentos; la tasa total es el producto de las tasas intermedias.

  Donde la pendiente es cero, algo es lo mejor
  En la cima de una colina dejas de subir y todavía no empiezas a bajar. La pendiente es cero. Así que para hallar el mayor o el menor valor de cualquier cosa suave (lo más resistente, lo más barato, lo más ligero, lo más rápido) busca dónde su derivada vale cero. Eso es la optimización, y es la razón por la que a ingenieros y economistas les encanta la derivada.
  Toma una lámina de cartón de 30 cm por 20 cm. Recorta un cuadrado de lado x en cada esquina y dobla los lados para formar una caja abierta. Su volumen es V = x(30 − 2x)(20 − 2x). Si cortas muy poco, la caja queda baja. Si cortas demasiado, queda angosta. En medio hay una x óptima, y la pendiente te dice dónde: en x ≈ 3.92 cm el volumen alcanza su máximo, de unos 1,056 cm³.

  
    Interactivo · La mejor caja
    Corte en la esquina x
      
    Ir al punto plano
    
    
  
  Fíjate en lo que hace la pendiente mientras arrastras. A la izquierda de la cima la pendiente es positiva, así que conviene un corte mayor. A la derecha es negativa, así que conviene uno menor. En la cima vale cero y nada cercano es mejor. El descenso del gradiente, el algoritmo que entrena los modelos de aprendizaje automático, es exactamente este razonamiento repetido: mira la pendiente, da un paso cuesta abajo, repite.
  Ahora el mismo razonamiento en un negocio. Un taller de cerámica vende q tazas por semana. Para vender más tiene que bajar el precio: cobra p = 20 − 0.05q dólares por taza, así que su ingreso es R(q) = 20q − 0.05q². Producir cuesta un fijo de 200 dólares a la semana más un costo que sube a medida que el taller se aprieta: C(q) = 200 + 4q + 0.02q². La ganancia es R − C = 16q − 0.07q² − 200, y su pendiente es el ingreso marginal (20 − 0.1q, lo que trae la siguiente taza) menos el costo marginal (4 + 0.04q, lo que cuesta la siguiente taza). Mientras la siguiente taza traiga más de lo que cuesta, conviene hacerla; la ganancia es máxima justo donde ambos se igualan, en q = 16 ÷ 0.14 ≈ 114.3 tazas.

  
    Interactivo · Ingreso marginal contra costo marginal
    Un negocio ilustrativo: los números son inventados, en dólares por semana.
    Tazas producidas por semana q
      
    Ir al máximo
    
    
  
  Es la regla que todo curso de microeconomía repite, "ingreso marginal igual a costo marginal", y ahora la ves como lo que es: ganancia con pendiente cero. Tiene una versión honesta para la vida real: casi nadie conoce sus curvas con esta exactitud, pero quien piensa en el margen (¿lo que traería una unidad más supera lo que cuesta?) está haciendo cálculo aunque no escriba una derivada.

  La integral suma una tasa para obtener un total
  El odómetro es el velocímetro sumado a lo largo del tiempo. Dibuja la velocidad contra el tiempo; el área entre la curva y el eje del tiempo es la distancia. Esa es la integral. Donde se conozca una tasa y se quiera un total (litros por minuto que entran a un tanque, vatios que entran a una batería, ventas por día que suman un mes, el costo marginal que suma el costo total) la respuesta es un área.
  Inténtalo antes de seguir leyendo. Un auto acelera de forma constante de 0 a 20 m/s en 10 segundos, avanza a 20 m/s durante 30 segundos y luego frena de forma constante hasta detenerse en 10 segundos. ¿Qué distancia recorrió?

  
    Interactivo · Predice y luego revela
    
      600 m
      800 m
      1,000 m
      1,200 m
    
    
    Elige una respuesta.
  
  La forma son dos triángulos y un rectángulo: ½ × 10 × 20 + 30 × 20 + ½ × 10 × 20 = 100 + 600 + 100 = 800 m. El error más común, 1,000 m, usa la velocidad máxima durante los 50 segundos y olvida que el auto pasa un rato más lento que eso.

  El teorema fundamental: dos trabajos, una sola idea
  Aquí está la sorpresa que convierte el curso en una sola materia. Arma un total acumulado a partir de una tasa: lo que hay en el tanque después del tiempo T. Luego pregunta con qué rapidez crece ese total en T. La respuesta es simplemente la tasa en T. Acumular y derivar se deshacen mutuamente, como el odómetro y el velocímetro. Newton y Leibniz, trabajando por separado a fines del siglo XVII, lo vieron cada uno.
  si A(T) = área bajo la tasa hasta T, entonces A′(T) = la tasa en T
  Su poder práctico es que puedes hallar un total sin sumar nada: encuentra una función cuya pendiente sea tu tasa y resta sus valores en los dos extremos. Abajo, el agua entra a un tanque a un ritmo que ondula: 4 + 3 sen(t/2) litros por minuto. Arrastra el tiempo y mira la gráfica de la derecha, el total del tanque, que se empina justo cuando la tasa de la izquierda es alta.

  
    Interactivo · El tanque y su tasa
    Tiempo T
      
    
    
  
  La lectura comprueba el teorema de dos maneras: el área sumando 600 rebanadas delgadas, y la fórmula exacta 4T + 6(1 − cos(T/2)). En T = 12 minutos ambas dan 48.24 litros. La pendiente del total en ese momento es 4 + 3 sen 6 ≈ 3.16 litros por minuto, la tasa en ese momento.

  Todo lo suave es casi una recta
  El último hábito es el más útil en la ingeniería de todos los días. Cerca de cualquier punto, una curva suave es casi su recta tangente, así que puedes reemplazarla por una recta y acertar casi. La regla del ángulo pequeño sen x ≈ x es la razón de que un péndulo oscile a un ritmo constante. La regla √(1 + x) ≈ 1 + x/2 da raíces cuadradas mentales: √1.1 ≈ 1.05, valor verdadero 1.0488. En economía es el pan de cada día: un cambio pequeño de precio mueve la cantidad aproximadamente en proporción, y de ahí sale la elasticidad.
  f(a + x) ≈ f(a) + f′(a) · x   (buena cuando x es pequeña)
  ¿Qué tan pequeña es pequeña? El error se encoge más rápido que el paso. Si reduces el paso a la mitad, el error cae unas cuatro veces para √(1 + x) y ex, y unas ocho veces para el seno.

  
    Interactivo · ¿Qué tan buena es la recta?
    
      sen x ≈ x
      √(1+x) ≈ 1 + x/2
      eˣ ≈ 1 + x
    
    Paso x desde el punto
      
    
    
  

  Lo que un graduado ve sin pensarlo
  
    Una tasa y una pendiente son lo mismo, y "¿con qué rapidez?" siempre significa una derivada.
    Un total es el área bajo una tasa, y sumar rebanadas delgadas es un cálculo, no un misterio.
    Las tasas se multiplican a lo largo de una cadena: engranajes, unidades, capas de una red, efectos indirectos en una economía.
    El mejor valor de una cantidad suave está donde su pendiente es cero; en un negocio, donde el ingreso marginal iguala al costo marginal.
    Derivar y acumular son trabajos inversos, así que muchas veces un total se encuentra sin sumar.
    Una tasa de inflación o de crecimiento es una derivada dividida entre el nivel.
    De cerca, todo lo suave es una recta, y los ingenieros y los economistas lo aprovechan constantemente.
    Restar dos números casi iguales en una computadora destruye precisión, así que una estimación ingenua de la pendiente empeora cuando la brecha se vuelve demasiado pequeña.
  

  Dónde aparece después
  
    Microeconomía (34/14): costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal y elasticidad son derivadas; la regla "marginal igual a marginal" es la de la caja de arriba.
    Cálculo multivariable (34/33): la misma optimización con muchas variables a la vez, como elegir la mejor canasta con un presupuesto.
    Macroeconomía (34/35): crecimiento, inflación y desempleo son tasas de cambio; los modelos de crecimiento son ecuaciones sobre tasas.
    Econometría (34/36) y Probabilidad y estadística (34/19): la probabilidad de un intervalo de resultados es el área bajo una curva de densidad, y la mejor recta por los datos se halla igualando una derivada a cero.
    Ecuaciones diferenciales (en inglés, 34/03) y Física I: mecánica (en inglés, 34/06): cuando una ley está escrita como tasa, resolverla es integrar; la velocidad es la derivada de la posición.
    Aprendizaje automático (34/30): los modelos se entrenan siguiendo pendientes cuesta abajo.
  

  Si quieres profundizar
  
    🌐 Gratis, en español. OpenStax, Cálculo, volumen 1: un libro de texto completo y gratuito, con funciones, límites, derivadas e integrales. Y el curso Cálculo I (2021), de la Universidad de Cantabria, en su OpenCourseWare: números, funciones de una variable, series, integración y funciones de varias variables, con ejercicios.
    📘 Libro de texto. James Stewart, Daniel Clegg y Saleem Watson, Cálculo de una variable: trascendentes tempranas (Cengage, 2021; primera edición en español, que corresponde a la novena en inglés). El texto más asignado; muy bueno en ejemplos resueltos y en problemas.
    ▶️ Más amable (en inglés). La serie Essence of Calculus de Grant Sanderson (3Blue1Brown), un recorrido visual por las mismas ideas. Y de Steven Strogatz, Infinite Powers, para la historia.
    🌐 Curso de bajo costo, en español. 1.- El Cálculo - Modelo Lineal, del Tecnológico de Monterrey: un repaso de la base (funciones lineales y razón de cambio) antes del cálculo propiamente dicho (Coursera: inscribirse es gratis; el acceso completo a materiales y tareas es de pago, con prueba gratuita). También gratis y en inglés: MIT OpenCourseWare 18.01SC Single Variable Calculus, con videos, notas y problemas.
  

  
    Para llevar
    El cálculo I enseña dos movimientos y un puente. La derivada convierte un total en una tasa (una pendiente); la integral convierte una tasa en un total (un área); y el teorema fundamental dice que se deshacen mutuamente. De ahí salen los hábitos mentales: encadenar tasas, buscar la pendiente cero para hallar lo mejor y tratar lo suave como rectas de cerca. Nuestra estimación de la pendiente de ex fue mejor cerca de una brecha de 10−8 e inútil en 10−16, un recordatorio de que las ideas son exactas y las máquinas no.
    Prueba esto: la próxima vez que vayas en un auto o en bicicleta, mira el velocímetro y pregunta qué significa el área bajo su historia. Luego, en una cuesta, busca el punto donde la calle es plana: ahí hay una derivada igual a cero. Y piensa en la última cosa que compraste: ¿la unidad siguiente habría valido su precio? Esa es una pendiente.
  

  
    Fuentes y para profundizar
    Fuentes. Todos los números de los interactivos se calcularon en node: el error de diferencia hacia adelante de ex en x = 1 para h = 10−1 hasta 10−16 (mejor 6.6 × 10−9 en 10−8, exactamente 0 en 10−16, en doble precisión IEEE); sen(x)/x en 0.1, 0.01 y 0.001; la caja V(x) = 4x³ − 100x² + 600x, pendiente cero en x = (50 − √700)/6 = 3.9237, V = 1,056.3 cm³; el globo 4π × 10² × 2 = 2,513.27 cm³/s; el auto, 800 m; el tanque, A(12) = 48.239 L; los errores de paso pequeño de las tres aproximaciones. El taller de cerámica es un ejemplo inventado: ganancia 16q − 0.07q² − 200, máxima en q = 114.29 (714.29 dólares); con tazas enteras, 114 da 714.28 y 115 da 714.25. Tiempos de duplicación: ln 2 ÷ ln 1.07 = 10.24 años y ln 2 ÷ ln 1.14 = 5.29 años. Las ediciones de libros y los cursos se comprobaron en las páginas de las editoriales y de las instituciones (Cengage Latinoamérica, OpenStax, OpenCourseWare de la Universidad de Cantabria, Coursera y MIT OpenCourseWare). Adaptada de la pieza en inglés Calculus I.
    
      🌐 OpenStax: Cálculo, volumen 1 (gratis)
      🌐 Universidad de Cantabria, OpenCourseWare: Cálculo I (2021) (gratis)
      🌐 Tecnológico de Monterrey en Coursera: 1.- El Cálculo - Modelo Lineal (de bajo costo)
      🌐 MIT OpenCourseWare 18.01SC Single Variable Calculus (gratis, en inglés)
      ▶️ 3Blue1Brown: Essence of Calculus (en inglés)
      📘 Stewart, Clegg y Watson, Cálculo de una variable: trascendentes tempranas (Cengage)
      📘 Steven Strogatz, Infinite Powers (en inglés), una historia divulgativa del cálculo
    
  

  
    Para tu español
    
      derivada (derivative) · pendiente (slope) · tasa de cambio (rate of change) · límite (limit) · integral (integral) · regla de la cadena (chain rule) · costo marginal (marginal cost) · ingreso marginal (marginal revenue) · máximo (maximum) · área bajo la curva (area under the curve)


Step 2. Microeconomía: por qué nada es gratis y cada precio es un mensaje
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Why: Oferta, demanda, incentivos y cuándo fallan los mercados: la caja de herramientas de todo lo demás.
Todo cuesta lo que dejaste de tener, las decisiones se toman un paso a la vez, y un precio es la señal que hace cooperar a extraños. Hasta que está mal, y entonces puedes ver cuánto.

Una cafetería sube su café con leche de 45 a 48 pesos y, de algún modo, sigue llena. Una aplicación de transporte duplica sus tarifas cuando llueve y, diez minutos después, hay más coches en la calle. Una ciudad empieza a cobrar a los autos por entrar al centro, y el tráfico se afloja sin una sola regla nueva sobre quién puede manejar. Nadie dio una orden. Un precio se movió, y miles de personas hicieron cada una algo pequeño, egoísta y sensato.
  Quien estudió economía mira esas tres escenas y ve las mismas pocas ideas trabajando: todo cuesta algo a lo que renunciaste, las decisiones se toman de una en una, y un precio es una señal que le dice a los compradores que se contengan y a los vendedores que aparezcan. Esa caja de herramientas es la microeconomía: cómo eligen las personas y las empresas, y qué pasa cuando esas elecciones se encuentran en un mercado. Es también la puerta más amable a toda la materia, porque ya la usas cada vez que compras.

  
    La materia en una caja
    
      Quién la cursaTodo estudiante de Economía, Administración o Marketing, normalmente en primer año como "principios de economía" y otra vez en segundo como "microeconomía intermedia", con cálculo. En la ruta de Derecho llega en el año 4, para entender el razonamiento económico que hay detrás de la regulación y la competencia. Las escuelas de negocios enseñan la misma caja de herramientas como "economía de la empresa" o "economía gerencial".
      Para qué sirvePara predecir cómo responden personas y empresas cuando cambian los precios, los impuestos, las reglas o los competidores, y para juzgar si el resultado es bueno para alguien más que para quienes hacen el trato.
      Viene después de:Cálculo (34/32): "uno más" es una derivada.
      Lleva a:Teoría de juegos (34/15), Economía conductual (34/27), Políticas públicas (34/16), Macroeconomía (34/35), Comercio y finanzas internacionales (34/38), Economía pública (34/37), Estrategia y competencia (34/43), Dirección de marketing (34/45) y Precios (34/48).
      Qué te da esta piezaNo sabrás estimar una curva de demanda con datos reales. Sí verás por qué un tope de precios produce filas, por qué un impuesto cuesta más de lo que recauda y por qué un mercado con cinco empresas se comporta distinto de uno con una. Lecturas más fáciles: De dónde sale el dinero de verdad y Poner precio sin miedo (en Empezar un Negocio) y Capitalismo: cómo los mercados, los precios y la propiedad privada organizan una economía (en inglés, 31/01). Esta pieza pone números y deslizadores en el mismo terreno. Todos los mercados de abajo son ilustrativos, no datos.
    
  

  Escasez y costo de oportunidad: el precio real es lo que dejas
  Los deseos no tienen techo; el tiempo, la tierra, el trabajo y el dinero sí. Esa brecha es la escasez, y hace de toda elección un intercambio. El precio honrado de cualquier cosa es su costo de oportunidad: lo mejor a lo que renunciaste para conseguirla. Una película de dos horas cuesta la entrada más todo lo demás que habrías hecho en esas dos horas. El mayor costo de una carrera suele ser el sueldo que no ganaste.
  Los economistas lo dibujan como una frontera de posibilidades de producción: lo máximo que puedes hacer de un bien por cada cantidad del otro. Se curva hacia afuera porque los recursos no sirven igual para todo. Los primeros campos que pasas del café al maíz son los más aptos para el maíz; los últimos son mala tierra de maíz (el café se da en altura, el maíz en llano). Por eso cada unidad extra cuesta más que la anterior. Ese costo creciente, y no una ley de la naturaleza, es lo que permite que los precios lleven información.
  
    Interactivo · La frontera de una finca
    Maíz cosechado
      
    
    
    Finca ilustrativa: café = 100 − maíz²/100. El costo de la siguiente unidad es café(ahora) − café(con una unidad más de maíz).
  
  Con 40 de maíz, la finca puede tener 84 de café. Una unidad más de maíz cuesta 0.81 de café. Con 80 de maíz, la misma unidad extra cuesta 1.61 de café, el doble. Nada empeoró: simplemente se acabaron los campos fáciles. Recuerda esta forma cuando alguien diga "hay que hacer más de eso".

  Pensar en el margen: solo importa la siguiente unidad
  La gente rara vez elige todo o nada. Elige uno más: una hora más de estudio, un pan más, un piso más en el edificio. El margen es el borde donde vive la decisión. La regla que se lleva un economista: sigue haciendo algo mientras su beneficio marginal sea al menos igual a su costo marginal, y para cuando la siguiente unidad costaría más de lo que aporta.
  haz más mientras  beneficio marginal ≥ costo marginalpara un vendedor que enfrenta un precio de mercado, el beneficio marginal es simplemente el precio
  Una panadería vende panes a precio fijo. El costo del siguiente pan sube a medida que el horno se llena y el personal pasa a horas extra (una ilustración, no una panadería real). El deslizador de abajo es la decisión de la dueña. Observa la joroba de la ganancia: la cima está exactamente donde el costo del siguiente pan alcanza al precio.
  
    Interactivo · ¿Cuántos panes?
    Precio por pan
      
    Panes horneados
      
    
    
    Ilustrativo: costo total = q + 0.05q², así que el siguiente pan cuesta cerca de 1 + 0.1q.
  
  A un precio de 6, la mejor producción es de 50 panes y la ganancia es de 125. Con 40 panes la dueña deja dinero sobre la mesa; con 60 hornea panes que cuestan más de lo que se venden. Un precio más alto sube la mejor producción: a 10, es de 90. Alinear cada precio con su mejor producción es exactamente cómo se construye una curva de oferta.

  Oferta y demanda: el precio que vacía el mercado
  La demanda dice que, en igualdad de condiciones, los compradores quieren menos a medida que sube el precio. La oferta dice que los vendedores ofrecen más (la panadería acaba de mostrar por qué). Dibuja ambas contra el precio y se cruzan en un punto: el precio de equilibrio, donde la cantidad que quieren los compradores iguala la que ofrecen los vendedores. Por encima hay excedente y los vendedores bajan precios; por debajo hay escasez y los compradores pujan. El precio es atraído al cruce sin que nadie lo fije.
  El hábito clave: separar moverse a lo largo de una curva (cambió el precio) de desplazarla (cambió otra cosa: gustos, ingreso, costo de los insumos, una helada). Prueba tres choques en un mercado cuyo punto de partida es precio 30, cantidad 40.
  
    Interactivo · Desplaza las curvas
    
      Reiniciar
      Sube la demanda (una moda)
      Baja la oferta (una helada)
      Ambas
    
    Desplazamiento de la demanda (unidades a cada precio)
      
    Desplazamiento de la oferta (unidades a cada precio)
      
    
    
    Ilustrativo: demanda Q = 100 − 2P, oferta Q = 2P − 20, desplazadas luego de lado.
  
  Una moda sube el precio (35) y la cantidad (50). Una helada sube el precio al mismo 35 pero recorta la cantidad a 30. Mismo precio, cantidades opuestas: quien sabe lee la cantidad para saber si se movió la demanda o la oferta. Cuando ambas se desplazan 20, el precio salta a 40 y la cantidad casi no cambia, porque los dos efectos sobre la cantidad se cancelan.

  Elasticidad: qué tan fuerte reaccionan los compradores
  Una subida de precio siempre baja la cantidad demandada. Lo que importa es cuánto. La elasticidad precio de la demanda es la caída porcentual de la cantidad por cada 1% que sube el precio. Si es menor que 1 en tamaño, la demanda es inelástica: los compradores se encogen de hombros (la sal, la insulina, la gasolina en el corto plazo). Si es mayor que 1, es elástica: los compradores se van (una marca de cereal, una comida en un restaurante).
  elasticidad = % de cambio en la cantidad ÷ % de cambio en el precioel ingreso de los vendedores sube con el precio si la demanda es inelástica, y baja si es elástica
  Un caso real: desde enero de 2014 México gravó las bebidas azucaradas con un peso por litro, que el estudio calcula en cerca de un 10% del precio, y los precios en tienda subieron en promedio exactamente un peso por litro. Las compras de las bebidas gravadas cayeron 6% en promedio durante 2014 (12% en diciembre de ese año) frente a lo esperado sin el impuesto, y 9.1% en promedio en los hogares de menor nivel socioeconómico (Colchero y colaboradores, BMJ, 2016). Eso es una elasticidad de unos 0.6 en el promedio del año, y de más de 1 hacia diciembre: la respuesta crece con el tiempo, y la de una marca concreta sería mayor que la de toda la categoría.
  
    Interactivo · ¿Qué hace una subida de 10% en el precio?
    
      Básico (0.3)
      Elasticidad unitaria (1)
      Comida en restaurante (2)
      Una sola marca (3)
    
    Elasticidad (tamaño)
      
    Precio
      
    
    
    Demanda ilustrativa de elasticidad constante: Q = 100 × (P ÷ 10)−e. Las elasticidades reales difieren según el mercado, el horizonte de tiempo y cuántos sustitutos haya.
  
  Con elasticidad 0.5, una subida de 10% recorta la cantidad cerca de 4.7% y sube el ingreso cerca de 4.9%. Con 2, la misma subida recorta la cantidad 17.4% y el ingreso 9.1%. Por eso un monopolista nunca cobra donde la demanda es inelástica: ganaría más cobrando más.

  El excedente y el triángulo que nadie entiende
  Un intercambio ocurre solo si mejora a ambos lados. El excedente del consumidor es la diferencia entre lo que un comprador habría pagado y lo que pagó. El excedente del productor es la diferencia entre lo que recibió un vendedor y lo mínimo que habría aceptado. En el mercado de arriba, cada uno vale 400, así que el total es 800. Un mercado competitivo, sin intervención y sin efectos sobre terceros, produce exactamente los intercambios que hacen ese total lo más grande posible.
  Ahora interviene. Un impuesto abre una cuña entre lo que pagan los compradores y lo que se quedan los vendedores, así que algunos intercambios que valían la pena ya no ocurren. Un tope de precios por debajo del equilibrio hace que los vendedores ofrezcan menos de lo que quieren los compradores. De cualquier modo, los intercambios perdidos son la pérdida de eficiencia (deadweight loss): excedente que no fue a nadie. Es un triángulo, así que crece con el cuadrado de la cuña.
  
    Interactivo · Un impuesto, o un tope de precio
    
      Impuesto por unidad
      Tope de precio
    
    Impuesto por unidad
      
    
    
    El mismo mercado de arriba (precio 30, cantidad 40, excedente 800). Con el tope se supone el mejor caso: consiguen el bien quienes más lo valoran. El racionamiento real suele ser peor.
  
  Un impuesto de 10 reduce la cantidad de 40 a 30, recauda 300 y destruye 50 de excedente. Duplica el impuesto a 20 y la pérdida no se duplica: se cuadruplica a 200, mientras la recaudación sube solo a 400. Un tope en 20 deja 20 unidades a la venta donde los compradores quieren 60: una escasez de 40, una pérdida de 200 incluso en el mejor caso, y una invitación a hacer fila, sobornar o armar un mercado negro. Fíjate en lo que un impuesto puede hacer y un tope no: recauda dinero que se puede gastar. La siguiente pieza de este hilo, Economía pública (34/37), trata de quién termina pagándolo.

  Estructuras de mercado: de mil vendedores a uno
  "Oferta y demanda" supone vendedores demasiado pequeños para mover el precio. Eso vale para un agricultor que vende trigo, no para una red eléctrica ni para un buscador. Los economistas ordenan un espectro. En un extremo está la competencia perfecta: muchos vendedores y bienes idénticos, así que cada uno toma el precio como dado y el precio se empuja hasta el costo marginal. En el otro, el monopolio: un solo vendedor, que elige el precio y restringe la cantidad para mantenerlo alto. En medio, el oligopolio (unas pocas empresas que se vigilan) y la competencia monopolística (muchas empresas con productos algo distintos, como los restaurantes).
  El modelo más simple que muestra todo el espectro es el de Cournot, de 1838: las empresas eligen cantidades, cada una sabiendo que las demás hacen lo mismo. Cuantas más empresas, más teme cada una inundar el mercado, y más se acerca el precio al costo.
  
    Interactivo · ¿Cuántos rivales?
    
      Las empresas compiten en cantidades
      Competencia perfecta
    
    Número de empresas
      
    
    
    Ilustrativo: demanda P = 100 − Q, costo marginal de cada empresa 20. Una empresa fija 40 unidades a 60. Cournot con n empresas: Q = 80n ÷ (n+1).
  
  Una empresa cobra 60 y vende 40; dos llegan a 46.7; cinco, a 33.3; veinte, a 23.8, casi el 20 competitivo. Los compradores ganan al sumar empresas (el excedente del consumidor pasa de 800 con una a unos 2,900 con veinte) y la pérdida de eficiencia baja de 800 a cerca de 7. Es el argumento económico a favor de la política de competencia, y la razón de que Estrategia y competencia (34/43) sea un curso entero. Pero la entrada importa más que el conteo: un mercado con una sola empresa y entrada fácil puede portarse mejor que uno con tres protegidas. Un caso real: en marzo de 2014 el Instituto Federal de Telecomunicaciones de México declaró "agente económico preponderante" en telecomunicaciones al grupo del que forman parte Telmex, Telcel y América Móvil, e impuso medidas para evitar que su posición dañara la competencia: cuando una empresa domina, el precio queda lejos del costo, y por eso las reglas pueden tratar distinto a quien domina.

  Externalidades y bienes públicos: cuando los precios se pierden algo
  Los precios funcionan cuando el comprador y el vendedor cargan todos los costos y beneficios del intercambio. Una externalidad es un costo o beneficio que cae sobre otra persona: el humo de una fábrica, la fiesta ruidosa del vecino o, del lado bueno, las abejas de un apicultor que polinizan el huerto de al lado. La cantidad de mercado es demasiado alta para los daños y demasiado baja para los beneficios, porque quien decide ignora al tercero.
  El arreglo clásico es un impuesto pigouviano (A. C. Pigou, 1920): cobrar al contaminador el daño que causa, para que el precio privado incluya el costo social. El cobro por congestión de Londres, que empezó el 17 de febrero de 2003 en cinco libras al día (la tarifa estándar es hoy de £18, a enero de 2026), es un precio por el espacio de la calle exactamente por esto. Ronald Coase sostuvo en 1960 que, donde negociar es barato y los derechos están claros, las partes pueden arreglarlo solas, sin ningún impuesto. Ambas ideas están vivas en cada debate ambiental.
  
    Interactivo · Una fábrica que contamina
    Daño por unidad fabricada, a los vecinos
      
    
      Sin política
      Impuesto igual al daño
    
    
    
    El mismo mercado de antes. Fabricar cada unidad cuesta a los vecinos lo que marca el deslizador.
  
  Con un daño de 10 por unidad, el mercado sigue fabricando 40 unidades pero la mejor cantidad es 30. Las diez unidades de más cuestan a la sociedad más de lo que valen: una pérdida de 50. Un impuesto de 10 lleva el mercado a exactamente 30. Hay una forma de resolverlo sin precios, y también se puede equivocar: el programa Hoy No Circula de la Ciudad de México, que desde finales de 1989 prohíbe circular un día a la semana a la mayoría de los autos según el último dígito de la placa. El economista Lucas Davis encontró en 2008 que, en distintos contaminantes y especificaciones, no había evidencia de que el programa hubiera mejorado la calidad del aire, y que la restricción llevó a más vehículos en circulación y a una composición con más autos muy contaminantes (otros estudios discuten los primeros meses). El ejemplo no prueba que las reglas fallen y los precios no: muestra que una regla sin precio cambia la conducta de maneras que el diseñador no mira.
  El otro tipo de fallo es un bien público: algo de lo que nadie puede ser excluido y que el uso de uno no agota (un faro, el aire limpio, el efecto de rebaño de una vacuna). Cada persona preferiría que pagara otro, así que los mercados privados lo subproducen. Cuando un recurso es compartido pero rival, un recurso común, la "tragedia de los comunes" de Garrett Hardin (1968) advirtió del exceso de uso. El trabajo de campo de Elinor Ostrom, en Gobernando los bienes comunes (1990) y su Nobel de 2009, mostró que comunidades, desde sistemas de riego en España hasta pastos suizos y pesquerías, suelen construir reglas que lo evitan sin privatizar ni entregar el recurso al Estado. Un ejemplo vivo de esas reglas es el Tribunal de las Aguas de Valencia, que cada jueves se reúne en público a las puertas de la catedral para resolver disputas de riego entre agricultores y que la UNESCO inscribió en 2009 como patrimonio cultural inmaterial. La versión honrada es "depende de las reglas". Más sobre esto en Economía pública (34/37).

  Lo que un graduado ve sin pensarlo
  
    Toda elección tiene un costo de oportunidad, y suele crecer: la primera unidad es barata, la milésima no.
    Las decisiones se toman en el margen. Los costos hundidos y los promedios son los números equivocados para mirar.
    Un precio es información. Cuando se mueve, pregunta qué curva se desplazó, y lee la cantidad para saberlo.
    Si subir el precio ayuda a un vendedor depende de la elasticidad, que depende de los sustitutos y del tiempo.
    Un tope de precios crea escasez y un impuesto abre una cuña; la pérdida de eficiencia crece con el cuadrado de la cuña.
    Más competidores y entrada más libre empujan el precio hacia el costo; menos lo alejan.
    Cuando otro carga el costo o recibe el beneficio, la cantidad de mercado está mal, y el arreglo es hacer que el precio lo lleve.
    Los mercados pueden fallar, pero "el gobierno lo arregla" también es una afirmación que hay que revisar: compara alternativas reales, no un ideal contra un mercado.
  

  Dónde aparece después
  
    Teoría de juegos (34/15): cuando hay pocas empresas, la estrategia reemplaza el supuesto de que se toma el precio como dado. El dial del oligopolio de arriba es un juego simple.
    Políticas públicas (34/16): los impuestos, los topes y las externalidades son el vocabulario con que se evalúa una política.
    Economía conductual (34/27): qué pasa cuando las personas reales no eligen como el modelo.
    Macroeconomía (34/35): la misma lógica de oferta y demanda, a la escala del nivel de precios, las tasas de interés y todo el mercado laboral.
    En el mundo: la tarifa dinámica de una aplicación de transporte, un precio al carbono, un debate sobre el salario mínimo, los casos de competencia contra grandes plataformas y cada reunión de empresa que pregunta "¿deberíamos cobrar por esto?".
  

  Si quieres profundizar
  
    📘 Libro de texto. N. Gregory Mankiw, Principios de economía (Cengage, edición en español). El texto introductorio más usado en Estados Unidos y en buena parte del mundo, con capítulos claros y cortos.
    📘 Libro de texto (en inglés). Daron Acemoglu, David Laibson y John List, Economics (Pearson), o Paul Krugman y Robin Wells, Microeconomics (Worth). Dos alternativas modernas: la primera se apoya en evidencia y experimentos.
    📘 Más amable (en inglés). Charles Wheelan, Naked Economics (W. W. Norton). Casi sin matemáticas; las ideas como historias.
    🌐 Cursos. Fundamentals of Microeconomics | Fundamentos de Microeconomía, de la Universidad Carlos III de Madrid (UC3Mx) en edX: el curso está en inglés, con subtítulos y diapositivas en español; revisa en la página si hay acceso gratuito; si no, es de bajo costo. Gratis, MIT OpenCourseWare 14.01 Principles of Microeconomics (en inglés) y CORE Econ, The Economy (en inglés), ambos gratuitos.
  

  
    Para llevar
    Toda elección cuesta la mejor alternativa a la que renuncias, y se toma un paso a la vez. Los precios llevan ese costo entre extraños: cuando están bien, los mercados convierten egoísmos dispersos en intercambios que benefician a ambos lados. Cuando están mal (un tope, un impuesto, un monopolista, un vecino que carga el humo), algo se pierde, y la habilidad está en encontrar qué cuña es el problema.
    Prueba esto: esta semana, pon precio a algo que compras en términos de lo que dejaste, y encuentra tu margen. ¿Pagarías por uno más? Luego mira moverse un precio en una tienda o en una aplicación y pregunta qué curva se desplazó.
  

  
    Fuentes y para profundizar
    Fuentes. Las ideas son microeconomía estándar de libro de texto (Mankiw; Acemoglu, Laibson y List). Todos los números de los interactivos usan mercados inventados e ilustrativos y se calcularon en node: frontera de la finca 84 a 83.19 (costo 0.81) con 40 de maíz y 36 a 34.39 (1.61) con 80; mejor producción de la panadería 50 con ganancia 125 a precio 6, y 90 a precio 10; equilibrio 30 y 40, choques 35 y 50 (moda), 35 y 30 (helada), 40 y 40 (ambos); elasticidad 0.5 da −4.65% en cantidad y +4.88% en ingreso, elasticidad 2 da −17.36% y −9.09%; impuesto de 10 da cantidad 30, recaudación 300, pérdida de eficiencia 50; impuesto de 20 da 200 y recaudación 400; tope de 20 da cantidad 20, escasez 40, pérdida 200; Cournot con 1, 2, 5, 20 empresas da precio 60, 46.7, 33.3, 23.8 y excedente del consumidor de 800 a unos 2,900; una externalidad de 10 da óptimo 30 y pérdida 50. Impuesto a las bebidas azucaradas de México: Colchero, Popkin, Rivera y Ng, BMJ 352:h6704 (2016), que reporta un impuesto específico de 1 peso por litro (cerca de un 10% de aumento en el precio con base en los precios de 2013), un aumento promedio de precios de 1 peso por litro en 2014, compras de bebidas gravadas 6% menores en 2014 y 12% menores en diciembre de 2014 que el contrafactual, y −9.1% en promedio en los hogares de menor nivel socioeconómico. Hoy No Circula: inicio a finales de 1989 con restricción de un día a la semana según la placa; Davis, "The Effect of Driving Restrictions on Air Quality in Mexico City", Journal of Political Economy 116(1), 2008, pp. 38-81. Instituto Federal de Telecomunicaciones de México: resolución del 6 de marzo de 2014 que declaró agentes económicos preponderantes a los grupos de Telmex/Telcel/América Móvil (telecomunicaciones) y de Televisa (radiodifusión). Cobro por congestión de Londres: empezó el 17 de febrero de 2003 en £5, £18 desde el 2 de enero de 2026 (Transport for London, vía Wikipedia). Tribunal de las Aguas de Valencia: se reúne los jueves en la Puerta de los Apóstoles de la catedral; inscrito por la UNESCO en 2009. Ostrom basa Governing the Commons en estudios de sistemas de riego de España y Filipinas, aldeas de montaña de Suiza y Japón y pesquerías de Nueva Escocia e Indonesia (Wikipedia, "Elinor Ostrom"). Coase 1960 (Nobel 1991), Pigou 1920, Hardin 1968 (Science), Ostrom 1990 (Nobel 2009), Cournot 1838: historia estándar del pensamiento económico. Adaptada de la pieza en inglés Microeconomics.
    
      📘 Mankiw, Principios de economía (Cengage)
      🌐 UC3Mx: Fundamentos de Microeconomía (con subtítulos en español)
      🌐 MIT OCW 14.01 Principles of Microeconomics (en inglés)
      📘 Wheelan, Naked Economics (en inglés)
    
  

  
    Para tu español
    
      costo de oportunidad (opportunity cost) · oferta (supply) · demanda (demand) · equilibrio (equilibrium) · elasticidad (elasticity) · excedente (surplus) · tope de precios (price ceiling) · externalidad (externality) · bien público (public good) · escasez (scarcity, shortage)


Step 3. Macroeconomía: la economía como una sola máquina, y por qué se atasca
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Why: Crecimiento, inflación, desempleo y bancos centrales: la economía como un todo.
Producción que se capitaliza, precios que se mueven, empleos que entran y salen, bancos que crean dinero, bancos centrales con una sola palanca. Y cuatro escuelas que no se ponen de acuerdo sobre cuánto empujarla.

En 1985 los precios en Bolivia subieron, en promedio del año, un 11,750%. En 1990 Perú llegó a 7,482% y Brasil a 2,948%. En Argentina, en 2024, la inflación anual promedio fue de 220%. En 2022 las compras de un hogar de Estados Unidos costaban cerca de un 9% más que un año antes, en la zona del euro el pico fue de 10.6% en octubre de 2022, y en España, en 2013, más de una persona activa de cada cuatro no tenía empleo. Mismo planeta, misma tecnología, experiencias enormemente distintas. Las preguntas de fondo son las de la macroeconomía: por qué crece una economía, por qué suben los precios, quién consigue trabajo y qué puede hacer, si es que puede algo, un gobierno o un banco central.
  Quien estudió macroeconomía lee esos titulares como flujos por unas pocas tuberías conectadas: producción, precios, empleo, dinero y deuda. Las tuberías son sencillas; las discusiones sobre cuánto abrir cada llave no lo son, y esta pieza te cuenta quién sostiene qué. Los datos de abajo son reales, fechados y de varias regiones (América Latina, España, Estados Unidos, Asia, África). Los modelos de los deslizadores son juguetes de libro de texto con números inventados, y están rotulados así.

  
    La materia en una caja
    
      Quién la cursaEstudiantes de Economía, Administración y políticas públicas, normalmente en primer año como "principios de macroeconomía" (la de MIT es la 14.02) y otra vez en tercero como "macroeconomía intermedia", con cálculo. Las escuelas de negocios enseñan una versión más corta, "la economía global": el plan obligatorio de primer año de Harvard Business School la incluye.
      Para qué sirvePara leer la economía como un todo: crecimiento, inflación, desempleo, tasas de interés y deuda, y para juzgar qué puede y qué no puede hacer la política económica.
      Viene después de:Microeconomía (34/14).
      Lleva a:Comercio y finanzas internacionales (34/38), Economía del desarrollo (34/39) y Economía pública (34/37); además, es el telón de fondo de la carrera de Administración de Empresas.
      Qué te da esta piezaNo podrás pronosticar la próxima recesión; nadie puede hacerlo de forma fiable. Sí entenderás por qué el crecimiento se capitaliza, cómo se mide la inflación, cómo fabrican dinero los bancos, qué hace un banco central con su única palanca, qué le pasó a la región cuando los precios se desbocaron y por qué economistas serios discrepan en el resto. Lecturas más fáciles: El poder del interés compuesto (en Finanzas Personales y Crédito, 03/03), Cómo funcionan realmente los impuestos en EE. UU. (03/07) y Las constituciones de América Latina (18/06).
    
  

  El PIB, y lo que no mide
  El producto interno bruto (PIB) es el valor de mercado de todo lo que se produce dentro de un país en un año. Se puede contar de tres maneras que deben coincidir: sumando lo que se produce, lo que se gana o lo que se gasta. La versión del gasto es la que se memorizan los estudiantes:
  PIB = C + I + G + (X − M)consumo de los hogares + inversión de las empresas + compras del gobierno + exportaciones menos importaciones
  El PIB es una herramienta excelente para lo que fue creado: seguir la producción y el empleo durante una caída. Simon Kuznets, quien construyó las primeras cuentas nacionales de Estados Unidos, escribió en su informe de 1934 que "el bienestar de una nación difícilmente puede inferirse de una medida del ingreso nacional". Deja fuera el trabajo no pagado (cocinar, cuidar a tus padres), casi todo el daño ambiental y cómo se reparte el ingreso. También cuenta como crecimiento una ciudad reconstruida después de una inundación. Úsalo como termómetro de actividad, no de bienestar. Importan dos ajustes estándar: el PIB real le quita el efecto de los cambios de precios, y el per cápita divide entre las personas, porque un país grande no es un país rico.

  Crecimiento: la capitalización y la idea de Solow
  Diferencias modestas en las tasas de crecimiento, sostenidas durante décadas, producen mundos distintos. Un producto por persona que crece 1.6% al año se duplica en 44 años; a 8.1%, en unos 9. La regla práctica es dividir 70 entre el porcentaje. La tabla usa el PIB por persona ajustado por las diferencias de precios entre países, del Banco Mundial, en dólares internacionales constantes de 2021.
  
    País19902024Veces mayorPor año
    China1,66723,84114.38.1%
    India2,1409,4164.44.5%
    Corea del Sur14,37855,0713.84.0%
    Chile10,95530,2682.83.0%
    Perú6,31615,7092.52.7%
    Colombia9,99918,4821.81.8%
    Estados Unidos44,38475,6981.71.6%
    Argentina17,00726,7721.61.3%
    Brasil12,63319,6521.61.3%
    España31,77348,4601.51.2%
    Nigeria5,4247,9941.51.2%
    Japón36,13847,4801.30.8%
    México17,17021,9701.30.7%
  
  Mira cuánto se separan países de la misma región: Chile y Perú multiplicaron su ingreso por persona por más de dos y medio, mientras México y Argentina apenas por 1.3 y 1.6. Por qué ocurrió es una discusión abierta, y es el tema de Economía del desarrollo (34/39); la tabla solo muestra el tamaño de la diferencia.
  
    Interactivo · El poder de unos pocos puntos porcentuales
    
      China, 1990-2024
      Corea del Sur
      Chile
      Estados Unidos
      México
    
    Crecimiento por año
      
    Años
      
    
    
  
  ¿De dónde viene el crecimiento? El caballo de batalla es el modelo de Solow (Robert Solow, 1956; premio Nobel 1987). Una economía tiene trabajadores, máquinas (capital) y tecnología. El ahorro construye máquinas nuevas; las máquinas se desgastan. Pero cada máquina adicional aporta menos que la anterior, de modo que con una tasa de ahorro fija la economía se asienta en un nivel donde la inversión nueva apenas repone el desgaste. Pasado ese punto, ahorrar más sube el nivel del ingreso, no su crecimiento. El crecimiento duradero del ingreso por persona exige mejor tecnología y más habilidades. Los países pobres que parten con poco capital pueden crecer rápido poniéndose al día, lo que explica en parte por qué China y la India crecieron más que Estados Unidos.
  
    Interactivo · ¿Ahorrar más o inventar más?
    Parte del ingreso que se ahorra e invierte
      
    Progreso tecnológico por año
      
    
    
    Modelo de juguete: producción = tecnología × capital1/3, se desgasta 5% de las máquinas cada año y se parte con poco capital. Números inventados.
  
  Con 20% de ahorro y 1% de crecimiento tecnológico, la producción por trabajador sube rápido al principio (en el año 5 crece cerca de 3.6%) y luego se asienta al ritmo de la tecnología: alrededor de 1.1% en el año 70, rumbo a 1%. Sube el ahorro a 40% y el nivel termina más alto, pero la tasa de crecimiento de largo plazo es el mismo 1%. Esa es la lección de Solow, y la razón por la que los economistas dedican tanto tiempo a las ideas, las instituciones y la educación. Es un modelo de la mecánica, no una teoría completa; Economía del desarrollo (34/39) es la discusión sobre qué más importa.

  Inflación: una canasta, no una sensación
  La inflación es una subida sostenida del nivel general de precios. Los institutos de estadística la miden cada mes tomando el precio de una canasta fija de bienes que compra un hogar típico (renta, comida, combustible, transporte) y siguiendo su costo. El peso de cada rubro es su parte en el gasto. Quedan dos consecuencias: tu inflación se aparta de la cifra general siempre que tu canasta sea distinta, y la medida cambia cuando la gente cambia de productos.
  Datos reales, del Banco Mundial (precios al consumidor, promedio anual, por ciento):
  
    País20222024
    Argentina72.4219.9
    Turquía72.358.5
    Nigeria18.833.2
    Chile11.64.3
    Colombia10.26.6
    Brasil9.34.4
    España8.42.8
    Perú8.32.0
    Estados Unidos8.02.9
    México7.94.7
    Alemania6.92.3
    India6.75.0
    Japón2.52.7
  
  
    Interactivo · ¿La inflación de quién?
    
      Hogar promedio
      Inquilino con presupuesto justo
      Jubilado con casa propia
    
    Alza del precio de la energía este año
      
    
    
    Canastas y cambios de precios inventados: vivienda +4%, alimentos +9%, transporte +7%, salud y educación +3%, otros +2%, energía según el deslizador. Las canastas reales cambian de un país a otro.
  
  Con la energía 30% más cara, los costos del hogar promedio suben cerca de 7.2%; los del inquilino con presupuesto justo, 8.4%, y los del jubilado, 6.5%, porque la comida y la energía pesan más en su gasto. La mayoría de los bancos centrales, del de Estados Unidos al de la zona del euro, buscan una inflación de alrededor de 2% anual, una meta elegida como compromiso entre el daño de que los precios suban rápido y el riesgo de que bajen, lo que encarece las deudas y hace que la gente posponga compras.

  Cuando los precios se desbocan: inflación y dolarización en América Latina
  La región conoce por experiencia propia lo que un texto describe como "hiperinflación". La tabla muestra el peor año de la serie del Banco Mundial para cuatro países, y cómo estaban en 2024. Son promedios anuales: dentro del año, los precios se movían mucho más rápido.
  
    PaísPeor añoInflación ese año2024
    Bolivia198511,750%5.1%
    Perú19907,482%2.0%
    Brasil19902,948%4.4%
    Ecuador200096.1%1.5%
    Venezuela2016254.9% (la serie se interrumpe después)sin dato
    Argentina2024219.9% (la serie del Banco Mundial empieza más tarde)219.9%
  
  Dos lecturas honestas. Primera: la inflación se puede domar, y de hecho Bolivia, Perú y Brasil pasaron de miles por ciento a un dígito; cómo lo lograron cada uno, con qué costos, es un tema de historia económica y no cabe en una tabla. Segunda: no hay una sola receta. Una salida, para economías que perdieron la confianza en su propia moneda, es renunciar a ella. Ecuador anunció el 9 de enero de 2000 que adoptaba el dólar (con el cambio fijado en 25,000 sucres por dólar), y los detalles legales llegaron con una ley de marzo de 2000; su inflación pasó de 96.1% ese año a 1.5% en 2024. El Salvador hizo lo propio con la Ley de Integración Monetaria, vigente desde el 1 de enero de 2001, con el colón fijado en 8.75 por dólar; su inflación en 2024 fue de 0.9%. Panamá usa el dólar como moneda legal desde 1904. Un país dolarizado gana credibilidad en los precios, pero pierde la palanca de la tasa de interés propia y la posibilidad de imprimir moneda como prestamista de última instancia: es un intercambio, no una solución gratuita, y los economistas lo discuten.

  Desempleo: un flujo, no un stock
  Estás desempleado en el sentido oficial si no tienes trabajo, estás disponible y has buscado activamente hace poco. Quienes dejaron de buscar o no consiguen suficientes horas no cuentan, y por eso los estadísticos publican también medidas más amplias. La tasa que sale en los titulares es la parte de la fuerza de trabajo (ocupados más quienes buscan) que no tiene empleo.
  Lo que recuerda un graduado es que se trata de una piscina con una llave y un desagüe. Cada mes, algunos ocupados pierden su empleo y algunos desempleados lo encuentran. Si una fracción s de los ocupados pierde el empleo cada mes y una fracción f de los desempleados encuentra uno, la piscina se estabiliza en una tasa de s ÷ (s + f). Una economía rica puede tener mucha rotación y poco desempleo, o poca rotación y mucho.
  
    LugarTasaAño
    Grecia27.7%2013
    España26.1% (11.4% en 2024)2013
    Sudáfrica32.3%2024
    Colombia9.6%2024
    Chile8.7%2024
    Brasil6.8%2024
    Perú5.2%2024
    México2.7%2024
    Estados Unidos14.8% (abril de 2020), 3.4% (abril de 2023)mensual
    Alemania3.4%2024
    Japón2.5%2024
  
  Las cifras de 2024 de los países latinoamericanos son estimaciones de la OIT en la serie del Banco Mundial. Una tasa baja no significa que casi todos tengan buen trabajo: en una economía con mucho empleo informal, quien no tiene otro ingreso toma cualquier ocupación y no figura como desempleado. Por eso la tasa de desempleo sola dice poco; se lee junto con la informalidad y los salarios (Economía del desarrollo, 34/39).
  
    Interactivo · La piscina del desempleo
    Parte de los ocupados que pierde un empleo cada mes
      
    Parte de los desempleados que encuentra uno cada mes
      
    
    
    Tasa de equilibrio = s ÷ (s + f), el modelo de flujos de los libros de texto. Los números de los deslizadores son ilustrativos, no medidos para ningún país.
  
  Con 1.2% que pierde y 25% que encuentra, la piscina se estabiliza en 4.6%. La contratación lenta, por sí sola, hace el daño en una caída: con 10% que encuentra, los mismos despidos dan 10.7%. Y la duración promedio es 1 ÷ f meses, así que una crisis profunda convierte una búsqueda corta en una larga. Los economistas distinguen el desempleo friccional (entre dos empleos), el estructural (habilidades o lugar que no coinciden) y el cíclico (poca demanda), y la política para cada uno es distinta.

  Dinero y bancos: de dónde salen los depósitos
  La mayor parte del dinero que tienes es un número en una cuenta bancaria. El relato clásico de los libros es el multiplicador monetario: depositas 100, el banco guarda una fracción como reservas y presta el resto, ese préstamo se vuelve el depósito de otra persona, y así sucesivamente. Con una razón de reservas r, los depósitos pueden crecer hasta sumar el primer depósito dividido entre r.
  
    Interactivo · El multiplicador monetario de los libros de texto
    
      5%
      10%
      20%
    
    Fracción que se guarda como reserva
      
    
    
  
  Con 10%, un primer depósito de 100 sostiene hasta 1,000 de depósitos; tras 10 rondas llegas a unos 651. Pero el artículo de 2014 del Banco de Inglaterra, "Money creation in the modern economy" (McLeay, Radia y Thomas), sostiene que el relato clásico va al revés: "la mayor parte del dinero en la economía moderna lo crean los bancos comerciales al conceder préstamos", y los bancos "no actúan simplemente como intermediarios que prestan los depósitos que los ahorradores les confían" (traducción nuestra). El préstamo crea el depósito correspondiente. Lo que limita el crédito no son entonces las reservas sino la demanda de los prestatarios, el capital de los bancos y la tasa de interés del banco central. Eso encaja con que la Reserva Federal de Estados Unidos llevó los encajes obligatorios a cero en marzo de 2020 sin que se viera una explosión del crédito. El multiplicador sigue siendo una buena manera de ver que los bancos multiplican el dinero; es una mala descripción de lo que los frena.

  Bancos centrales y la tasa de interés
  Un banco central (la Reserva Federal, el Banco Central Europeo, el Banco de Japón, el Banco de México) fija la tasa de interés de corto plazo y, a través de ella, el precio del crédito para toda la economía. Si la sube, las hipotecas, los préstamos para autos y la inversión de las empresas se encarecen; el gasto se enfría, y la inflación también. Si la baja, ocurre lo contrario. Los efectos llegan despacio, con un rezago de uno o dos años, y por eso conducir la economía se parece a manejar con un parabrisas retardado.
  Un punto de referencia sencillo es la regla de Taylor (John Taylor, 1993): fija la tasa en la inflación más una tasa real neutral de 2, empujada hacia arriba por la mitad de la brecha entre la inflación y la meta de 2%, y por la mitad de la brecha del producto (cuánto está la economía por encima o por debajo de su nivel sostenible).
  tasa = inflación + 2 + 0.5 × (inflación − 2) + 0.5 × brecha del productotodo en porcentaje; una regla práctica, no la fórmula que aplica ningún banco
  
    Interactivo · ¿Qué diría la regla?
    
      Calma
      Sobrecalentamiento
      Caída
      Inflación de 9%
    
    Inflación
      
    Brecha del producto
      
    
    
  
  La calma da 4%. Una caída con 0.5% de inflación y una brecha de −6 da −1.25%, por debajo de cero: la regla pide una tasa que el banco apenas puede aplicar, y en la realidad la tasa de depósito del BCE solo bajó a −0.50% en 2019. (Las tasas negativas son el borde de lo que hacen los bancos centrales; es el "límite inferior cero" y la razón de que existan herramientas no convencionales.) Los datos reales muestran que la regla es una vara de medir, no una ley. En junio de 2022 la inflación de Estados Unidos era de cerca de 9% y la tasa de los fondos federales de 1.21%: después subió a 5.33% en agosto de 2023, y la tasa de depósito del BCE pasó de 0% en julio de 2022 a 4% en septiembre de 2023, mientras la inflación de la zona del euro tocaba su máximo de 10.6% en octubre de 2022. En septiembre de 2026, la tasa de la Fed estaba en 3.75% frente a una inflación estadounidense de cerca de 4.0%, y la del BCE en 2.5% frente a una inflación de la zona del euro de 3.75% (FRED).
  ¿Quién manda en el banco central? Una lección de las décadas inflacionarias es que un banco central que puede ser obligado a financiar al gobierno termina imprimiendo la inflación. Por eso varios países le dieron autonomía. En México, la reforma constitucional al artículo 28 se aprobó en 1993 y entró en vigor el 1 de abril de 1994: el Banco de México quedó autónomo en sus funciones y administración, con el objetivo prioritario de procurar la estabilidad del poder adquisitivo de la moneda, y ninguna autoridad puede ordenarle que conceda financiamiento. En Chile, la autonomía de rango constitucional se estableció en 1989. En España, el Banco de España forma parte del Sistema Europeo de Bancos Centrales, y la política monetaria de la zona del euro la decide el BCE. La autonomía no elimina las discusiones (¿ante quién rinde cuentas?, ¿debe mirar también el empleo?), pero es parte del diseño de casi todos los bancos centrales modernos.

  Política fiscal y deuda
  Donde el banco central tiene una palanca, los gobiernos tienen dos: el gasto y los impuestos. En una caída pueden gastar más o cobrar menos para sostener la demanda, y el efecto sobre la producción puede superar al costo porque el primer dólar es el ingreso de alguien, que gasta una parte, y así sucesivamente. El tamaño de este multiplicador es uno de los números más discutidos del campo. Depende de si la economía tiene holgura, de si el banco central lo compensa y de cómo se financia el gasto.
  La deuda que resulta es un stock, y lo que importa es su tamaño frente al ingreso. Cada año el cociente cambia por la factura de intereses y por el crecimiento: con r la tasa de interés y g el crecimiento de la economía, la deuda como parte del PIB sube aproximadamente (r − g) veces sí misma, menos el superávit primario (ingresos menos gastos antes de intereses).
  próxima razón de deuda = razón de deuda × (1 + r) ÷ (1 + g) − superávit primariotodo como parte del PIB; si el crecimiento supera a la tasa de interés, la deuda se reduce incluso con déficit
  
    Interactivo · La deuda de un país en 30 años
    
      El crecimiento sigue el paso
      Los intereses superan al crecimiento
      Austeridad
    
    Deuda inicial (% del PIB)
      
    Tasa de interés de la deuda
      
    Crecimiento (PIB nominal)
      
    Superávit primario (% del PIB)
      
    
    
    Modelo de juguete con tasas constantes. La deuda real tiene plazos, monedas y tasas de interés cambiantes.
  
  Si parte de 100% con r = g, la deuda se queda en 100%. Con interés de 5% y crecimiento de 1%, sube a 321% en 30 años; un superávit primario de 3% del PIB la mantiene en 154%. Deuda bruta del gobierno general, datos reales (FMI, 2024): Japón 214% del PIB, Italia 135%, Estados Unidos 122%, China 91%, Sudáfrica 76%, Alemania 61%, México 59%. Japón muestra que una deuda alta en tu propia moneda, debida sobre todo a tus propios ciudadanos y con intereses bajos, puede sostenerse durante décadas. No muestra que sea gratis: la factura es una reclamación constante sobre los ingresos fiscales. En América Latina el cuadro es distinto, porque muchos gobiernos se endeudan en dólares: ahí una devaluación sube la deuda en términos de su moneda, y el análisis de r − g se complica con el tipo de cambio (Comercio y finanzas internacionales, 34/38).

  Ciclos económicos y escuelas de pensamiento
  Las economías no crecen de forma pareja. Alternan expansiones y recesiones, y esas oscilaciones son el ciclo económico: la tasa de desempleo de Estados Unidos pasó de 3.5% a principios de 2020 a 14.8% en abril de 2020 y volvió a 3.4% en abril de 2023, un ciclo inusualmente brusco y rápido causado por una pandemia. La pregunta más profunda es por qué las caídas de la demanda persisten y qué hacer. Cuatro escuelas dan respuestas distintas, y el campo no ha declarado ganadora a ninguna.
  
    EscuelaAfirmación centralPolítica que favorece
    Keynesiana (Keynes, 1936; los nuevos keynesianos de hoy)Los salarios y los precios son rígidos, así que una falta de demanda puede dejar a la gente sin empleo durante años.Gobiernos y bancos centrales deben contrarrestar las caídas y los auges.
    Monetarista (Friedman y Schwartz, 1963)"La inflación es siempre y en todas partes un fenómeno monetario": el crecimiento del dinero mueve los precios, y la Gran Depresión se agravó porque la Fed dejó que la oferta monetaria se encogiera.Crecimiento del dinero estable y basado en reglas; los bancos centrales combaten primero la inflación.
    Nueva clásica (Lucas, Nobel 1995)Las personas forman expectativas racionales, así que anticipan la política; la "crítica de Lucas" (1976) dice que los modelos hechos con datos pasados fallan cuando cambia la política.Reglas predecibles antes que discreción; reformas estructurales de oferta.
    Teoría Monetaria Moderna (Wray, Mitchell, Kelton)Un gobierno que emite su propia moneda no puede quedarse sin ella; el límite real es la inflación y los recursos ociosos, no la deuda.Gastar hasta el pleno empleo, cobrar impuestos para controlar la inflación; garantía de empleo.
  
  Cada una tiene su historial. Keynes explicó lo que necesitaban los años treinta; la estanflación de los setenta, con inflación alta y desempleo alto a la vez, avergonzó al modelo keynesiano simple. El monetarismo ayudó a terminar con esa inflación (el aprieto monetario de Paul Volcker, de 1979 a 1982), pero el vínculo entre dinero y gasto se volvió inestable, y los bancos centrales pasaron a fijar metas de inflación y a manejar directamente las tasas de interés. Las ideas de la nueva clásica cambiaron cómo se construyen los modelos. La TMM es una visión minoritaria: una encuesta de 2019 del panel IGM de la Universidad de Chicago a economistas destacados rechazó de manera unánime afirmaciones que se le atribuían, aunque sus defensores dicen que las preguntas eran trampas. La corriente principal desde los noventa, la "nueva keynesiana", mezcla precios rígidos con expectativas racionales. Lee las afirmaciones, no las etiquetas.

  Lo que un graduado ve sin pensarlo
  
    Unos pocos puntos al año, capitalizados, separan a los países ricos de los pobres; divide 70 entre la tasa de crecimiento para obtener el tiempo de duplicación.
    El PIB cuenta actividad, no bienestar. Míralo por persona y en términos reales.
    Ahorrar sube el nivel del ingreso; solo las ideas nuevas y las habilidades suben su crecimiento de largo plazo.
    Tu inflación es la de tu canasta, y una meta de 2% es una elección, no un hecho.
    El desempleo es una piscina: los despidos entran, las contrataciones salen, y la contratación lenta es lo que hace doler las caídas.
    Los bancos crean depósitos cuando prestan. El freno son los prestatarios, el capital y la tasa de política, no un stock de reservas.
    Un banco central tiene una palanca, la tasa corta, y actúa con rezago; su autonomía existe para que no financie al gobierno con inflación.
    Las razones de deuda se mueven con r − g. El crecimiento es una política de deuda.
    Sabe qué escuela está hablando y qué evidencia le haría cambiar de opinión.
  

  Dónde aparece después
  
    Comercio y finanzas internacionales (34/38): las mismas cuentas con un tipo de cambio; por qué se mueven las monedas y quién gana y pierde con el comercio.
    Economía del desarrollo (34/39): la tabla de crecimiento de arriba, y la discusión sobre por qué algunos países se quedaron en la fila lenta.
    Economía pública (34/37): la otra mitad de la política fiscal, lo que hacen los impuestos y las transferencias a las personas y no al agregado.
    En el mundo: la tasa de tu hipoteca, tu negociación salarial, la decisión de inversión de una empresa y el anuncio del banco central que leíste esta semana.
  

  Si quieres profundizar
  
    📘 Libro de texto. N. Gregory Mankiw, Macroeconomía (Antoni Bosch editor, edición en español). El texto intermedio estándar, con el modelo de Solow y las escuelas bien expuestos.
    📘 Libro de texto. Olivier Blanchard, Macroeconomía (Pearson, edición en español). La otra elección habitual, construida en torno a un modelo coherente y episodios recientes.
    📘 Más amable (en inglés). Charles Wheelan, Naked Economics (W. W. Norton).
    🌐 Gratis. La economía 2.0: macroeconomía (CORE Econ, en español, texto abierto), con unidades sobre desempleo, inflación (incluida la unidad 4, "Inflación y desempleo"), política macroeconómica y crisis, con datos reales.
    🌐 Gratis. Macroeconomía (OpenStax), en LibreTexts Español, y el curso Introducción a la Macroeconomía (OpenCourseWare de la UPV/EHU, 2015).
    🌐 Gratis (en inglés). MIT OpenCourseWare 14.02 Principles of Macroeconomics (primavera de 2023).
  

  
    Para llevar
    Una economía es un puñado de tuberías conectadas: producción que se capitaliza, precios que se mueven, empleos que entran y salen, dinero que los bancos crean al prestar, y deuda que se mueve con la diferencia entre interés y crecimiento. Los bancos centrales tienen una palanca y los gobiernos dos; ninguno puede prometer un viaje tranquilo, y la historia de la región muestra qué cuesta perder la confianza en la moneda. Las escuelas discrepan en cuánto estabilizar es prudente, y lo honesto es preguntar qué predeciría cada una.
    Prueba esto: esta semana, calcula tu propia tasa de inflación. Haz una lista de las cinco cosas en que más gastas, busca cómo cambió cada precio en el último año y compara con la cifra general de tu país.
  

  
    Fuentes y para profundizar
    Fuentes. Los conceptos son macroeconomía estándar de libro de texto (Mankiw; Blanchard). Datos (consultados en noviembre de 2026): Banco Mundial, WDI (NY.GDP.PCAP.PP.KD, dólares internacionales constantes de 2021, 1990 y 2024; FP.CPI.TOTL.ZG con los picos Bolivia 1985 11,749.6%, Perú 1990 7,481.7%, Brasil 1990 2,947.7%, Ecuador 2000 96.1%, Venezuela 2016 254.9%, y las cifras de 2022 y 2024 de la tabla; SL.UEM.TOTL.ZS, modelo de la OIT); FRED para el IPC de Estados Unidos (junio de 2022 cerca de 9.0% en la serie ajustada estacionalmente, una décima por debajo de la cifra del BLS), el desempleo (14.8% en abril de 2020, 3.4% en abril de 2023), la tasa de los fondos federales (1.21% en junio de 2022, 5.33% en agosto de 2023, 3.75% en septiembre de 2026), la tasa de depósito del BCE (−0.50% en 2019, 0% en julio de 2022, 4.00% en septiembre de 2023, 2.50% en septiembre de 2026) y el IAPC de la zona del euro (Eurostat: máximo de 10.6% en octubre de 2022, 3.75% en septiembre de 2026); FMI, DataMapper, deuda bruta del gobierno general (WEO). Dolarización: Ecuador, anuncio del 9 de enero de 2000 con paridad de 25,000 sucres por dólar y Ley de Transformación Económica del 13 de marzo de 2000 (prensa ecuatoriana y artículo de Dialnet); El Salvador, Ley de Integración Monetaria vigente desde el 1 de enero de 2001 y paridad de 8.75 colones (Banco Central de Guatemala y SECMCA); Panamá, dólar como moneda legal desde 1904 (Wikipedia, "Dollarization"). Autonomía: Banco de México, reforma al artículo 28 de la Constitución aprobada en 1993 y en vigor el 1 de abril de 1994 (Banco de México y documentos del Senado); Banco Central de Chile, autonomía de rango constitucional en 1989 (Ley Orgánica Constitucional 18.840, según Wikipedia). Banco de Inglaterra, McLeay, Radia y Thomas, Quarterly Bulletin 2014 T1; Junta de la Reserva Federal, encajes de 0% desde el 26 de marzo de 2020; Kuznets (1934); Solow (1956, Nobel 1987); Taylor (1993); Lucas (1976, Nobel 1995); Friedman y Schwartz (1963); encuesta IGM de Chicago Booth (2019) sobre la TMM. Calculado en node: 1.6% durante 34 años es 1.72 veces, 8.1% es 14.1 veces; resultados de las canastas 7.2%, 8.4%, 6.5%; desempleo 4.6% y 10.7%; Taylor 4.0% y −1.25%; deuda 321% y 154%; tasas de crecimiento de Chile 3.0%, Perú 2.7%, Colombia 1.8%, Argentina y Brasil 1.3%, España 1.2% (de las cifras del Banco Mundial de arriba). Canastas, ponderaciones y choques son inventados.
    
      🌐 CORE Econ, La economía 2.0: macroeconomía (en español)
      🌐 UPV/EHU OpenCourseWare: Introducción a la Macroeconomía
      🌐 MIT OCW 14.02 Principles of Macroeconomics (en inglés)
      🌐 Banco de Inglaterra: Money creation in the modern economy (en inglés)
      📘 Mankiw, Macroeconomía (Antoni Bosch)
    
  

  
    Para tu español
    
      producto interno bruto (PIB) (GDP) · inflación (inflation) · canasta (basket of goods) · desempleo (unemployment) · tasa de interés (interest rate) · banco central (central bank) · deuda pública (public debt) · dolarización (dollarization) · autonomía (independence, of a central bank) · ciclo económico (business cycle)


Step 4. Probabilidad y estadística: cómo razonar cuando nada es exacto
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Why: Los datos económicos son ruidosos; la estadística es cómo los economistas evitan engañarse.
Nada de lo que mides es exacto, y ninguna pieza sale igual dos veces. La estadística es la disciplina de saber cuánto confiar en un número.

Un tornero fabrica cien ejes de acero de "10 milímetros". Si los mides con un buen micrómetro, no hay dos iguales: 9.981, 10.012, 10.004. No hay ningún error. Esa dispersión es un hecho de todo proceso, de todo material y de todo sensor.
  Ahora apila cinco de esas piezas una tras otra dentro de una caja de engranajes. ¿Seguirá cabiendo la pila en la carcasa? Una encuestadora llama a mil personas y dice que el 52% votará que sí, "con un margen de error de tres puntos". Un ensayo clínico dice que el resultado es "significativo". El pronóstico dice 30% de probabilidad de lluvia. Todas son la misma pregunta: dada la dispersión, ¿cuánto debo confiar en este número?
  Quien ha estudiado probabilidad y estadística ya no ve un número suelto. Ve la forma de la dispersión que hay detrás. Esta pieza construye esa mirada con ocho cosas que puedes manejar: dados, tolerancias, encuestas, una trampa de ensayos clínicos, una creencia que se actualiza y una pila de piezas. Aviso de vocabulario: lo que aquí llamamos desviación estándar se dice desviación típica en España y en muchos libros de texto; es lo mismo.

  
    La materia en una caja
    Quién la cursa: casi todos los estudiantes de psicología, ingeniería y ciencias, normalmente en el primer o segundo año. En psicología suele llamarse "Estadística" o "Análisis de datos en psicología"; los informáticos la vuelven a encontrar antes del aprendizaje automático.
    Para qué sirve: decidir qué creer, y hasta dónde confiar en una medición, cuando los resultados son inciertos.
    Viene después de: Cálculo (34/32), que ayuda con las distribuciones continuas, aunque las ideas de esta pieza casi no piden más que aritmética.
    Lleva a: Métodos de investigación en psicología (34/20), que usa todo esto en el laboratorio, y Aprendizaje automático (34/30), que lo necesita directamente. También aparece en Ciencia de materiales y manufactura (en inglés, 34/13: control de procesos y defectos), Ingeniería de sistemas (en inglés, 34/22: confiabilidad) y Seguridad informática (en inglés, 34/33: aleatoriedad y adivinar claves).
    Lo que esta pieza te da y lo que no: no podrás diseñar un ensayo clínico después de leerla. Sí verás por qué "significativo" no quiere decir "importante", por qué una muestra más grande vence a una conjetura más lista y por qué tantas cantidades reales se parecen a una campana. Como primeras lecturas más fáciles, la biblioteca en inglés tiene Probability: How to Not Fool Yourself (en inglés, 12/03), Statistics for Reading the World (en inglés, 12/05) y Bayes' Theorem (en inglés, 12/17); esta pieza va más a fondo.
  

  Variables aleatorias: una forma con centro y dispersión
  Una variable aleatoria es un número que sale de un proceso que no puedes predecir en cada intento. El gran paso es dejar de preguntar "¿qué saldrá?" y preguntar "¿cuál es la forma de lo que podría salir?". Lanza dos dados y suma: el 7 es seis veces más probable que el 2 o el 12, así que la forma es una carpa. Repite muchas veces y la carpa aparece.

  
    Interactivo · Lanza dados y haz crecer una forma
    
      Dados que se suman
      Lanzar 10 vecesLanzar 1,000 vecesBorrar
      
      
    
    Sin JavaScript: dos dados suman 7 con probabilidad 6/36 y suman 2 o 12 con probabilidad 1/36 cada uno. El total medio es 7 y la desviación estándar es de unos 2.42.
  
  Dos números resumen una forma. La media es su punto de equilibrio: 7 para dos dados. La desviación estándar (la "dispersión") dice cuánto se alejan los valores, en un caso típico, de la media: unos 2.4 para dos dados, es decir, los totales suelen caer entre más o menos 5 y 9. La varianza es la desviación estándar al cuadrado, y es la que se suma limpiamente cuando combinas cosas independientes.
  desviación estándar = √( promedio de (valor − media)² )
  No toda forma es una campana. En el Sorteo Extraordinario de Navidad de España participan 100,000 números (del 00000 al 99999) y cada uno tiene exactamente la misma probabilidad de llevarse el Gordo: 1 entre 100,000, o 0.001%. Esa variable aleatoria es completamente plana: ningún número es "más probable" porque lleve más tiempo sin salir ni porque termine en 5.
  Ahora la forma que más importa. Las cantidades medidas (diámetros de ejes, estaturas, el ruido de un sensor) tienden a formar la curva normal, la campana (en español también se la llama campana de Gauss). Su gran comodidad es una regla fija: cerca del 68.3% de los valores cae a una desviación estándar de la media, el 95.4% a dos y el 99.7% a tres. Los ingenieros la usan todos los días. Supón que la especificación del eje es 10.00 mm ± 0.05 mm. Mueve el proceso y mira qué porcentaje de piezas se desecha.

  
    Interactivo · ¿Cuántas piezas no cumplen la especificación?
    
      Diámetro promedio
      Dispersión (desviación estándar)
      
      
    
    Sin JavaScript: un proceso centrado con desviación estándar de 0.025 mm (los límites de la especificación están justo a ±2 desviaciones estándar) desecha cerca del 4.55% de las piezas. Si reduces la dispersión a 0.01 mm, se desecha cerca del 0.00006%. Si desplazas el promedio 0.02 mm fuera del centro con dispersión de 0.02 mm, se desecha cerca del 6.7%.
  
  Los graduados guardan dos lecciones. Primera: la dispersión, no el promedio, decide la calidad: un proceso perfectamente centrado pero ancho igual desecha piezas. Segunda: estar descentrado cuesta mucho aunque la dispersión sea buena. Por eso las fábricas vigilan las dos cosas.

  El teorema central del límite: por qué la campana aparece una y otra vez
  ¿Por qué tantas cosas tienen forma de campana? La respuesta es uno de los teoremas más útiles de las matemáticas. Toma casi cualquier proceso aleatorio, por torcido que sea, y promedia unas decenas de datos independientes. Los promedios se amontonan en una campana centrada en la media verdadera, con una dispersión que se encoge como 1/√n. Las primeras versiones se deben a De Moivre en 1733 (para lanzamientos de moneda) y a Laplace, cuya versión general data de hacia 1810. Elige una fuente torcida y arrastra el tamaño de la muestra.

  
    Interactivo · Promedia lo que sea y obtendrás una campana
    
      Plana (0 a 1)
      Muy torcida
      Moneda (0 o 1)
    
    
      Datos que se promedian: n
      
      
    
    Sin JavaScript: para la fuente torcida (media 1, desviación estándar 1) el promedio de n = 30 datos tiene desviación estándar 1/√30 = 0.183, y los 3,000 promedios forman una campana casi normal alrededor de 1.
  
  Con n = 1 ves la fuente tal cual. Con n = 30 hasta la torcida es casi una campana. La predicción (la curva) usa solo dos números de la fuente: su media y su desviación estándar. La forma de la fuente se olvida. Por eso una medición hecha de muchos errores pequeños e independientes es normal, y por eso buena parte de la estadística puede darse el lujo de suponer campanas.
  error estándar de un promedio = σ / √n
  En palabras: el promedio de n datos oscila menos que un solo dato, en un factor de la raíz cuadrada de n. Para reducir la oscilación a la mitad necesitas cuatro veces más datos, no el doble. Es el hecho caro más discreto de toda la ciencia experimental.

  Muestreo e intervalos de confianza: ¿qué tan segura es una encuesta?
  No puedes preguntarle a todo el mundo, así que preguntas a n personas y tratas la proporción de "sí" como una estimación. ¿Qué tan lejos puede estar? El error estándar de la sección anterior lo responde. Para una proporción p la oscilación es √(p(1−p)/n), y un intervalo de confianza del 95% es la estimación más y menos unas dos de esas oscilaciones. Con n = 1,000 y una proporción cercana a la mitad, eso da ±3.1 puntos porcentuales: el conocido "margen de error" (a veces llamado "error muestral" en los informes de las encuestadoras).
  La redacción tiene sutileza, y el interactivo la vuelve concreta. "95% de confianza" es una afirmación sobre el método, no sobre un intervalo concreto: si repites el procedimiento una y otra vez, unos 95 intervalos de cada 100 capturarán el valor verdadero. Aquí la verdad es, en secreto, 52%. Haz 100 encuestas.

  
    Interactivo · 100 encuestas, una sola verdad
    
      Personas consultadas en cada encuesta
      Hacer 100 encuestas
      
      
    
    Sin JavaScript: con 1,000 personas por encuesta el margen de error es de unos 3.1 puntos; si haces 100 encuestas, unos 95 de los intervalos cubren el valor verdadero. Con 4,000 personas el margen se reduce a la mitad, a cerca de 1.5 puntos.
  
  Fíjate en dos cosas. Más o menos cinco de cada cien intervalos fallan aunque todo se haga bien. Y cuadruplicar la muestra de 1,000 a 4,000 solo reduce el intervalo a la mitad. Una encuesta de un país y una de un pueblo necesitan el mismo tamaño de muestra para la misma precisión, siempre que la muestra sea aleatoria. El peligro real no es el margen de error; es una muestra que no es aleatoria en absoluto, algo que ninguna fórmula arregla.

  Valores p y Bayes: dos maneras de pesar la evidencia
  Una prueba de hipótesis pregunta si los datos serían sorprendentes si no estuviera pasando nada. El valor p es la probabilidad, suponiendo que no pasa nada, de obtener un resultado al menos tan extremo como el tuyo. Lanza una moneda 100 veces y obtén 60 caras: para una moneda justa, la probabilidad de un reparto al menos así de desigual, en cualquier dirección, es de cerca del 5.7%. No es la probabilidad de que la moneda sea justa, ni la probabilidad de que el resultado se deba "al azar". La Asociación Estadounidense de Estadística (ASA) publicó en 2016 una declaración formal poco habitual al respecto, con seis principios. Dos de ellos: los valores p no miden la probabilidad de que una hipótesis sea verdadera, y un valor p no mide el tamaño ni la importancia de un efecto.
  La trampa clásica es probar muchas cosas. Con el umbral habitual de 0.05, una prueba sobre una "nada" verdadera sale "significativa" una vez de cada 20 por pura suerte. Si pruebas veinte cosas sin relación, la probabilidad de que al menos una se encienda es 1 − 0.9520, cerca del 64%. Pruébalo: cada pulsación prueba veinte efectos que, por construcción, no existen.

  
    Interactivo · Prueba veinte cosas que no hacen nada
    
      Hacer 20 pruebasReiniciar el conteo
      
      
    
    Sin JavaScript: veinte pruebas de puro ruido al nivel de 0.05 dan al menos un falso "descubrimiento" cerca del 64% de las veces, y en promedio una de cada 20 pruebas.
  
  Si solo informas del que se encendió, tienes un titular y ningún hallazgo. Es parte de la razón por la que muchos resultados publicados no se repiten: en el intento de replicación de 100 estudios de psicología que hizo en 2015 el Open Science Collaboration, el 97% de los originales tenía resultados estadísticamente significativos, pero solo el 36% de las réplicas.
  La regla de Bayes responde otra pregunta: dados los datos, ¿cómo debe moverse mi creencia? Parte de una creencia previa, multiplícala por lo bien que cada posibilidad explica los datos y vuelve a normalizar. Supón que pruebas piezas y quieres conocer la tasa de defectos. Al principio no sabes nada (cualquier tasa de 0% a 100% es igual de probable) y vas añadiendo piezas una por una.

  
    Interactivo · Aprende una tasa de defectos a partir de piezas
    
      Añadir una pieza buenaAñadir 10 piezas buenasAñadir una pieza defectuosaReiniciar
      
      
    
    Sin JavaScript: tras 20 piezas buenas y ningún defecto, una creencia inicial plana da una tasa de defectos más plausible cercana a 0%, un promedio de 4.5% y un rango creíble del 90% de aproximadamente un cuarto de punto porcentual a 13%. Veinte piezas limpias no bastan para descartar una tasa de defectos de uno entre ocho.
  
  Frecuentistas y bayesianos discrepan en la filosofía: unos tratan la probabilidad como frecuencia a largo plazo y nunca se la asignan a una hipótesis; los otros, como grados de creencia que los datos actualizan. En la práctica se usan ambas, a menudo en el mismo proyecto, y con muchos datos suelen coincidir. La versión bayesiana tiene aquí una ventaja práctica: tras veinte piezas limpias dice con honestidad "todavía no podemos descartar uno entre ocho".

  Correlación, regresión y la trampa de la causalidad
  La correlación (llamada r) mide qué tan de cerca se mueven dos cantidades a lo largo de una recta, de −1 a +1. La regresión ajusta la mejor recta a través de la nube (por mínimos cuadrados, como en Álgebra lineal, 34/34). Ambas son resúmenes, y cualquier resumen puede esconder la historia. En 1973 el estadístico Francis Anscombe creó cuatro conjuntos de datos con, a dos decimales, la misma media, la misma dispersión, la misma r (0.82) y la misma recta (y = 3 + 0.5x). Mira cada uno.

  
    Interactivo · Cuatro conjuntos de datos, un mismo juego de números
    
      Conjunto 1Conjunto 2Conjunto 3Conjunto 4
    
    
      
      
    
    Sin JavaScript: los cuatro conjuntos de Anscombe tienen media de x = 9, media de y = 7.50, correlación 0.816 y recta y = 3.00 + 0.50x. El conjunto 1 es una recta con ruido, el 2 una curva, el 3 una recta con un dato atípico y el 4 un solo punto lejano que crea toda la pendiente.
  
  Los números coinciden y las historias no: una recta con ruido, una curva, una recta con un punto rebelde, una columna vertical sostenida por un solo punto. Dibuja siempre primero.
  La otra trampa es la famosa. Las ventas de helados y los ahogamientos suben juntos, porque el calor del verano impulsa ambos. Un factor de confusión (una tercera variable oculta) hace que dos cosas se muevan juntas sin que ninguna cause la otra. El remedio que conocen los graduados es la asignación aleatoria: si una moneda decide quién recibe el tratamiento, nada más puede quedar ligado sistemáticamente a él. Donde no se puede asignar al azar, las afirmaciones causales necesitan mucho más que una recta trazada por una nube de puntos.

  Ingeniería: pilas de tolerancias, confiabilidad y Monte Carlo
  Cinco piezas, de 10 mm ± 0.1 mm cada una, se alinean en un conjunto. ¿Cuál es lo peor que puede desviarse el total? El apilamiento del peor caso suma las tolerancias: ±0.5 mm. Es seguro y caro, porque supone que todas las piezas están en su extremo y en la misma dirección a la vez. Si las piezas varían de forma independiente, se suman las varianzas, así que las desviaciones estándar se suman en cuadratura: raíz de la suma de cuadrados, √5 × 0.1 = ±0.224 mm. Con cinco piezas es menos de la mitad de la cifra del peor caso.
  Cuando las fórmulas se complican, los ingenieros usan Monte Carlo: dejan que la computadora (o el ordenador, en España) arme el conjunto diez mil veces con piezas aleatorias y cuentan cuántas veces falla. Aquí la tolerancia de cada pieza se trata como tres desviaciones estándar. Elige cuántas piezas apilar.

  
    Interactivo · Pila de tolerancias con Monte Carlo
    
      Piezas en la pila
      Armar de nuevo 10,000 conjuntos
      
      
    
    Sin JavaScript: cinco piezas de ±0.1 mm (tres desviaciones estándar) dan un límite de peor caso de ±0.5 mm, un límite de raíz de suma de cuadrados de ±0.224 mm y, en la simulación, solo cerca del 0.3% de los conjuntos supera el límite de raíz de suma de cuadrados; ninguno se acerca a 0.5 mm.
  
  La salvedad honesta es que la raíz de la suma de cuadrados supone que las piezas varían de forma independiente y están centradas. Una herramienta que se desgasta en el mismo sentido en todas las piezas rompe ese supuesto, y también un lote de un solo proveedor. Los ingenieros no están de acuerdo sobre cuándo confiar en el apilamiento estadístico y cuándo en el del peor caso; los diseños críticos para la seguridad suelen exigir el peor caso.
  La confiabilidad usa la misma aritmética. Un sistema que necesita todas sus partes es un sistema en serie, y las probabilidades se multiplican: diez componentes que funcionan el 99% de las veces dan 0.9910 ≈ 90.4% para el conjunto. Si añades un respaldo en paralelo, para fallar deben fallar los dos: dos unidades que funcionan el 90% de las veces dan 1 − 0.1² = 99%. Estas dos reglas explican por qué los aviones duplican sistemas y por qué las máquinas complicadas exigen componentes muy confiables.

  Lo que un graduado ve sin pensarlo
  
    Todo número tiene una dispersión detrás; la primera pregunta es "¿qué tan disperso?", no "¿cuánto vale?".
    La dispersión, no el promedio, decide cuántas piezas se desechan, y centrar el proceso también importa.
    Los promedios de muchas cosas independientes tienen forma de campana, sea cual sea el aspecto de la fuente.
    Reducir la incertidumbre a la mitad cuesta cuatro veces más datos.
    Un intervalo de 95% es una afirmación sobre un método: falla una vez de cada veinte por diseño.
    Un valor p es "qué tan sorprendente es esto si no pasa nada", no "qué tan probable es que sea cierto".
    Prueba veinte cosas y una parecerá significativa; pregunta cuántas se probaron.
    Dibuja los datos; correlación no es causalidad, y solo la asignación aleatoria rompe un factor de confusión.
    Los errores independientes se suman en cuadratura; las confiabilidades en serie se multiplican.
  

  Dónde aparece después
  
    Métodos de investigación en psicología (34/20): tamaños del efecto, potencia, p-hacking y replicación son esta materia aplicada al laboratorio, y es donde se ve por qué tantos resultados famosos no se repitieron.
    Aprendizaje automático (34/30): entrenar es ajustar un modelo a datos con ruido; las ideas de sobreajuste, barras de error y Bayes son esta materia en grande.
    Ciencia de materiales y manufactura (en inglés, 34/13): la capacidad del proceso y las tasas de desecho son la campana frente a un límite de especificación.
    Mecánica de materiales (en inglés, 34/11) y Diseño de máquinas (en inglés, 34/19): los factores de seguridad existen porque las cargas y las resistencias son distribuciones, no números.
    Ingeniería de sistemas (en inglés, 34/22) y Seguridad informática (en inglés, 34/33): presupuestos de confiabilidad que multiplican probabilidades en serie, y las probabilidades de adivinar un secreto.
  

  Si quieres profundizar
  
    📘 Douglas Montgomery y George Runger, Probabilidad y estadística aplicadas a la ingeniería (Limusa; traducción al español de Applied Statistics and Probability for Engineers). El texto estándar de los cursos de ingeniería, con muchos problemas de tolerancias, calidad y confiabilidad.
    📘 Joseph Blitzstein y Jessica Hwang, Introduction to Probability (CRC Press; 2.ª edición, 2019; en inglés). Lo mejor para la intuición profunda sobre la probabilidad misma, del curso Stat 110 de Harvard.
    📖 David Spiegelhalter, El arte de la estadística: cómo aprender de los datos (Capitán Swing, 2023; traducción de Francisco Herreros). La ruta más legible para aprender por tu cuenta, construida sobre casos reales y honesta sobre la incertidumbre.
    🌐 Estadística y probabilidad, curso de la UNAM en Coursera, en español y de nivel principiante (de bajo costo: inscribirse es gratis; el acceso completo a materiales y tareas es de pago, con prueba gratuita). Totalmente gratis y en español: Estadística y probabilidad de Khan Academy, con vídeos, ejercicios y cuestionarios por unidad.
    🌐 Si lees inglés: MIT OpenCourseWare 18.05, Introduction to Probability and Statistics (primavera de 2022; en inglés), con apuntes y problemas, y estadística bayesiana y clásica lado a lado.
  

  
    Para llevar
    Nada de lo que mides es exacto, así que cada número es una forma. Resume una forma con su centro y su dispersión, confía más en los promedios en proporción a la raíz cuadrada de la muestra, lee un intervalo de confianza como una promesa sobre un método, trata un valor p como una medida de sorpresa y dibuja los datos antes de creer en una correlación.
    Prueba esto: la próxima vez que veas una encuesta o un titular que diga "significativo", busca el tamaño de la muestra y pregunta cuántas cosas se probaron. Luego, en el widget de dados de arriba, añade cuatro dados y mira cómo la carpa se vuelve campana.
  

  
    Fuentes y para profundizar
    Fuentes. La regla de la curva normal (68.3%, 95.4%, 99.7%), el teorema central del límite, los intervalos de confianza, la prueba binomial, la posterior Beta, el apilamiento por raíz de la suma de cuadrados y la confiabilidad en serie y en paralelo son resultados estándar de los libros de texto (Montgomery y Runger; MIT 18.05); cada número mostrado se recalculó en código. Wasserstein y Lazar, "The ASA's Statement on p-Values: Context, Process, and Purpose", The American Statistician (2016). Open Science Collaboration, "Estimating the reproducibility of psychological science", Science (2015): 97% de los originales significativos frente a 36% de las réplicas. Anscombe, "Graphs in Statistical Analysis", The American Statistician (1973). Primeras formas del teorema central del límite: De Moivre (1733) y Laplace (c. 1810), según historias recientes como Ulyanov, "From classical to modern central limit theorems" (arXiv 2405.19828). Sorteo Extraordinario de Navidad: 100,000 números del 00000 al 99999, probabilidad de 1 entre 100,000 por número (Wikipedia en español, "Sorteo Extraordinario de Navidad"). Adaptada de la pieza en inglés Probability & Statistics: Reasoning with Uncertainty.
    Para profundizar. Los libros y el curso de arriba; la declaración de Wasserstein y Lazar es gratuita y breve (doi.org/10.1080/00031305.2016.1154108, en inglés).
    
      🌐 UNAM en Coursera: Estadística y probabilidad (en español)
      🌐 Khan Academy: Estadística y probabilidad (en español, gratis)
      🌐 MIT OCW 18.05 (en inglés)
      📖 Spiegelhalter, El arte de la estadística (Capitán Swing)
    
  

  
    Para tu español
    
      desviación estándar (standard deviation; "desviación típica" in Spain) · campana de Gauss (bell curve) · muestra (sample) · margen de error (margin of error) · valor p (p-value) · factor de confusión (confounder) · intervalo de confianza (confidence interval) · dato atípico (outlier) · desechar (to scrap, discard) · azar (chance, luck)


Step 5. Álgebra lineal: máquinas que mueven el espacio
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Why: Muchos mercados a la vez, y toda regresión, son álgebra lineal.
Una tabla de números es en realidad una máquina que mueve todo el espacio a la vez. Aprende a verla y las economías, los circuitos, los puentes, los buscadores y la inteligencia artificial empiezan a parecerse.

Pellizcas una foto con dos dedos y gira y se agranda suavemente bajo ellos. Un personaje de un videojuego se voltea hacia ti y cada esquina de su cara gira al mismo tiempo. Una búsqueda de "la mejor pizza cerca de mí" ordena millones de páginas en una fracción de segundo. Un economista del banco central modifica un supuesto y una pantalla muestra cómo se mueven a la vez todos los sectores de la economía.
  Debajo de los cuatro hay el mismo objeto: una tabla de números, y un hábito de pensamiento sobre lo que una tabla de números hace. Quien ha cursado álgebra lineal ya no ve una tabla. Ve una máquina que toma todo el plano, o todo el espacio, y lo mueve.
  Esta pieza construye esa imagen con siete cosas que puedes arrastrar. No saldrás sabiendo calcular a mano el determinante de una matriz de 5×5 (nadie lo hace a propósito). Saldrás viendo por qué un sistema de ecuaciones a veces no tiene respuesta, por qué toda regresión es una proyección y por qué los chips que corren la inteligencia artificial están hechos para una sola operación.

  
    La materia en una caja
    Quién la cursa: casi todos los estudiantes de Economía, de Ingeniería y de Informática, normalmente en el primer o segundo año. Es la materia de matemáticas que más se reutiliza en esas carreras. Según el país y la universidad se llama Álgebra lineal, Álgebra y geometría o Matrices y sistemas.
    Para qué sirve: manejar muchas incógnitas y muchas dimensiones a la vez, con un solo juego de herramientas.
    Viene después de: solo el álgebra escolar y un poco de geometría. (El cálculo ayuda, pero no es requisito.)
    Lleva a: Econometría (34/36), Cálculo multivariable (34/33), Macroeconomía (34/35) y Aprendizaje automático (34/30); en ingeniería, Estática (en inglés, 34/10), Sistemas de control (en inglés, 34/20), Vibraciones (en inglés, 34/17) y Arquitectura de computadores (en inglés, 34/25).
    Una línea honesta: después de esta pieza no sabrás programar un modelo de insumo-producto de un país entero. Sí verás por qué casi todo su tiempo se va en resolver una sola ecuación, Ax = b. Si quieres una primera lectura más fácil, prueba Vectores, matrices y transformaciones lineales (en inglés, 12/14); esta va más lejos en resolver, autovectores, ajustar datos y por qué el hardware se interesa.
  

  Una matriz mueve todo el espacio a la vez
  Empieza por la imagen que conserva el graduado. Una matriz de 2×2 no son cuatro números. Son dos flechas. La primera columna dice adónde va a parar la flecha que apunta un paso a la derecha (llámala i). La segunda columna dice adónde va a parar la flecha que apunta un paso hacia arriba (j). Una vez que sabes dónde caen esas dos, sabes dónde cae todo, porque cada punto es cierta cantidad de i más cierta cantidad de j, y la máquina es recta y pareja: las líneas de la cuadrícula siguen siendo rectas, y las líneas igualmente espaciadas siguen igualmente espaciadas.
  Ax = x1(columna 1) + x2(columna 2)
  Léelo en palabras: la matriz por un punto es "tantas veces la primera columna, más tantas veces la segunda". Pruébalo. La cuadrícula gris es el plano original; la cuadrícula azul es adonde lo manda la matriz.

  
    Interactivo · Mueve el plano
    
      No hacer nada
      Girar 30°
      Estirar
      Cizalla
      Espejo
    
    
      Columna 1, parte derecha (a)
      Columna 2, parte derecha (b)
      Columna 1, parte vertical (c)
      Columna 2, parte vertical (d)
      
      
    
    Sin JavaScript: la matriz de giro de 30° manda la flecha (1, 0) a (0.87, 0.5) y la flecha (0, 1) a (−0.5, 0.87). Cada línea de la cuadrícula gira 30° y el cuadrado unitario conserva su área de 1.
  
  Fíjate en lo que hace el cuadrado unitario sombreado. En "Girar" conserva su tamaño. En "Estirar" se duplica. En "Cizalla" se inclina pero conserva su área. Ese cambio de área es la siguiente idea.

  El determinante es cuánto se escala el área
  El determinante es un número que dice cuánto escala la máquina el área. Si el cuadrado unitario se convierte en una figura de área 5, el determinante es 5. Si se convierte en una imagen de espejo, el determinante es negativo: el área se conserva (o se escala) pero la orientación se voltea. Para una matriz de 2×2 con columnas (a, c) y (b, d) la regla es corta:
  det = ad − bc
  Un número resuelto: la matriz con columnas (2, 1) y (1, 3) tiene det = 2×3 − 1×1 = 5, así que estira cada área del plano por un factor de cinco. En tres dimensiones el determinante escala el volumen.
  El caso interesante es el cero. Un determinante de cero significa que la máquina aplasta el espacio: el plano queda aplastado sobre una recta (o un punto), y el área se vuelve nada. Aplastar no se puede deshacer, porque muchos puntos de partida caen en el mismo lugar. Arrastra el deslizador hasta que el determinante llegue a cero.

  
    Interactivo · Aplasta el plano
    
      Inclina la segunda flecha: s
      
      
    
    Sin JavaScript: la matriz con columnas (1, 0.5) y (s, 1) tiene determinante 1 − 0.5s. Con s = 2 el determinante es 0, todo el plano cae sobre una recta, y los puntos (0, 0) y (2, −1) caen ambos en el origen.
  
  El punto naranja es una sonda en (2, −1). Con s = 2 cae exactamente en el origen, el mismo lugar que el punto (0, 0). Dos entradas distintas, una sola salida: ninguna máquina podría decirte con cuál empezaste. Ese es todo el significado de "esta matriz no tiene inversa", y por eso un determinante cero es la alarma en todo programa que resuelve sistemas que vayas a encontrar.

  Resolver muchas ecuaciones a la vez: Ax = b
  Ahora usa la máquina al revés. Dada la salida b, ¿de qué entrada x partió la máquina? Esa es la ecuación Ax = b, y es el problema más común de la matemática aplicada. Cada vez que tienes varias incógnitas atadas entre sí por varias relaciones en línea recta, tienes una.
  Un ejemplo de economía es el modelo de insumo-producto de Wassily Leontief, que presentó en 1936 y por el que recibió el Premio Nobel de Economía en 1973. Toma una economía de dos sectores, agricultura e industria. Cada sector necesita productos de los dos para producir: la agricultura usa algo de su propia producción y algo de la industria (fertilizantes, maquinaria); la industria usa algo de la agricultura (materias primas) y algo de sí misma. Lo que queda después de esos usos internos es la demanda final: lo que compran los hogares, el gobierno y el exterior. La contabilidad de cada sector dice: producción total = lo que usan los sectores como insumos + demanda final. Con aij como la cantidad del sector i que hace falta por cada unidad producida del sector j, queda un sistema de dos ecuaciones. Con a11 = 0.2 y a22 = 0.1 fijas, a12 = 0.3 y a21 = 0.4:
  0.8x1 − 0.3x2 = d1−0.4x1 + 0.9x2 = d2
  El determinante es 0.8×0.9 − 0.3×0.4 = 0.60, así que hay exactamente una respuesta. Con una demanda final de 50 en agricultura y 30 en industria (en millones de dólares, ilustrativos), la economía tiene que producir x1 = 90 en agricultura y x2 = 73.33 en industria: bastante más que lo que se entrega a los consumidores, porque una parte se gasta dentro del propio sistema. Cambia las demandas y los coeficientes y mira cómo cambian a la vez la matriz y la respuesta.

  
    Interactivo · Resuelve una economía con una matriz
    
      Demanda final de agricultura (d1)
      Demanda final de industria (d2)
      Agricultura por cada unidad de industria (a12)
      Industria por cada unidad de agricultura (a21)
      
      
    
    Sin JavaScript: con d1 = 50, d2 = 30, a12 = 0.3 y a21 = 0.4 las ecuaciones son 0.8x1 − 0.3x2 = 50 y −0.4x1 + 0.9x2 = 30, su determinante es 0.60, y la producción necesaria es 90 en agricultura y 73.33 en industria.
  
  La razón por la que importa: nada de este método sabe que es una economía. Un circuito es lo mismo. Dos mallas comparten una resistencia; la ley de voltajes de Kirchhoff dice que el voltaje que se gana en cada malla es igual al que se pierde, lo que da una ecuación por malla. Con una batería de 10 V, R1 = 2 Ω, R2 = 3 Ω (compartida) y R3 = 4 Ω salen 5I1 − 3I2 = 10 y −3I1 + 7I2 = 0, con determinante 26 y corrientes I1 = 2.69 A e I2 = 1.15 A. Una armadura de un puente, también: en cada nudo las fuerzas horizontales suman cero, y las verticales también. Y en la economía real el tamaño es otro: las oficinas de estadística, como el INEGI en México, que publica la Matriz de Insumo-Producto con año base 2018, construyen tablas con muchos sectores y productos, y calcular qué producción total exige una demanda final sigue siendo resolver una Ax = b, con la misma idea y más ecuaciones. (Estática, en inglés, 34/10, es esta idea aplicada a las fuerzas.)
  Un determinante cero en las ecuaciones de un sistema es una advertencia: en la economía, que no hay producción que satisfaga la demanda; en una estructura, que puede moverse sin que ninguna barra empuje de vuelta.

  Autovectores: las direcciones que una transformación solo estira
  La mayoría de las flechas son giradas por una matriz además de estiradas. Pero para muchas matrices hay direcciones especiales donde la flecha sale apuntando igual (o exactamente al revés), solo más larga o más corta. Esos son los autovectores (o vectores propios), y el factor de estiramiento a lo largo de cada uno es su autovalor (o valor propio). (Eigen es "propio" en alemán, y de ahí viene la palabra: las direcciones propias de la matriz.)
  Av = λv
  En palabras: dale a la matriz la flecha especial v y devuelve la misma flecha multiplicada por un número simple λ. Para la matriz con columnas (2, 1) y (1, 2) las direcciones especiales son 45° (estirada por 3) y 135° (estirada por 1). Cualquier otra flecha se dobla hacia la que más estira. Gira el dial y busca los momentos en que las dos flechas se alinean.

  
    Interactivo · Encuentra las direcciones que solo estiran
    
      Estirar y mezclar
      Cizalla
      Giro
      Dos resortes
    
    
      Dirección de la flecha de entrada
      
      
    
    Sin JavaScript: para la matriz con columnas (2, 1) y (1, 2), una flecha a 45° sale a 45° tres veces más larga, y una flecha a 135° sale a 135° sin cambio. Un giro puro no tiene ninguna dirección así.
  
  Tres cosas para notar. La cizalla tiene una sola dirección especial (a lo largo del eje x, donde no pasa nada). El giro no tiene ninguna, porque toda flecha gira. Y "Dos resortes" tiene dos direcciones especiales con factores de estiramiento distintos, 1 y 3; guarda ese dato.

  Autovectores en acción: puentes que vibran, páginas que se ordenan
  Vibración. Imagina dos masas iguales sobre resortes entre dos paredes. Empújalas como quieras y el movimiento se ve confuso. Pero hay exactamente dos patrones limpios: las dos se balancean juntas, o se balancean en sentidos opuestos. Son los modos, y son los autovectores de la matriz de "dos resortes" de arriba, (1, 1) y (1, −1). Los autovalores 1 y 3 fijan qué tan rápido vibra cada modo: la frecuencia al cuadrado es el autovalor por k/m, así que el modo de movimiento opuesto vibra √3 ≈ 1.73 veces más rápido. Cualquier movimiento confuso es una mezcla de los modos. Así hallan los ingenieros qué tonos harán temblar un ala, el tablero de un puente o un eje de transmisión (Vibraciones, en inglés, 34/17).
  Dinámica económica. La misma idea sirve para un sistema que se actualiza paso a paso, como un modelo en que la economía de este año depende de la del año anterior mediante una matriz. Si todos los autovalores tienen valor absoluto menor que 1, el sistema vuelve al equilibrio después de un choque; si alguno es mayor que 1, se aleja. Es el mismo cálculo con otro nombre en Macroeconomía (34/35).
  Ordenar páginas. Los fundadores de Google modelaron a un navegante que sigue un enlace al azar desde cada página y de vez en cuando salta a una página al azar. El tiempo que pasa a la larga en cada página es su PageRank, y es el autovector (con autovalor 1) de la matriz que describe un paso de ese navegante. En su artículo de 1998, Brin y Page usaron una probabilidad de "amortiguamiento" de 0.85 para seguir enlaces. Puedes hallar el autovector sin resolver nada complicado: empieza con puntajes iguales y aplica la máquina una y otra vez. Pulsa Un paso.

  
    Interactivo · Una web de cuatro páginas encuentra su autovector
    
      Un pasoCorrer 20 pasosReiniciar
      
      
    
    Sin JavaScript: A enlaza a B y C, B enlaza a C, C enlaza a A, D enlaza a C. Después de muchos pasos con amortiguamiento 0.85, los rangos se asientan en A 0.373, B 0.196, C 0.394, D 0.038. D, a quien nadie enlaza, conserva solo la parte base.
  
  Después de unos veinte pasos los números dejan de cambiar: el vector se ha vuelto un autovector, porque aplicar la máquina otra vez devuelve el mismo vector. La página C gana porque dos páginas apuntan a ella y una de ellas (A) está, a su vez, bien posicionada. El mismo esquema describe cualquier cosa que se reparte en proporciones y se actualiza por pasos, como la cuota de mercado de varias marcas cuando los clientes cambian de una a otra con ciertas probabilidades: a la larga, el reparto se asienta en un autovector.

  Mínimos cuadrados: la mejor respuesta cuando no hay una exacta
  Los datos reales nunca son perfectos. Seis mediciones que "deberían" estar en una recta no lo estarán, y entonces las ecuaciones Ax = b tienen más ecuaciones que incógnitas y ninguna solución exacta. ¿Te rindes? No. Eliges la recta cuyo error total sea el menor. Mide cada fallo en vertical, elévalo al cuadrado y suma los cuadrados. La recta de mínimos cuadrados hace ese total lo más pequeño posible.
  Un ejemplo de economía: seis tiendas, con el gasto en publicidad x (miles de dólares al mes) y las ventas y (decenas de miles de dólares al mes). Los datos son inventados. En imágenes: cada fallo al cuadrado es literalmente un cuadrado. Arrastra la recta y mira cómo los cuadrados crecen y se encogen.

  
    Interactivo · Haz los cuadrados lo más pequeños posible
    
      Pendiente
      Altura en x = 0
      Ir a la recta de mínimos cuadrados
      
      
    
    Sin JavaScript: para los seis puntos (1, 1.2), (2, 2.9), (3, 3.1), (4, 4.8), (5, 5.2), (6, 7.1) la mejor recta es y = 1.089x + 0.24, con fallo total al cuadrado de 0.798. La conjetura y = x da 2.75.
  
  La recta de mínimos cuadrados dice que, en estos datos inventados, cada mil dólares más de publicidad se asocia con unos 10,890 dólares más de ventas (1.089 × 10,000). Se asocia, no se causa: que la publicidad cause las ventas es otra pregunta, la que ocupa a Econometría (34/36). Pero la recta misma sale de esta idea, y es la regresión que usan los economistas todos los días.
  La imagen del graduado es geométrica: el lado derecho b es un punto fuera de la lámina plana de todo lo que la matriz puede alcanzar, y la mejor respuesta es el punto de la lámina más cercano a él, que se halla soltando una perpendicular. Esa condición de perpendicularidad da la ecuación que hay que recordar:
  ATA x̂ = ATb
  En palabras: multiplica ambos lados por la matriz volteada de costado y obtienes un sistema cuadrado que sí puedes resolver. En econometría esta es la fórmula de los estimadores de mínimos cuadrados ordinarios, con tantas variables como quieras. La historia es una disputa de prioridad: Legendre publicó el método en 1805, Gauss dijo que lo usaba desde 1795 y lo publicó en 1809, y su uso para predecir dónde reaparecería el asteroide Ceres en 1801 lo hizo famoso. Hoy está debajo de toda línea de tendencia, de toda calibración de un sensor y del primer modelo que entrena casi cualquier estudiante de aprendizaje automático.

  Por qué las GPU y la IA son multiplicación de matrices
  Multiplicar dos matrices son solo muchos productos punto: cada celda de la respuesta es una fila de la primera matriz emparejada con una columna de la segunda, multiplicadas y sumadas. Toca una celda de abajo y mira la fila y la columna que la forman.

  
    Interactivo · Construye un producto celda por celda
    
      Toca una celda de C = A × B.
      
      
      Tamaño n de la matriz (n × n por n × n)
      
        mil millones de multiplicaciones por segundo
        100 mil millones por segundo
        10 billones por segundo
      
      
      Las velocidades son números redondos ilustrativos, no de un chip en particular.
    
    Sin JavaScript: multiplicar dos matrices de n×n toma n×n×n multiplicaciones. Para n = 1,000 son 1,000,000,000 (mil millones), y las 1,000,000 de celdas de la respuesta se pueden calcular todas de forma independiente.
  
  De ahí se siguen dos hechos. Primero, el trabajo es enorme: las matrices de n×n necesitan n³ multiplicaciones, así que 1,000×1,000 son mil millones. Segundo, las celdas son independientes, así que mil trabajadores (o un millón) pueden tomar celdas a la vez. Esa es exactamente la forma del trabajo para el que se construyó un chip gráfico, porque dibujar una escena en 3D significa pasar cada esquina de cada triángulo por una matriz que la gira, la mueve y la proyecta.
  Las redes neuronales modernas resultaron tener la misma forma. Una capa de una red es una matriz de números aprendidos por un vector (o una matriz) de entradas. En su artículo sobre leyes de escala, Kaplan y colaboradores estiman que un modelo de lenguaje tipo transformer con N parámetros necesita aproximadamente 2N operaciones aritméticas para procesar un token. GPT-3, con 175 mil millones de parámetros, necesita entonces unas 3.5×1011 operaciones por cada token, casi todas dentro de productos de matrices. Las GPU Volta de NVIDIA (2017) pusieron en el chip circuitos dedicados llamados "tensor cores" que no hacen más que una pequeña multiplicación y suma de matrices (4×4) por cada tic del reloj. Cuando se dice que la IA corre en GPU, quiere decir que corre en un hardware con forma de álgebra lineal. (Arquitectura de computadores, en inglés, 34/25, y Aprendizaje automático, 34/30.) Una pista de lengua: en el español de casi todos los países, 109 es "mil millones" y 1012 es "un billón"; el "billion" del inglés es nuestro "mil millones", y su "trillion" es nuestro "billón".

  Lo que un graduado ve sin pensarlo
  
    Una matriz es una máquina que mueve todo el espacio; sus columnas dicen adónde van las flechas de la base.
    El determinante es el factor de escala del área (o del volumen), y cero significa que la máquina aplasta el espacio y no se puede deshacer.
    "Resolver Ax = b" es la misma pregunta para una economía de varios sectores, un circuito, una armadura, una recta ajustada y un paso de la física de un videojuego.
    Si hay tantas ecuaciones independientes como incógnitas, hay una respuesta; si hay menos, muchas; si se contradicen, ninguna.
    Los autovectores son las direcciones que una máquina solo estira; simplifican cualquier problema que la máquina conduzca, desde la vibración de un puente hasta si una economía vuelve al equilibrio.
    Un sistema que vibra es una mezcla de modos, uno por autovector; los autovalores son los tonos.
    Cuando no hay respuesta exacta, toma la más cercana: proyecta sobre lo que puedes alcanzar. Esa es toda regresión.
    La multiplicación de matrices son muchos productos punto independientes, por eso se paraleliza y por eso el hardware se construye alrededor de ella.
  

  Dónde aparece después
  
    Econometría (34/36): la regresión múltiple es mínimos cuadrados con matrices, y la ecuación AᵀA x̂ = Aᵀb de arriba es la fórmula de los estimadores.
    Macroeconomía (34/35): las economías de varios sectores y las tablas de insumo-producto son sistemas lineales; la estabilidad de un modelo dinámico se lee en los autovalores.
    Cálculo multivariable (34/33): el gradiente, la matriz de derivadas y la optimización con muchas variables se escriben con matrices.
    Aprendizaje automático (34/30): los datos son una matriz, una capa es una matriz y el entrenamiento ajusta matrices; los mínimos cuadrados son el primer modelo que se conoce.
    Estática (en inglés, 34/10) y Mecánica de materiales (en inglés, 34/11): las fuerzas en nudos y barras son un sistema lineal; las matrices de rigidez enlazan cargas con deformaciones.
    Vibraciones (en inglés, 34/17), Dinámica (en inglés, 34/12) y Sistemas de control (en inglés, 34/20): las formas modales y las frecuencias naturales son autovectores y autovalores; los autovalores de la matriz de un sistema dicen si el vaivén de un dron se apaga o crece.
    Arquitectura de computadores (en inglés, 34/25) y gráficos: las GPU y los tensor cores existen para multiplicar matrices rápido.
  

  Si quieres profundizar
  
    🌐 Gratis, en español. Álgebra Lineal, Universidad Carlos III de Madrid (OpenCourseWare, 2017): presentación, programa, material de clase, ejercicios y pruebas de evaluación. Y Álgebra Lineal y Geometría (2024), de la Universidad de Cantabria: matrices, determinantes, espacios vectoriales, mínimos cuadrados, transformaciones lineales y valores y vectores propios.
    📘 Libro de texto. David C. Lay, Steven R. Lay y Judi J. McDonald, Álgebra lineal y sus aplicaciones (Pearson, 5.ª edición en español, 2016); la editorial lo presenta para cursos de ingeniería, física, matemáticas, administración, finanzas y economía. Otro texto en español es Stanley I. Grossman y José Job Flores Godoy, Álgebra lineal (McGraw-Hill, 8.ª edición).
    📘 En inglés. Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra (Wellesley-Cambridge Press; 6.ª edición, 2023), el curso estándar para ingenieros. Para las demostraciones, Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right (Springer; 4.ª edición, de lectura gratuita en linear.axler.net) es el camino teórico elegante.
    ▶️ 3Blue1Brown, Essence of Linear Algebra (en inglés): la mejor serie visual para aprender por tu cuenta; construye exactamente la imagen de "la matriz como espacio que se mueve" que usa esta pieza.
    🌐 Curso de bajo costo, en español. URosarioX: Fundamentos de álgebra lineal, de la Universidad del Rosario (Colombia) en edX (edX: revisa en la página si hay acceso gratuito; si no, es de bajo costo). También gratis y en inglés: MIT OpenCourseWare 18.06, Linear Algebra (Gilbert Strang), con clases completas en video.
  

  
    Para llevar
    El álgebra lineal es el estudio de las máquinas que mueven todo el espacio a la vez. Lee una matriz por sus columnas, lee su determinante como la escala del área, resuelve Ax = b cuando necesites correr la máquina al revés (una economía de Leontief, un circuito, una armadura), busca las direcciones de los autovectores cuando quieras que sea simple y proyecta sobre lo que puedes alcanzar cuando no haya respuesta exacta.
    Prueba esto: la próxima vez que una aplicación acerque, gire o cambie el color de una foto, imagina las dos flechas de las columnas moviéndose. Y por diversión, en el interactivo de la economía sube el coeficiente a21 a 0.8 y a12 a 0.8: mira cómo la producción necesaria se dispara cuando el determinante se acerca a cero.
  

  
    Fuentes y para profundizar
    Fuentes. Strang, Introduction to Linear Algebra (6.ª ed., 2023) y MIT 18.06 para el contenido del curso estándar. Las ecuaciones de malla de Kirchhoff y los modos de masa-resorte son deducciones de libro de texto; todos los números de arriba se volvieron a calcular en código. Modelo de insumo-producto: W. Leontief, "Quantitative Input and Output Relations in the Economic System of the United States", Review of Economics and Statistics 18(3), 1936, pp. 105–125 (Wikipedia, "Wassily Leontief"); Premio Nobel de Economía 1973 "por el desarrollo del método de insumo-producto y su aplicación a problemas económicos importantes" (NobelPrize.org, "Wassily Leontief – Facts"); Matriz de Insumo-Producto de México, año base 2018, publicada por el INEGI (página del programa en inegi.org.mx). Interactivo de la economía, calculado en node: con a11 = 0.2, a22 = 0.1, a12 = 0.3, a21 = 0.4, el determinante de (I − A) es 0.60 y, para d = (50, 30), x = (90, 73.333); los números son ilustrativos. Datos de publicidad y ventas inventados; recta de mínimos cuadrados y = 1.089x + 0.24 con suma de cuadrados 0.798. Legendre 1805 y la reclamación de prioridad y la predicción de Ceres de Gauss: Wikipedia, "Least squares"; biografía de Legendre en MacTutor. PageRank y el factor de amortiguamiento 0.85: Brin y Page, "The Anatomy of a Large-Scale Hypertextual Web Search Engine" (1998). Tensor cores de Volta (multiplicación y acumulación de matrices de 4×4): Markidis et al., "NVIDIA Tensor Core Programmability, Performance & Precision" (2018). Unas 2N operaciones por token: Kaplan et al., "Scaling Laws for Neural Language Models" (2020); GPT-3 con 175 mil millones de parámetros: Brown et al. (2020). Las ediciones de libros y los cursos se comprobaron en las páginas de las editoriales y de las instituciones (Pearson, McGraw-Hill, OpenCourseWare de la UC3M y de la Universidad de Cantabria, edX, MIT OpenCourseWare). Adaptada de la pieza en inglés Linear Algebra.
    
      🌐 UC3M, OpenCourseWare: Álgebra Lineal (gratis)
      🌐 Universidad de Cantabria, OpenCourseWare: Álgebra Lineal y Geometría (2024) (gratis)
      🌐 edX: URosarioX Fundamentos de álgebra lineal (revisa el acceso; si no es gratis, es de bajo costo)
      🌐 MIT OpenCourseWare 18.06 Linear Algebra (gratis, en inglés)
      ▶️ 3Blue1Brown: Essence of Linear Algebra (en inglés)
      📘 Lay, Lay y McDonald, Álgebra lineal y sus aplicaciones (Pearson)
      📘 Grossman y Flores Godoy, Álgebra lineal (McGraw-Hill)
    
  

  
    Para tu español
    
      matriz (matrix) · determinante (determinant) · autovector (o vector propio) (eigenvector) · autovalor (o valor propio) (eigenvalue) · sistema de ecuaciones (system of equations) · mínimos cuadrados (least squares) · insumo-producto (input-output) · demanda final (final demand) · billón (trillion, 1012) · mil millones (billion, 109)


Step 6. Cálculo multivariable: cálculo sobre un paisaje
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Why: Elegir la mejor canasta con un presupuesto es optimizar en muchas variables.
Una gota de lluvia en una ladera elige sin pensar el camino más empinado hacia abajo. La flecha que sigue es la misma que entrena a toda red neuronal, que conduce el calor por una placa de metal y que decide qué canasta compras con tu presupuesto.

Párate en una ladera con un mapa. La altura depende de dos cosas a la vez: qué tan al este estás y qué tan al norte. El cálculo de una variable maneja una entrada a la vez. La ladera pide una pregunta nueva: de todas las direcciones en que podría dar un paso, ¿cuál sube más rápido?
  Casi nada real depende de un solo número. La temperatura en el bloque de un motor depende de la posición en tres dimensiones. El error de un modelo de lenguaje depende de miles de millones de pesos ajustables. La presión del aire depende del lugar y del tiempo. Y lo que compras depende de al menos dos cosas a la vez: si el arroz sube de precio, cambia lo que gastas en arroz, pero también en pollo. Este curso toma las ideas de pendiente y área del Cálculo (34/32) y las deja vivir en más de una dimensión. Sorprende lo poco nuevo que hace falta: una flecha nueva, el gradiente, y una regla contable nueva, la idea de que lo que sale de una región es lo que se produce dentro.

  
    La materia en una caja
    Quién la cursa: los estudiantes de Economía en el segundo año, de Ingeniería y de Física; los de Informática la encuentran cuando el aprendizaje automático la necesita. Según el país se llama Cálculo II, Cálculo en varias variables, Cálculo vectorial o Análisis matemático II.
    Para qué sirve: calcular cambios y totales cuando muchas cosas varían a la vez.
    Viene después de: Cálculo (34/32).
    Lleva a: Microeconomía (34/14) y Econometría (34/36) en esta carrera; Aprendizaje automático (34/30); y, en ingeniería, Física II: electricidad y magnetismo (en inglés, 34/07), Mecánica de fluidos (en inglés, 34/15), y a través de ellas Transferencia de calor (en inglés, 34/16) y Propulsión (en inglés, 34/21).
    Una línea honesta: después de esta pieza no podrás resolver a mano una integral de superficie. Sí verás por qué un gradiente apunta cuesta arriba, por qué elegir la mejor canasta con un presupuesto es el mismo problema, por qué entrenar una inteligencia artificial es "solo" rodar cuesta abajo y qué dicen en palabras simples los grandes teoremas.
  

  Dos entradas forman un paisaje, y una derivada parcial es una pendiente
  Una función de dos entradas es una superficie: la altura sobre cada punto de un mapa. Los ingenieros la dibujan como los excursionistas, con curvas de nivel: líneas muy juntas significan terreno empinado, líneas muy separadas significan terreno suave. Los economistas la dibujan igual: las curvas de nivel de la satisfacción de un consumidor se llaman curvas de indiferencia.
  Para preguntar "¿qué tan empinado?" hay que decir en qué dirección. Camina hacia el este y anota la pendiente: es la derivada parcial respecto de x, que se escribe ∂f/∂x. Deja quieto el este y camina hacia el norte: es ∂f/∂y. La receta es simple: trata las demás variables como congeladas y deriva como antes.
  ∂f/∂x = pendiente de f cuando solo cambia x, con y quieta
  El paisaje de abajo tiene una colina alta cerca de (1, 1) y otra más baja cerca de (−1.2, −0.8). Arrastra el punto sobre el mapa (o usa los deslizadores). La flecha celeste muestra la pendiente hacia el este y la verde la pendiente hacia el norte; una flecha hacia la izquierda o hacia abajo significa que el terreno desciende en esa dirección.

  
    Interactivo · Recorre el mapa
    
    Posición este–oeste x
      
    Posición norte–sur y
      
    
  
  En el punto de partida (−0.2, 0.3) la altura es 0.684, la pendiente hacia el este +0.621 y la pendiente hacia el norte +0.226: el terreno sube en ambas direcciones, más empinado hacia el este.

  El gradiente apunta directo cuesta arriba
  Junta las dos pendientes parciales en una sola flecha, con la componente este primero: es el gradiente, que se escribe ∇f. Tiene una propiedad hermosa: apunta en la dirección de máximo ascenso, y su longitud es qué tan empinado es. Si das un paso en cualquier otra dirección, la pendiente es la longitud del gradiente por el coseno del ángulo entre tu paso y la flecha. Justo a lo largo de ella, el coseno es 1: lo máximo que puedes obtener. De lado, el coseno es 0: caminas por una curva de nivel y te quedas a la misma altura.
  pendiente en la dirección u = ∇f · u = |∇f| cos(ángulo)
  De aquí salen dos consecuencias. El gradiente siempre es perpendicular a la curva de nivel que pasa por ese punto, y por eso el agua corre cruzando las curvas de nivel, no a lo largo de ellas. Y la misma flecha gobierna el calor: en la ley de Fourier, el calor fluye cuesta abajo por el gradiente de temperatura, de lo caliente a lo frío, con una rapidez proporcional a su inclinación. Muchas leyes de difusión tienen esta forma: el flujo sigue el gradiente negativo.

  
    Interactivo · ¿Hacia dónde queda cuesta arriba?
    
    Dirección de tu paso (0° = este, 90° = norte)
      
    Girar hacia el gradiente
    
  
  Gira la dirección rosa hasta que la pendiente sea la mayor: se alinea con la flecha naranja. Gírala 90° respecto de la flecha y la pendiente es cero. En la cima de una colina el gradiente se reduce a nada, la versión multivariable de "pendiente cero significa una cima" del Cálculo.

  Elegir la mejor canasta con un presupuesto
  Aquí está la razón de que el curso esté en el segundo año de Economía. Un consumidor tiene un presupuesto y dos bienes, digamos arroz y pollo, y una "satisfacción" que depende de las dos cantidades: es un paisaje, y las curvas de indiferencia son sus curvas de nivel. Sube cuanto quiera, pero no puede salirse de la recta del presupuesto: px·x + py·y = m. El problema es hallar el punto más alto del paisaje que quede sobre esa recta.
  La geometría del gradiente lo resuelve. Si caminas por la recta del presupuesto y la satisfacción todavía sube, no estás en lo mejor. En la mejor canasta, la recta del presupuesto toca la curva de nivel sin cruzarla: son tangentes. Y como el gradiente es perpendicular a la curva de nivel, eso quiere decir que el gradiente de la satisfacción apunta en la misma dirección que el vector de precios. Dicho en palabras de microeconomía: el último dólar rinde lo mismo en todos los bienes. La condición se escribe con un número auxiliar, el multiplicador de Lagrange:
  ∇U = λ · (px, py)   es decir   utilidad marginal de x ÷ px = utilidad marginal de y ÷ py
  Para verlo, usamos una forma muy común en los libros de texto: U = xα·y1−α, con 0 < α < 1 (la forma Cobb–Douglas, que Charles Cobb y Paul Douglas usaron en 1928 para estudiar la producción; los libros de microeconomía la usan también para las preferencias). El presupuesto es de 100 dólares. Arrastra qué parte del presupuesto va al arroz y mira cuándo la satisfacción es la mayor. Un resultado curioso de esta forma: la mejor canasta siempre gasta la fracción α del presupuesto en el arroz, sin importar los precios. Cambia los precios y verás que cambia cuánto compras, no cuánto gastas. Es una propiedad de esta forma particular, no una ley de la economía: los datos reales no siempre la cumplen.

  
    Interactivo · Elige tu canasta
    Un consumidor ilustrativo con 100 dólares: los números son inventados.
    Cuánto le gusta el arroz: α
      
    Precio del arroz (dólares por kg)
      
    Precio del pollo (dólares por kg)
      
    Parte del presupuesto que va al arroz
      
    Ir a la mejor canasta
    
    
  
  Con los valores iniciales (α = 0.4, arroz a 2 dólares y pollo a 5), la mejor canasta es 20 kg de arroz y 12 kg de pollo. Es el mismo gradiente de arriba trabajando: en ese punto la curva de indiferencia y la recta del presupuesto tienen la misma pendiente. Y la idea se extiende sin cambios a cien bienes, que es una canasta de verdad. También sirve como modelo básico para pensar la política económica: un impuesto o una transferencia cambian la recta del presupuesto, y el consumidor se mueve a otro punto de tangencia. Más sobre cómo se aplican estos modelos en Microeconomía (34/14).

  Rodar cuesta abajo es como aprende una red
  Ahora cambia el signo. Un modelo de aprendizaje automático tiene números ajustables (pesos), y una pérdida mide qué tan mal se equivoca con los datos de entrenamiento. La pérdida es un paisaje sobre los pesos, con una dimensión por peso. Para aprender, se da un paso pequeño en contra del gradiente, es decir, cuesta abajo, se vuelve a calcular y se repite. Es el descenso del gradiente, que Augustin-Louis Cauchy propuso en 1847 para resolver ecuaciones, mucho antes de las computadoras. La regla de la cadena del Cálculo es lo que permite calcular el gradiente capa por capa, en el método llamado retropropagación, publicado por Rumelhart, Hinton y Williams en Nature en 1986. Un modelo como GPT-3 (2020) tiene 175 mil millones de pesos, así que su paisaje tiene 175 mil millones de dimensiones, y aun así la regla es la misma flecha.
  nueva posición = posición anterior − (tamaño del paso) × ∇(pérdida)
  El tamaño del paso importa, y puedes sentir por qué. En el cuenco de abajo, una dirección es doce veces más empinada que la otra. Un paso demasiado pequeño se arrastra; uno justo es rápido; uno demasiado grande hace que cada paso se pase del fondo del valle por más de lo que había al empezar, y la pérdida explota. Para este cuenco, los pasos mayores que 1/6 (unos 0.167) divergen.

  
    Interactivo · Tasa de aprendizaje
    
      Muy pequeño
      Bueno
      Zigzag
      Muy grande
    
    Tamaño del paso (tasa de aprendizaje)
      
    Pasos dados
      
    
    
  
  El entrenamiento real usa refinamientos (impulso, pasos adaptativos, minilotes aleatorios), pero todos son maneras de lidiar con exactamente este dibujo: un valle largo y angosto donde la dirección más empinada no es la dirección del destino.

  Las integrales dobles y triples suman todo un paisaje
  Las integrales se extienden del mismo modo. Una integral simple suma rebanadas delgadas a lo largo de una línea. Una integral doble suma parcelitas diminutas sobre un área: si cada parcela tiene una densidad (habitantes por kilómetro cuadrado), la suma es la población del terreno. Una integral triple hace lo mismo sobre un sólido, con densidad en masa por metro cúbico. La receta es rebanar, multiplicar y sumar, repetida una vez por cada dimensión.
  población = suma sobre todas las piezas de (densidad × tamaño de la pieza)  =  ∬ ρ dA
  Las mismas sumas dan también el centroide, el punto de equilibrio: pondera cada posición por la masa de su pieza y divide entre el total. Los ingenieros lo usan todo el tiempo: el centro de masa de un cohete, un auto o un avión decide si es estable. En economía urbana y en demografía se llama centro de gravedad de la población, y sirve para ver hacia dónde se desplaza una ciudad. Prueba un barrio alargado de 2 km de largo y 1 km de ancho cuya densidad de población sube a lo largo.

  
    Interactivo · ¿Dónde se equilibra la población?
    La densidad sube a lo largo: a (miles de personas por km² por km)
      
    La densidad sube a lo ancho: b
      
    
    
  
  La densidad aquí es 1 + ax + by (miles de personas por km²). Con a = 3 y b = 0, la población del barrio es 2 + 2×3 = 8 mil personas y el centro de gravedad queda en x = 1.25 km, desplazado del centro (1 km) hacia el extremo más poblado. Los números son ilustrativos, no de un barrio real.

  Un campo vectorial pone una flecha en cada punto
  El viento en un mapa del clima, el agua en una tubería, la atracción de un imán: cada uno asigna una flecha (una dirección y una fuerza) a cada punto del espacio. Eso es un campo vectorial. Dos números calculados con las derivadas parciales del campo dicen casi todo lo que hace localmente.
  Divergencia: ¿el campo se está abriendo desde aquí, o converge? Una llave de agua es una fuente; un desagüe es un sumidero. Una divergencia positiva significa que una gota de fluido se está expandiendo. Rotacional (o rotor, en España): ¿el campo gira? Pon una ruedita de paletas en la corriente. Si gira, el rotacional no es cero, y su signo dice en qué sentido.
  divergencia = ∂vx/∂x + ∂vy/∂y    rotacional = ∂vy/∂x − ∂vx/∂y
  Elige un campo y deja que una mancha redonda de fluido (las rayas grises muestran dónde empezó) sea arrastrada. Verás que una fuente infla la mancha sin girarla, un remolino la gira sin cambiar su área, y una silla la estira en un sentido y la comprime en el otro conservando su área.

  
    Interactivo · Deja que una mancha se desplace por un campo
    
      Fuente
      Remolino
      Cizalla
      Silla
    
    Tiempo transcurrido
      
    
    
  
  La divergencia y el rotacional son las dos palabras de las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo (Física II, en inglés, 34/07) y de las ecuaciones del flujo de fluidos (Mecánica de fluidos, en inglés, 34/15). Abrirse y girar son las dos cosas que un campo puede hacer localmente, además de desplazarse en conjunto.

  Lo que sale de una región es lo que se produce dentro
  Esta es la idea detrás de los tres grandes teoremas, en el lenguaje de una tina de baño. Si el agua sale a chorros por el borde de una región, entonces algunas llaves adentro deben estar produciéndola (o el nivel de adentro está bajando). Suma cada fuente y cada sumidero diminutos de adentro y obtienes el flujo neto que sale por el borde. No hace falta más.
  flujo neto que sale por el borde = divergencia total adentro
  Ese es el teorema de la divergencia (o de Gauss), la versión tridimensional del enunciado. El teorema de Green es la versión plana (el nombre honra a George Green, cuyo Essay de 1828 contenía la fórmula relacionada de superficie a volumen), y el teorema de Stokes relaciona el giro de un campo dentro de una superficie con el flujo alrededor de su borde. Los tres dicen el mismo tipo de cosa: una suma sobre un borde es igual a una suma de cambios locales adentro. Por eso se puede medir una máquina que gira desde afuera, y por eso las leyes de conservación se pueden escribir como "el total de esta región cambia en lo que cruza sus paredes" (forma integral) o como una ecuación sobre cada punto (forma diferencial). En economía, un flujo de dinero o de mercancías entre regiones tiene la misma contabilidad: lo que sale de un país menos lo que entra es lo que ese país produce o acumula.

  
    Interactivo · Cuenta el flujo de dos maneras
    
      Fuente
      Cúbico
      Fuente adentro, sumidero afuera
      Viento constante
    
    Radio del círculo
      
    Centro del círculo, a la izquierda o a la derecha
      
    
    
  
  El primer número suma el empuje del campo a través del propio círculo. El segundo nunca mira el borde del círculo: suma la divergencia de cada parcela de adentro. Coinciden para todo campo, radio y posición. Para la fuente simple (x, y), la divergencia es 2 en todas partes, así que un círculo unitario encierra 2 × π = 6.283 unidades de producción, y exactamente 6.283 salen por su borde.

  Lo que un graduado ve sin pensarlo
  
    Una pendiente necesita una dirección; una derivada parcial es la pendiente con todas las demás entradas quietas.
    El gradiente apunta directo cuesta arriba, su longitud es la inclinación y es perpendicular a la curva de nivel.
    La mejor canasta con un presupuesto está donde la curva de indiferencia toca la recta del presupuesto: el gradiente de la satisfacción es paralelo a los precios.
    "Cuesta abajo" es toda la idea detrás del entrenamiento de un modelo: da pasos contra el gradiente y cuida el tamaño del paso.
    El calor, y muchas otras cosas, fluyen cuesta abajo por un gradiente, de lo alto a lo bajo.
    Una integral doble o triple es rebanar, multiplicar y sumar, una vez por dimensión; de ahí salen la población o la masa y el centro de gravedad.
    Un campo solo puede, localmente, abrirse (divergencia) o girar (rotacional).
    Lo que sale de una región por su pared es exactamente lo que produce su interior.
  

  Dónde aparece después
  
    Microeconomía (34/14): la elección del consumidor con un presupuesto, la elección de insumos de una empresa y toda optimización con restricciones usan el gradiente y el multiplicador de Lagrange.
    Econometría (34/36): los estimadores de mínimos cuadrados con varias variables se hallan igualando a cero el gradiente del error.
    Aprendizaje automático (34/30): el entrenamiento es descenso del gradiente sobre un paisaje de pérdida con millones o miles de millones de dimensiones.
    Física II: electricidad y magnetismo (en inglés, 34/07): las ecuaciones de Maxwell son enunciados sobre la divergencia y el rotacional de los campos eléctrico y magnético.
    Mecánica de fluidos (en inglés, 34/15): la conservación de la masa es una ecuación de divergencia, y el teorema de la divergencia convierte "lo que cruza las paredes de este volumen de control" en "lo que pasa adentro".
    Transferencia de calor (en inglés, 34/16): la conducción es calor que fluye cuesta abajo por el gradiente de temperatura; la ecuación del calor junta gradiente y divergencia.
  

  Si quieres profundizar
  
    🌐 Gratis, en español. OpenStax, Cálculo, volumen 3: libro de texto completo y gratuito que abarca los vectores, las funciones de varias variables y la integración múltiple. Y el curso Cálculo II (2018), de la Universidad de Cantabria, en su OpenCourseWare: integral doble y triple, campos escalares y vectoriales, integrales de línea y de superficie.
    📘 Libro de texto. James Stewart, Daniel Clegg y Saleem Watson, Cálculo de varias variables: trascendentes tempranas (Cengage, 2021; primera edición en español, que corresponde a la novena en inglés). El texto estándar de varias variables, rico en ejemplos.
    📘 Para la geometría (en inglés). Jerrold Marsden y Anthony Tromba, Vector Calculus (6.ª ed., W. H. Freeman): el clásico para la geometría de la divergencia, el rotacional y los grandes teoremas.
    🌐 Curso gratis, en inglés. MIT OpenCourseWare 18.02SC Multivariable Calculus, con clases, notas y ejercicios.
  

  
    Para llevar
    Con muchas entradas, una pendiente necesita una dirección. Las derivadas parciales son las pendientes a lo largo de los ejes; el gradiente las junta en una sola flecha que apunta cuesta arriba y mide qué tan empinado es. Camina en su contra y haces descenso del gradiente, que entrena modelos con miles de millones de pesos y también describe cómo fluye el calor. Elige a lo largo de una recta de presupuesto y el mismo gradiente te dice la mejor canasta. Las integrales se extienden a áreas y volúmenes, y dan población, masa y centros de gravedad; y para los flujos toda la materia descansa en una sola regla contable: lo que sale de una región por su frontera es lo que produce su interior.
    Prueba esto: en cualquier colina, una cuesta de un parque o una calle, busca la línea por la que rodaría una pelota: es el gradiente negativo. Luego fíjate en que el camino de la pelota cruza las curvas de nivel en ángulo recto. Y la próxima vez que pagues en una tienda, pregunta si el último dólar que gastaste te rindió lo mismo que el anterior en otra cosa.
  

  
    Fuentes y para profundizar
    Fuentes. Descenso del gradiente: A.-L. Cauchy, "Méthode générale pour la résolution des systèmes d'équations simultanées", Comptes rendus 25 (1847), pp. 536–538; Claude Lemaréchal, "Cauchy and the gradient method", Documenta Mathematica, volumen extra ISMP (2012). Retropropagación: Rumelhart, Hinton y Williams, Nature 323 (1986), pp. 533–536. Los 175 mil millones de parámetros de GPT-3: Brown et al., "Language Models are Few-Shot Learners" (2020, arXiv 2005.14165). El Essay de Green de 1828 que contiene el teorema que lleva su nombre: biografía de MacTutor y el ensayo mismo. La forma Cobb–Douglas: C. W. Cobb y P. H. Douglas, "A Theory of Production", American Economic Review 18 (suplemento), 1928, pp. 139–165. Calculado en node: el paisaje f = 2e−((x−1)²+(y−1)²)/1.5 + 1.2e−((x+1.2)²+(y+0.8)²)/1.0 y su gradiente analítico (comprobado con diferencias finitas, acuerdo hasta 3 × 10−10); descenso del gradiente sobre ½(x² + 12y²), estable para pasos menores que 2/12; masa (aquí, población) y centroide de la placa con sumas de 3,200 celdas contra las fórmulas exactas; área de la mancha contra ediv·t; flujo por el círculo contra la integral de la divergencia para cuatro campos (acuerdo a 4 decimales). La canasta del consumidor es un ejemplo inventado: con α = 0.4, precios de 2 y 5 dólares y 100 dólares de presupuesto, la mejor canasta es 20 kg de arroz y 12 kg de pollo, con utilidad 200.4·120.6 = 14.72; la canasta inicial del deslizador (70% del presupuesto en arroz) da 35 kg de arroz y 6 kg de pollo, con utilidad 12.15. Las ediciones y los cursos se comprobaron en las páginas de las editoriales y de las instituciones (Cengage Latinoamérica, OpenStax, OpenCourseWare de la Universidad de Cantabria y MIT OpenCourseWare). Adaptada de la pieza en inglés Multivariable Calculus.
    
      🌐 OpenStax: Cálculo, volumen 3 (gratis)
      🌐 Universidad de Cantabria, OpenCourseWare: Cálculo II (2018) (gratis)
      🌐 MIT OpenCourseWare 18.02SC Multivariable Calculus (gratis, en inglés)
      🌐 Documenta Mathematica, volumen ISMP (en inglés), que contiene la breve historia del descenso del gradiente de Lemaréchal
      📘 Stewart, Clegg y Watson, Cálculo de varias variables: trascendentes tempranas (Cengage)
      📘 Marsden y Tromba, Vector Calculus, 6.ª ed. (en inglés)
    
  

  
    Para tu español
    
      derivada parcial (partial derivative) · gradiente (gradient) · curva de nivel (contour line) · curva de indiferencia (indifference curve) · presupuesto (budget) · descenso del gradiente (gradient descent) · divergencia (divergence) · rotacional (curl) · integral doble (double integral) · mil millones (billion)


Step 7. Econometría: cómo encontrar qué causó qué
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Why: La correlación es barata; la revolución de la credibilidad es cómo los economistas encuentran causas.
La correlación es barata. La econometría es el oficio de pasar de "esto se mueve junto con aquello" a "esto hizo que aquello ocurriera", y de saber cuánto te pueden engañar en el camino.

Una ciudad abre una nueva línea de metro, y un año después los precios de las viviendas a lo largo de la línea han subido. ¿Lo hizo el metro? Quizá. O quizá la ciudad trazó la línea donde ya esperaba que la zona creciera. O una universidad nueva abrió cerca el mismo año. Todo titular que dice "X está vinculado con Y" esconde esta pregunta, y casi siempre el titular no puede responderla.
  Un economista ve el mismo patrón en una ley de salario mínimo, en el tamaño de los grupos escolares, en un cambio de impuestos, en un ensayo clínico. Los datos muestran un vínculo. El trabajo es decir cuál habría sido el vínculo si no hubiera pasado nada más. Eso es la econometría: estadística hecha para preguntas en las que casi nunca puedes correr el experimento, y en las que las personas de tus datos eligieron sus propias circunstancias.

  
    La materia en una caja
    
      Quién la cursaEstudiantes de Economía, normalmente en segundo o tercer año, justo después de un primer curso de estadística. Los programas de políticas públicas, ciencia política, finanzas y analítica de negocios enseñan primos cercanos. Programas como el Course 14-1 del MIT, la LSE y Chicago la exigen.
      Para qué sirvePara estimar el efecto de una cosa sobre otra a partir de datos reales y desordenados, con una declaración honesta de cuánto podría equivocarse la estimación.
      Viene después de:Probabilidad y estadística (34/19).
      Lleva a:Economía del desarrollo (34/39), y es la herramienta de trabajo en Economía conductual (34/27), Investigación de mercados (34/46) y Aprendizaje automático (34/30).
      Qué te da esta piezaNo podrás correr un paquete de regresión después de leerla. Sí verás por qué un coeficiente puede mentir, qué hace un estudio ingenioso para que no mienta, qué mostró una de las evaluaciones aleatorias más famosas de la región (Progresa, en México) y por qué un resultado "significativo" es evidencia más débil de lo que suena. Va más lejos que Probabilidad y estadística (34/19), cuyo último apartado se detiene en "correlación no es causalidad"; aquí está qué hacer al respecto. Un comienzo más suave es How to Spot Bullshit (en inglés, 17/03). Todos los conjuntos de datos de los interactivos son inventados y están rotulados como ilustrativos.
    
  

  La regresión es la recta que mejor se ajusta
  Toma a doce estudiantes: las horas que estudió cada uno y la nota que sacó. Si los marcas en un gráfico, los puntos suben en general. Una regresión traza la recta que queda más cerca de todos los puntos. "Más cerca" tiene un significado preciso: para cada punto se mide la distancia vertical hasta la recta (el residuo), se eleva al cuadrado y se suman los cuadrados. La recta con la menor suma es la de mínimos cuadrados ordinarios (MCO). Elevar al cuadrado hace que un error grande cuente mucho más que varios pequeños; la figura muestra cada error al cuadrado como un cuadrado de verdad.
  nota = a + b × horas + errorb es la pendiente: la diferencia de nota entre dos estudiantes que difieren en una hora de estudio
  
    Interactivo · Ajusta la recta tú mismo (datos ilustrativos)
    Pendiente b (puntos por hora)
      
    Intercepto a (nota con 0 horas)
      
    Saltar a la mejor recta
    
    
    Doce estudiantes inventados. La mejor recta se halla resolviendo las ecuaciones de mínimos cuadrados; ninguna otra recta tiene una suma menor de errores al cuadrado.
  
  La mejor recta aquí es aproximadamente 47 + 3.5 × horas (el recuadro da el valor exacto). El coeficiente b dice: los estudiantes que estudiaron una hora más sacaron cerca de 3.5 puntos más. Fíjate en lo que esa frase no dice. Compara a estudiantes distintos. No dice que obligar a una estudiante a estudiar una hora extra le subiría la nota 3.5. Esa brecha, entre una comparación y una causa, es el resto del curso.

  Variables omitidas: añade el confusor y mira cambiar el efecto
  Supón que haces una regresión de los salarios sobre los años de escolaridad en una encuesta grande y encuentras que cada año extra va acompañado de mejor paga. ¿Es eso lo que la escuela hace? Las personas con más empuje o talento pueden tanto quedarse más tiempo en la escuela como ganar más de todos modos. Si es así, el coeficiente de la escolaridad también está absorbiendo el efecto del talento. Es el sesgo de variable omitida, y tiene una regla ordenada:
  sesgo ≈ (efecto del factor omitido sobre el resultado) × (qué tanto se mueve junto con tu variable)si cualquiera de los dos es cero, no hay sesgo
  En el laboratorio de abajo, el efecto verdadero de un año más de escuela es exactamente 3 (miles de dólares). El talento también sube el pago, y un dial fija qué tanto empuja el talento a la gente hacia más escuela. Cambia el modelo entre ignorar el talento e incluirlo.
  
    Interactivo · El confusor oculto (simulación ilustrativa, 1,500 personas)
    Qué tanto empuja el talento a la gente a seguir en la escuela
      
    
      Ignorar el talento
      Controlar por el talento
      Aleatorizar la escolaridad
    
    
    talento superior al promedio   talento inferior al promedio
    
    Efecto verdadero de la escolaridad = 3.0; el talento suma 8 por desviación estándar. Salario = 10 + 3·escuela + 8·talento + ruido. "Aleatorizar" significa que un proceso parecido a lanzar una moneda asigna la escolaridad sin importar el talento.
  
  Sin JavaScript: con el talento empujando la escolaridad con fuerza 1.2, ignorar el talento da un coeficiente de la escolaridad cercano a 4.7 en lugar del 3.0 verdadero; controlar por el talento recupera cerca de 3.0; aleatorizar la escolaridad también recupera cerca de 3.0.
  Ignorar el talento con fuerza 1.2 da cerca de 4.7, más de la mitad por encima. Controla por el talento y baja a cerca de 3. El costo de este arreglo: tienes que medir el confusor. La mayoría de los confusores reales (motivación, contactos familiares, qué tan bien dirigida está la empresa) no aparecen en ningún conjunto de datos. Por eso los economistas pasaron décadas discutiendo qué podían demostrar las regresiones.

  Aleatoriza: la moneda que corta todos los vínculos ocultos
  Pulsa el tercer botón. Cuando la escolaridad se asigna con un proceso sin relación con el talento, se rompe el vínculo entre ambos, y hasta la regresión ingenua que ignora el talento cae en 3. Una moneda es independiente de todo: motivación, familia, suerte, cosas que nadie pensó en medir. Por eso un experimento aleatorizado es el estándar de oro, y por eso el premio Nobel de Economía de 2019 fue para Abhijit Banerjee, Esther Duflo y Michael Kremer por sus enfoques experimentales para reducir la pobreza.
  Un caso famoso de la región: Progresa, en México. Se lanzó en 1997 (el programa se llamó Oportunidades desde 2002) y da dinero a familias pobres a cambio de que sus hijos vayan a la escuela y a la clínica. Como el presupuesto no alcanzaba para llegar a todas las comunidades a la vez, de 506 localidades elegibles se asignó por sorteo que 186 esperaran como grupo de control, y los evaluadores (el IFPRI, de 1997 a 2000) compararon a unas y otras. Entre los resultados, el programa aumentó de manera significativa la matrícula de niños y de niñas, sobre todo la de las niñas y sobre todo en secundaria. El diseño es citado como una de las primeras evaluaciones aleatorizadas de gran escala de un programa social en un país en desarrollo, y ayudó a que gobiernos de todo el mundo tomaran en serio ese método. Nota lo que el diseño hace: nadie tiene que medir el "empuje" de las familias, porque el sorteo se encarga de que las dos listas se parezcan.
  Otro ejemplo, de Colombia: un programa dio vales para pagar parte de la secundaria privada a estudiantes de bajos ingresos. Como había más solicitantes que vales, se sortearon. Tres años después de la lotería, los ganadores tenían 15 puntos porcentuales más de probabilidad de haber asistido a una escuela privada, alrededor de 10 puntos más de haber terminado 8.º grado (sobre todo porque repitieron menos) y puntajes cerca de 0.2 desviaciones estándar más altos en las pruebas (Angrist, Bettinger, Bloom, King y Kremer, American Economic Review, 2002, según el resumen del laboratorio J-PAL). Una lotería es una moneda que ya estaba en la política.
  Pero los economistas rara vez pueden lanzar la moneda: no se puede asignar al azar los años de escolaridad, una recesión ni un salario mínimo. Las tres ideas siguientes son maneras de encontrar una moneda que la naturaleza o una regla ya lanzó. Juntas se llaman la revolución de la credibilidad, una expresión del ensayo de 2010 de Joshua Angrist y Jörn-Steffen Pischke, en respuesta a la queja de Edward Leamer de 1983 de que la econometría necesitaba "sacarse el engaño" de encima.

  Diferencia en diferencias: tomar prestada la tendencia del otro grupo
  En 1992 Nueva Jersey subió su salario mínimo y la vecina Pensilvania no. David Card y Alan Krueger encuestaron restaurantes de comida rápida de ambos estados antes y después (American Economic Review, 1994). Mirar solo Nueva Jersey antes y después habría confundido la ley con cualquier otra cosa que cambiara ese año. En cambio usaron Pensilvania como sustituto de "lo que habría pasado de todos modos". Su hallazgo, que el empleo no cayó en Nueva Jersey, contradecía la predicción de los libros de texto de entonces. Desde entonces se ha discutido: Neumark y Wascher lo reanalizaron con registros de nómina y encontraron pérdidas de empleo, y la lectura global del campo sigue en disputa. El diseño no está en disputa. Card compartió el premio Nobel de 2021 en parte por él.
  efecto = (tratado después − tratado antes) − (comparación después − comparación antes)se resta el cambio del grupo de comparación para eliminar la tendencia común
  
    Interactivo · Diferencia en diferencias (números ilustrativos)
    Tendencia común (afecta a los dos grupos)
      
    Efecto verdadero de la política
      
    El grupo tratado ya iba por otra senda
      
    
    
    El grupo tratado empieza en 20 y el de comparación en 24 (unidades inventadas). Línea punteada: adónde habría ido el grupo tratado sin la política, si hubiera seguido la tendencia del de comparación.
  
  Con una tendencia común de +1.5 y ningún efecto verdadero, el grupo tratado igual sube 1.5, de modo que un "antes y después" ingenuo anunciaría un éxito de la política. La diferencia en diferencias dice, correctamente, cero. El punto débil del diseño es el tercer deslizador: supone que los dos grupos se habrían movido en paralelo sin la política. Si el grupo tratado ya iba por otra senda, la estimación se equivoca exactamente por esa brecha. Los buenos artículos muestran las dos líneas siguiéndose durante años antes de la política.

  Instrumentos y cortes: dos formas más de encontrar una moneda
  Una variable instrumental es algo que empuja aquello que te interesa pero no tiene otro camino hacia el resultado. Angrist (1990) estudió si el servicio militar en la época de Vietnam cambió los ingresos posteriores. Los hombres que eligieron servir son distintos de los que no, así que una comparación simple está confundida. Pero la lotería del reclutamiento asignó números por fecha de nacimiento al azar, y un número bajo hacía mucho más probable el servicio. El número de la lotería es una moneda que empuja a la gente a ponerse el uniforme. Su efecto sobre los ingresos, dividido entre su efecto sobre el servicio, aísla el efecto de servir para las personas que sirvieron por causa de la lotería. Su estudio encontró que el servicio redujo los ingresos de los veteranos afectados.
  efecto del servicio = (brecha de ingresos por grupo de lotería) ÷ (brecha de servicio por grupo de lotería)el cociente de "Wald": forma reducida entre primera etapa
  Un número de ejemplo, inventado para mostrar la aritmética: supón que 35% de los hombres con número bajo sirvieron y 20% de los de número alto, una primera etapa de 0.15; y que los de número bajo ganaron $300 menos al año en promedio. Entonces el efecto estimado de servir es −300 ÷ 0.15 = −$2,000 al año. Dividir entre una primera etapa pequeña agranda el ruido, y por eso los instrumentos débiles son peligrosos.
  Una regresión discontinua usa un punto de corte. Las clases de las escuelas israelíes se limitan a 40 alumnos por una regla atribuida al sabio del siglo XII Maimónides, de modo que una escuela con 40 alumnos tiene un grupo y una con 41 se divide en dos grupos pequeños de unos 20. Angrist y Lavy (1999) compararon escuelas justo a uno y otro lado de esos umbrales, donde la matrícula es casi como lanzar una moneda, para estimar qué hace el tamaño del grupo sobre los puntajes. Mueve la ventana de abajo: las ventanas angostas son más justas pero más ruidosas.
  
    Interactivo · Regresión discontinua (datos ilustrativos)
    Ventana alrededor del corte (± puntos)
      
    Salto verdadero en el corte
      
    
    
    400 estudiantes inventados; quienes sacan 60 o más reciben un programa de apoyo. El resultado sube 0.3 por punto de puntaje de todos modos, así que comparar a todos los de arriba con todos los de abajo exagera el salto.
  

  Errores estándar: ¿cuánto oscilaría la respuesta?
  Toda estimación sale de una muestra, y otra muestra habría dado otro número. El error estándar es el tamaño típico de esa oscilación. Para la pendiente de una regresión se reduce con la raíz cuadrada del tamaño de la muestra, crece con el ruido alrededor de la recta y se reduce cuando x varía mucho:
  EE(b) ≈ (ruido alrededor de la recta) ÷ ( dispersión de x × √n )con cuatro veces más datos la oscilación se reduce a la mitad
  La regla práctica: una estimación a más de unos dos errores estándar de cero se llama estadísticamente significativa al nivel de 5%. Significativa quiere decir "difícil de producir solo por la oscilación de la muestra si el efecto verdadero fuera cero". No quiere decir grande ni importante, y no quiere decir verdadera. Corre 300 estudios de un efecto real pero modesto y mira quiénes se llevan las estrellas.
  
    Interactivo · Corre 300 estudios (simulación ilustrativa)
    Tamaño de muestra por estudio
      
    Pendiente verdadera
      
    Correr 300 estudios nuevos
    
    significativo al 5%   no significativo
    
  
  Con n = 50 y una pendiente verdadera de 0.3, un poco más de la mitad de los estudios alcanza la significancia, y esos promedian cerca de 0.40, un tercio por encima de la verdad, porque solo las sobreestimaciones afortunadas pasan la barra. Baja a n = 10 y una pendiente verdadera de 0.05, y las pocas estrellas (cerca de 8%) promedian alrededor de 0.7, catorce veces demasiado. Los resultados publicados son sobre todo los significativos, así que exageran. Esa es una razón por la que las replicaciones más recientes encuentran con tanta frecuencia efectos menores.

  P-hacking: prueba suficientes cosas y algo brillará
  Una prueba al nivel de 5% se equivoca por azar 1 vez de cada 20 cuando no pasa nada. Prueba 20 resultados sin relación y la probabilidad de que al menos uno se ilumine es 1 − 0.9520 = 64%. Un investigador que prueba varios resultados, subgrupos o conjuntos de controles y reporta el que "funcionó" hace p-hacking, a propósito o solo por vagar por un jardín de senderos que se bifurcan. Simmons, Nelson y Simonsohn (2011) mostraron lo fácil que es: con decisiones flexibles de apariencia ordinaria "encontraron" que escuchar una canción sobre ser mayor hacía a los estudiantes casi año y medio más jóvenes. Los economistas no son inmunes: Brodeur y coautores (2016) encontraron una acumulación antinatural de resultados justo por debajo de la línea de 0.05 en las revistas principales de economía.
  
    Interactivo · Un estudio sobre nada (simulación ilustrativa)
    Resultados que pruebas (todos realmente sin efecto)
      
    Correr un estudioCorrer 500 estudios
    
    
    Cada resultado compara dos grupos de 50 sacados de la misma distribución, así que todo "efecto" es ruido. Una celda se ilumina cuando |t| pasa el corte de 5% (1.98).
  
  Defensas: decidir el análisis antes de ver los datos (preregistro), reportar todas las pruebas que corriste, ajustar el umbral cuando corres muchas y, sobre todo, preferir diseños, como los de arriba, en los que la respuesta no depende de qué controles elegiste.

  Lo que un graduado ve sin pensarlo
  
    Un coeficiente de regresión es una comparación entre personas distintas, no una palanca que puedas jalar.
    Antes de creer que "X sube Y", pregunta qué más se mueve con X y también mueve Y. El sesgo es su efecto por su vínculo con X.
    Agregar controles solo arregla los confusores que mediste. Una moneda arregla los que no mediste.
    Todo estudio de experimento natural es una cacería de una moneda: una lotería, una frontera, un corte, una ley que cambió para unos y no para otros.
    La diferencia en diferencias necesita tendencias paralelas; pide ver los años anteriores a la política.
    "Significativo" quiere decir difícil de obtener solo por oscilación. No dice nada sobre el tamaño, y una estrella con muestra pequeña probablemente exagera.
    Si puedes correr veinte pruebas, una se iluminará. Pregunta cuántas se corrieron.
  

  Dónde aparece después
  
    Economía del desarrollo (34/39): los ensayos aleatorizados y los experimentos naturales son la manera en que los economistas prueban qué ayuda de verdad a los países pobres.
    Economía conductual (34/27): el historial de replicaciones de esa pieza depende de esta, desde los tamaños del efecto hasta el p-hacking.
    Investigación de mercados (34/46): "¿la campaña causó las ventas o fue el verano?" es una diferencia en diferencias.
    Aprendizaje automático (34/30): la predicción pregunta "qué va a pasar"; la econometría pregunta "qué pasaría si lo cambio". Se necesitan mutuamente.
    En el mundo: bancos centrales y agencias tributarias, los equipos de pruebas A/B de las empresas tecnológicas, ensayos de salud pública y todo informe de centro de estudios que dice "causa".
  

  Si quieres profundizar
  
    📘 Libro de texto. James Stock y Mark Watson, Introducción a la econometría (Pearson, edición en español). Un texto de grado estándar, fuerte en pensamiento causal y aplicaciones.
    📘 Libro de texto. Jeffrey Wooldridge, Introducción a la econometría: un enfoque moderno (Cengage, edición en español). La otra opción estándar, con más álgebra y más datos trabajados. En muchas universidades de América Latina también se usa el clásico Econometría de Damodar Gujarati (McGraw-Hill).
    📘 Más amable. Joshua Angrist y Jörn-Steffen Pischke, Dominar la econometría (Antoni Bosch, 2022), la edición en español de Mastering 'Metrics. Escrito para quienes no son especialistas y construido en torno a los diseños de arriba.
    🌐 Gratis, en español. Econometría, de César Alonso-Borrego y Jesús Carro (OpenCourseWare de la Universidad Carlos III de Madrid): curso de grado de Economía con materiales abiertos.
    🌐 Gratis (en inglés). MIT OpenCourseWare 14.32 Econometrics (primavera de 2007, Joshua Angrist): curso de grado con apuntes y problemas.
  

  
    Para llevar
    Una regresión te da una comparación, y una comparación solo es una causa si nada más difiere entre los grupos. La econometría es una caja de herramientas para lograr que eso sea cierto o casi cierto (aleatorizar, restar una tendencia, usar una lotería, acercarse a un corte), más la humildad de reportar cuánto oscilaría tu número y de cuántas maneras lo intentaste.
    Prueba esto: la próxima vez que un titular diga "X está vinculado con Y", nombra un confusor que podría mover a los dos y pregunta qué moneda, frontera o corte podría separarlos.
  

  
    Fuentes y para profundizar
    Fuentes. Los mínimos cuadrados, el sesgo de variable omitida, los errores estándar y el estimador de Wald son material estándar de libro de texto (Stock y Watson; Wooldridge; Angrist y Pischke). Card y Krueger, "Minimum Wages and Employment: A Case Study of the Fast-Food Industry in New Jersey and Pennsylvania", American Economic Review 84(4), 1994; el premio Nobel de Economía 2021 fue para David Card (la mitad) y Joshua Angrist y Guido Imbens (la otra mitad, "por sus contribuciones metodológicas al análisis de las relaciones causales"). Angrist, "Lifetime Earnings and the Vietnam Era Draft Lottery", 1990; Angrist y Lavy, "Using Maimonides' Rule to Estimate the Effect of Class Size on Scholastic Achievement", 1999; la regresión discontinua fue introducida por Thistlethwaite y Campbell en 1960. Angrist y Pischke, "The Credibility Revolution in Empirical Economics", Journal of Economic Perspectives 2010; Leamer, "Let's Take the Con out of Econometrics", 1983. Simmons, Nelson y Simonsohn, "False-Positive Psychology", 2011; Brodeur, Lé, Sangnier y Zylberberg, "Star Wars: The Empirics Strike Back", 2016. El Nobel de Economía de 2019 fue para Banerjee, Duflo y Kremer. Progresa: 506 localidades elegibles, 186 asignadas al azar como control (J-PAL, resumen de la evaluación); evaluación del IFPRI de 1997 a 2000 y cambio de nombre de Progresa (1997) a Oportunidades (2002) (Wikipedia, "Oportunidades"); efectos sobre la matrícula, sobre todo de niñas en secundaria (resumen de J-PAL; Schultz, Journal of Development Economics 74, 2004). Vales en Colombia: Angrist, Bettinger, Bloom, King y Kremer, American Economic Review 92(5), 2002, cifras del resumen de J-PAL (15 puntos porcentuales más de asistencia a escuela privada, cerca de 10 puntos más de haber terminado 8.º grado, cerca de 0.2 desviaciones estándar en pruebas). Edición en español de Angrist y Pischke: catálogo de Open Library (Antoni Bosch, 2022). Cada número que muestra un interactivo se calculó en node con el código de esta página: la mejor recta es 47.0 + 3.53 × horas; el sesgo por variable omitida con fuerza 1.2 es 8 × 1.2 ÷ (1.2² + 4) = 1.76 en teoría (1.67 en esta muestra); 1 − 0.9520 = 64.2%. Todos los conjuntos de datos son inventados.
    
      🌐 UC3M OpenCourseWare: Econometría
      🌐 MIT OCW 14.32 Econometrics (en inglés)
      🌐 J-PAL: Vouchers for Private Schooling in Colombia (en inglés)
      📘 Angrist y Pischke, Dominar la econometría
      📘 Stock y Watson, Introducción a la econometría
    
  

  
    Para tu español
    
      regresión (regression) · residuo (residual) · mínimos cuadrados (least squares) · variable omitida (omitted variable) · confusor (confounder) · error estándar (standard error) · significativo (significant) · grupo de control (control group) · sorteo (lottery, random draw) · sesgo (bias)


Step 8. Teoría de juegos: cuando mi mejor jugada depende de la tuya
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Why: Cuando tu mejor jugada depende de la mía: precios, subastas, carreras armamentistas.
Dos tiendas eligen precios, dos países eligen aranceles, cien postores eligen ofertas. La teoría de juegos es la matemática de elegir cuando todos los demás también eligen, y explica por qué personas inteligentes pueden atraparse a sí mismas.

Dos gasolineras se enfrentan a ambos lados de una carretera. Si las dos cobran un precio justo, las dos ganan bien. Si una baja su precio, se lleva a los clientes y gana más, por un tiempo. Así que cada una está tentada de bajar. Las dos bajan. Ahora las dos ganan menos que antes, y ninguna puede subir el precio sola sin perder a todos. Nadie fue tonto. Cada una hizo lo sensato dado lo que la otra podía hacer.
  Ese patrón, una trampa construida enteramente con decisiones sensatas, es lo primero que la teoría de juegos te enseña a ver. Luego te enseña a salir de la trampa: repitiendo el juego, cambiando quién mueve primero, cambiando las reglas. La misma caja de herramientas explica el diseño de las subastas del espectro de radio y el emparejamiento de donantes de riñón.

  
    La materia en una caja
    
      Quién la cursaEstudiantes de Economía en segundo año, justo después de la microeconomía. Las escuelas de negocios la enseñan dentro de los cursos de estrategia, y los programas de informática y de ciencia política también, porque los algoritmos y las elecciones son juegos. En la ruta de Derecho aparece en el año 4, donde ayuda a entender la competencia, los pactos y la negociación.
      Para qué sirvePara predecir qué harán jugadores racionales y egoístas cuando la mejor jugada de cada uno depende de las de los demás, y para diseñar reglas de modo que el resultado sea bueno.
      Viene después de:Microeconomía (34/14).
      Lleva a:Estrategia y competencia (34/43); también sostiene las subastas y los precios de Precios (34/48) y el pensamiento sobre las reglas del juego de Economía pública (34/37) y de Políticas públicas (34/16).
      Qué te da esta piezaNo sabrás resolver un juego de varias etapas con información incompleta. Sí verás por qué una estrategia dominante puede dejar a todos peor, por qué una amenaza solo funciona si cumplirla te conviene, y por qué el formato de una subasta cambia cómo se puja. Lecturas más fáciles: El contrato social (en inglés, 18/14), que pregunta por qué aceptamos reglas y un Estado, y Anarquismo (en inglés, 31/04), que trata en palabras el problema de los bienes comunes. Esta pieza pone números a esa clase de trampa.
    
  

  Jugadores, estrategias, pagos y el equilibrio de Nash
  Un juego tiene tres ingredientes: los jugadores (quién decide), las estrategias (qué puede hacer cada uno) y los pagos (lo que obtiene cada uno por cada combinación de decisiones, en lo que le importe: dinero, tiempo, votos, supervivencia). Dos jugadores con dos opciones caben en una pequeña cuadrícula, la matriz de pagos. Un jugador elige la fila, el otro la columna, y cada casilla tiene dos números: primero el pago del jugador de la fila, luego el de la columna.
  Dos ideas resuelven casi todas esas cuadrículas. Una estrategia dominante es la que es mejor para ti haga lo que haga el otro: si existe, juégala. Cuando ninguno la tiene, busca un equilibrio de Nash: un par de elecciones en que ninguno podría mejorar cambiando solo la suya. John Nash demostró en 1950 que todo juego finito tiene al menos uno, quizá en estrategias mixtas (tirar un dado entre opciones). Nash compartió el Nobel de Economía de 1994 con John Harsanyi y Reinhard Selten.
  Equilibrio de Nash: la elección de cada jugador es la mejor respuesta a la del otronadie gana cambiando solo; no dice nada de si el resultado es bueno
  
    Interactivo · El banco de trabajo de matrices de pagos
    
      Dilema del prisionero
      Caza del ciervo
      El gallina
      Cara o cruz
      De qué lado manejar
    
    
    
    
    En cada casilla: tu pago (jugador de la fila), luego el del jugador de la columna. Edita los números y el análisis se actualiza. Sombreada = mejor respuesta de ese jugador; casilla con borde = equilibrio de Nash.
  
  Sin JavaScript: en el dilema del prisionero (5, 3, 1, 0), traicionar es dominante para ambos jugadores, el único equilibrio de Nash es que ambos traicionen y obtengan 1 cada uno, y si ambos cooperaran obtendrían 3 cada uno.
  Prueba los ejemplos y lee los veredictos. El gallina y el juego de manejar tienen dos equilibrios puros y uno mixto al 50:50; cara o cruz no tiene ningún equilibrio puro, solo el mixto, y por eso un portero y un pateador de penales deben ser impredecibles. Si en cara o cruz el jugador de la fila se inclina aunque sea un poco por cara, el de la columna lo explota. El economista Ignacio Palacios-Huerta lo llevó al campo: en "Professionals Play Minimax" (Review of Economic Studies, 2003) mostró que en el fútbol profesional, pateadores y porteros mezclan sus decisiones de un modo cercano al que predice la teoría.

  El dilema del prisionero: por qué los listos eligen mal
  Merrill Flood y Melvin Dresher lo idearon en la RAND Corporation en 1950, y Albert Tucker le dio su historia: dos sospechosos, interrogados por separado. Si callas (cooperas), los dos reciben una condena leve. Si traicionas al otro (traicionas) sales libre mientras él recibe la peor. Si los dos traicionan, los dos reciben una condena pesada. Con puntos en lugar de años, los pagos habituales son: tentación 5, cooperación mutua 3, traición mutua 1, ser traicionado 0.
  Haga lo que haga el otro, traicionar te da más: 5 supera a 3 si ella coopera, 1 supera a 0 si ella traiciona. Así que los dos traicionan y los dos obtienen 1, cuando cooperar habría dado 3 a cada uno. El equilibrio es estable y malo. Esa es la lógica de las carreras armamentistas, la sobrepesca, las guerras de precios y las dos gasolineras. Ahora juégalo. Diez rondas contra una computadora cuya regla puedes elegir; sabes que el juego dura exactamente diez rondas.
  
    Interactivo · Juega diez rondas
    
      Ojo por ojo
      Siempre traicionar
      Siempre cooperar
      Rencoroso
      Moneda al aire
    
    CooperarTraicionarReiniciar
    
    Pagos por ronda: si ambos cooperan, 3 cada uno; si traicionas a quien coopera, 5 a 0; si ambos traicionan, 1 cada uno. En las jugadas, C = cooperar y T = traicionar. Ojo por ojo copia tu última jugada; el rencoroso coopera hasta que traicionas una vez y después nunca más.
  
  Contra ojo por ojo, el mejor total en diez rondas es 32: cooperar nueve veces y traicionar en la última, cuando ya no se te puede castigar. Contra siempre traicionar, nada supera 10. Contra siempre cooperar puedes sacar 50. La jugada correcta depende de quién está del otro lado, y eso es toda la materia en una frase.

  Juegos repetidos: cuando el mañana cambia el hoy
  Si te encuentras con la misma persona una y otra vez, la lógica cambia: traicionar hoy invita a la venganza mañana. En 1980 el politólogo Robert Axelrod invitó a teóricos de juegos a enviar programas para un dilema del prisionero repetido, y cada programa jugó 200 jugadas contra cada uno de los otros. El ganador, en este torneo y en un segundo, más grande, fue la entrada más simple: ojo por ojo (tit for tat), enviada por el psicólogo y teórico de juegos Anatol Rapoport. Coopera primero y luego copia la última jugada del oponente. El libro de Axelrod de 1984, La evolución de la cooperación (The Evolution of Cooperation), sacó la lección: las estrategias exitosas eran amables (nunca traicionan primero), provocables (castigan la traición de inmediato), indulgentes (vuelven a cooperar) y claras (fáciles de leer).
  Ojo por ojo nunca le gana a la pareja que enfrenta; lo mejor que puede hacer en un solo enfrentamiento es empatar. Ganó sacando buenos puntajes de casi todos. Haz tu propio torneo pequeño. Seis tipos de jugadores se enfrentan en un todos contra todos de 200 rondas; añade copias de Siempre traicionar y mira si cambia el ganador.
  
    Interactivo · Un torneo todos contra todos (un campo de juguete)
    Participantes que siempre traicionan
      
    
      Sin errores
      Se equivoca 5% de las jugadas
    
    
    
    Participantes: Siempre cooperar, Ojo por ojo, Rencoroso, Pavlov (coopera solo si en la ronda anterior ambos hicieron lo mismo), Moneda al aire, más las copias de Siempre traicionar. Todos se enfrentan a todos durante 200 rondas; las barras muestran el promedio de puntos por ronda. Pagos 5, 3, 1, 0. Un campo de juguete, mucho más pequeño que el de Axelrod.
  
  Sin participantes que siempre traicionan, las estrategias amables y que responden llenan los primeros lugares. Añade más traidores y el campo se endurece: los traidores suben a la cima cuando hay suficientes cooperadores ingenuos y jugadores de moneda al aire a quienes explotar, mientras sus puntajes entre sí se quedan en 1. El éxito en un juego repetido depende de quién más juega. Activa los errores del 5% y ojo por ojo también pierde terreno: tras una traición accidental, dos jugadores de ojo por ojo pueden quedar atrapados en una espiral de represalias mutuas. Trabajos posteriores encontraron que variantes más indulgentes, como ojo por ojo generoso, y la regla de Pavlov, rinden mejor en mundos con ruido. La cooperación sin árbitro necesita un futuro que valga la pena proteger, y por eso las relaciones largas, las reputaciones y los tratos repetidos sostienen una confianza que los encuentros únicos no pueden.
  Un caso donde esto importa mucho son los carteles: empresas que acuerdan no competir en precios. Cada una gana si el acuerdo se mantiene, pero cada una podría ganar más rompiéndolo, y es justo un dilema del prisionero repetido. Los programas de clemencia o delación compensada lo rediseñan a propósito: quien confiesa primero y aporta pruebas recibe una reducción o la exención de la multa, de modo que delatar se convierte en una jugada atractiva para cada miembro del cartel. La Unión Europea puso en marcha su primer programa de clemencia en 1996, y según la literatura la detección de carteles aumentó notablemente donde se aplicaron. En Chile la delación compensada llegó con la Ley 20.361; su origen práctico fue el caso de las farmacias, en el que una de las cadenas denunció ante la Fiscalía Nacional Económica el acuerdo de precios en el que participaba.

  Juegos de coordinación: cuando solo hay que coincidir
  No todo juego es un conflicto. En el juego de manejar, los dos quieren elegir el mismo lado; cuál lado importa poco. Carga "De qué lado manejar" arriba: dos equilibrios, ambos buenos, y nada en los pagos dice cuál. Las convenciones (manejar por la izquierda en el Reino Unido, Japón e India; por la derecha en España, en Hispanoamérica y en casi todo el resto del mundo) son equilibrios elegidos por la historia. La caza del ciervo añade riesgo: si ambos cazan ciervo obtienen 4 cada uno, pero cazar una liebre solo es seguro y da 3. Otra vez dos equilibrios, uno mejor pero más arriesgado. Thomas Schelling, en The Strategy of Conflict (1960), notó que cuando los pagos no pueden elegir, los jugadores usan puntos focales: la opción obvia y saliente, como encontrarse "bajo el reloj" de una estación. Muchos fracasos reales, de las corridas bancarias a las guerras de estándares, son juegos de coordinación atascados en el mal equilibrio.

  Juegos secuenciales: la amenaza creíble
  Cuando los jugadores mueven por turnos, se resuelve el juego hacia atrás: empieza por el final, mira qué haría el último que mueve y retrocede. Piensa en una empresa que decide si entra a un mercado dominado por otra, la establecida. La establecida dice: "Si entras, empiezo una guerra de precios". ¿Debe creerle la entrante? Solo si pelear es realmente lo mejor para la establecida después de que la entrada ocurra. Si, una vez dentro la entrante, la guerra le costaría más que repartir el mercado, la amenaza está vacía. Una entrante racional lo ve y entra. El refinamiento del equilibrio de Nash de Reinhard Selten, el equilibrio perfecto en subjuegos, descarta esas amenazas vacías.
  
    Interactivo · Entrada, amenazas y compromiso
    Ganancia de la establecida si pelea tras la entrada
      
    
      Sin compromiso
      Comprometerse a pelear (multa por contrato)
    
    
    
    Pagos (entrante, establecida): no entrar (0, 10); entrar y que la establecida se acomode (4, 5); entrar y que pelee (−2, lo que marque el deslizador). La opción de compromiso hace que acomodarse le cueste 3 a la establecida (así que solo le da 2).
  
  El deslizador tiene un umbral. Si la guerra vale menos de 5 para la establecida, la amenaza está vacía y la entrante entra sin problema. Sube el valor de la guerra por encima de 5, o usa el botón de compromiso, y la amenaza se vuelve creíble, la entrante no entra y la establecida nunca tiene que pelear. Los mecanismos de compromiso (capacidad ociosa ya construida, un contrato que castiga echarse atrás, una reputación) tienen esta propiedad extraña: al quitarte opciones a ti mismo pueden dejarte mejor.

  Subastas: ofrece tu valor, o recórtalo
  Una subasta es un juego donde las reglas deciden los pagos. En una subasta de sobre cerrado a segundo precio, gana la oferta más alta pero se paga solo la segunda más alta. William Vickrey la analizó en 1961 (los coleccionistas de sellos la usaban desde 1893). Aquí ofrecer exactamente tu verdadero valor es una estrategia dominante: ofrecer más arriesga pagar por encima de lo que vale, ofrecer menos arriesga perder algo que te habría dejado ganancia. En una subasta a primer precio pagas lo que ofreces, así que recortas tu oferta por debajo de tu valor: cambias una ganancia mayor si ganas por menos probabilidad de ganar. Con cuatro postores cuyos valores son igualmente probables en todo un rango, la oferta de equilibrio es tres cuartos de tu valor (en general, (n−1)/n).
  
    Interactivo · Cuatro postores, dos formatos (3,000 subastas simuladas)
    Tu oferta como parte de tu valor
      
    
    segundo precio   primer precio
    
    Los valores de los cuatro postores se sortean de forma uniforme entre 0 y 100. Los tres rivales ofrecen su valor completo en el segundo precio y tres cuartos de su valor en el primer precio. Tu ganancia promedio es por subasta, contando las que pierdes.
  
  Mueve la parte. En el segundo precio tu ganancia llega al máximo con el 100% de tu valor; en el primer precio, cerca del 74%. Fíjate también en el ingreso promedio del vendedor: es de unos 60 en ambos formatos, un primer vistazo al teorema de equivalencia de ingresos. Las subastas reales difieren del caso de libro. Cuando los postores no están seguros del verdadero valor del objeto (concesiones petroleras, espectro), el ganador suele ser quien más lo sobreestimó: la maldición del ganador.

  Diseño de mecanismos: diseña el juego y deja que la gente lo juegue
  La teoría de juegos pregunta: dadas las reglas, ¿qué harán los jugadores? El diseño de mecanismos le da la vuelta: ¿qué reglas harían que jugadores egoístas hagan lo que queremos? Dos casos famosos.
  Subastas del espectro. Los gobiernos son dueños de las frecuencias de radio y necesitan entregarlas a las compañías de telefonía. Durante décadas usaron concursos de belleza y loterías. Desde julio de 1994, la Comisión Federal de Comunicaciones de EE. UU. organizó en cambio una subasta "simultánea de múltiples rondas", donde muchas licencias relacionadas se venden juntas a lo largo de muchas rondas y los postores ven las ofertas de los demás. Teóricos como Paul Milgrom y Robert Wilson ayudaron a darle forma, y compartieron el Nobel de Economía de 2020 por mejoras a la teoría de subastas y nuevos formatos. En 2000, la subasta de 3G del Reino Unido recaudó 22,500 millones de libras con cinco licencias.
  Intercambio de riñones. Muchas personas que necesitan un riñón tienen un donante dispuesto que es del tipo de sangre equivocado. Vender riñones es ilegal casi en todas partes, así que los precios no pueden emparejar a la gente. Alvin Roth, Tayfun Sönmez y Utku Ünver diseñaron algoritmos (su artículo de 2004 en el Quarterly Journal of Economics) en los que el donante de la pareja A da al paciente de la pareja B mientras el donante de B da al de A: un intercambio, extendido a ciclos más largos y a cadenas iniciadas por un donante altruista. El primer intercambio emparejado registrado fue en Corea del Sur en 1991 y el primero en EE. UU. en 2000; hacia 2012, el Registro Nacional de Riñones de EE. UU. organizó una cadena de 60 cirugías, y hacia 2014 una de 70. Roth compartió el Nobel de Economía de 2012 con Lloyd Shapley por la teoría de las asignaciones estables y la práctica del diseño de mercados.
  La teoría de juegos predice lo que hace la gente bajo las reglas. El diseño de mecanismos elige las reglas.

  Lo que un graduado ve sin pensarlo
  
    Antes de preguntar qué hará alguien, pregunta qué haría si esperara que tú hicieras cada una de tus opciones.
    Una estrategia dominante no requiere adivinar al otro jugador. Si existe, resuelve el juego.
    Un equilibrio de Nash es estable, no bueno. El equilibrio del dilema del prisionero deja a ambos peor que cooperando.
    La repetición cambia el juego: cooperar puede ser racional cuando el futuro es largo y traicionar se puede castigar.
    Una amenaza cuenta solo si cumplirla te conviene cuando llegue el momento. Si no, construye un compromiso o espera que te prueben.
    Cuando los pagos no eligen entre equilibrios, elige el punto focal: la saliencia, la convención, una historia compartida.
    En una subasta a segundo precio, ofrece tu valor. En una a primer precio, recórtalo. Las reglas deciden cómo se comporta la gente.
    Cuando un mercado no puede usar precios, aún puedes diseñar las reglas.
  

  Dónde aparece después
  
    Estrategia y competencia (34/43): las empresas que fijan precios, construyen capacidad y deciden si entrar juegan los juegos de arriba.
    Precios (34/48): los descuentos, el igualar precios y las tarifas dinámicas son juegos con clientes y competidores.
    Economía conductual (34/27): la siguiente pieza pregunta cuándo las personas reales no juegan el equilibrio, como en el juego del ultimátum.
    Derecho mercantil y ética empresarial (34/13) y el derecho de la competencia: los programas de clemencia contra los carteles son diseño de mecanismos aplicado.
    Aprendizaje automático (34/30) y Redes de computadoras (en inglés, 34/27): las IA que juegan y el control de congestión aplican estas ideas.
    En el mundo: subastas de publicidad en línea, ventas de espectro, emparejamiento de escuelas y hospitales, tratados del clima, control de armas.
  

  Si quieres profundizar
  
    📘 Libro de texto. Robert Gibbons, Un primer curso de teoría de juegos (Antoni Bosch editor; el original es Game Theory for Applied Economists, Princeton, 1992). Corto y muy usado en los programas de economía.
    📘 Libro de texto (en inglés). Martin Osborne, An Introduction to Game Theory (Oxford). Un tratamiento de pregrado más completo, con muchos juegos resueltos.
    📘 Más amable. Avinash Dixit y Barry Nalebuff, Pensar estratégicamente (Antoni Bosch editor; es la edición en español de Thinking Strategically, la versión anterior de The Art of Strategy, 2008), y Robert Axelrod, The Evolution of Cooperation (1984, en inglés). Casos reales, casi sin álgebra.
    🌐 Curso gratuito. Curso gratis de Introducción a la Teoría de Juegos, en eumed.net y en español: dilema del prisionero, el modelo halcón-paloma, estrategias reactivas, duopolio y la tragedia de los comunes. Para más profundidad, Open Yale Courses ECON 159: Game Theory (en inglés; Ben Polak, 24 clases grabadas en el otoño de 2007), con equilibrio de Nash, inducción hacia atrás y señalización.
  

  
    Para llevar
    Cuando tu mejor jugada depende de las de otros, busca estrategias dominantes, luego equilibrios, y recuerda que un resultado estable puede ser malo. La repetición, el compromiso y las reglas bien diseñadas son las tres salidas, y cada una es una manera de cambiar el juego en lugar de cambiar a los jugadores.
    Prueba esto: esta semana, detecta una situación en que tú y otra persona esperan cada uno a que el otro mueva primero o ceda, y pregunta cómo sería la cuadrícula de pagos y si es un juego que puedes cambiar.
  

  
    Fuentes y para profundizar
    Fuentes. Dominancia, equilibrio de Nash, estrategias mixtas, inducción hacia atrás y el resultado del segundo precio son teoría de juegos estándar de libro de texto (Gibbons; Osborne; las clases de Polak en Yale). El dilema del prisionero lo idearon Flood y Dresher en la RAND en 1950 y lo bautizó Tucker (Wikipedia, "Prisoner's dilemma"). Nash, "Equilibrium points in n-person games", PNAS 36, 1950; el Nobel de Economía de 1994 fue para Nash, Harsanyi y Selten. Los torneos de Axelrod (c. 1980) y su libro de 1984: ojo por ojo, de Anatol Rapoport, ganó ambos; los enfrentamientos fueron de 200 jugadas; la espiral de represalias con ruido y ojo por ojo generoso, tal como describe Wikipedia, "Tit for tat". Palacios-Huerta, "Professionals Play Minimax", Review of Economic Studies 70(2), 2003, pp. 395-415 (Crossref). Schelling, The Strategy of Conflict (1960). La subasta a segundo precio la describió Vickrey en 1961 y la usaban los coleccionistas de sellos desde 1893. La FCC celebra subastas de espectro desde julio de 1994 con un diseño simultáneo de múltiples rondas; la subasta británica de 2000 recaudó 22,500 millones de libras con cinco licencias 3G (Wikipedia, "Spectrum auction"). El Nobel de 2020 fue para Milgrom y Wilson, el de 2012 para Roth y Shapley. Intercambio de riñones, a partir de Wikipedia "Kidney paired donation"; Roth, Sönmez y Ünver, "Kidney Exchange", QJE 2004. Clemencia: primer programa de la UE en 1996 y aumento en la detección de carteles tras su adopción, según la entrada "Delación compensada" de Wikipedia en español; Chile, Ley 20.361 y caso de las farmacias, según la misma fuente. Todo número que muestra un interactivo se calculó en node con el código de esta página: mejor puntaje en diez rondas contra ojo por ojo 32, contra siempre traicionar 10, contra siempre cooperar 50; la oferta óptima de primer precio con cuatro postores está cerca de 0.74 (teoría 0.75); el precio medio de venta está cerca de 60 en ambos formatos; el ranking del torneo de juguete depende del campo elegido y no es el resultado de Axelrod. Adaptada de la pieza en inglés Game Theory.
    
      🌐 Curso gratis de Introducción a la Teoría de Juegos (eumed.net)
      🌐 Open Yale Courses ECON 159 Game Theory (en inglés)
      📘 Gibbons, Un primer curso de teoría de juegos
      📘 Dixit y Nalebuff, Pensar estratégicamente
    
  

  
    Para tu español
    
      juego (game) · pago (payoff) · equilibrio de Nash (Nash equilibrium) · estrategia dominante (dominant strategy) · traicionar (to defect, to betray) · ojo por ojo (tit for tat) · amenaza creíble (credible threat) · subasta (auction) · postor (bidder) · cartel (cartel)


Step 9. Economía pública: lo que los gobiernos pueden y no pueden arreglar
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Why: Impuestos, bienes públicos y desigualdad: lo que los gobiernos pueden y no pueden arreglar.
Por qué cobrar impuestos, quién los paga de verdad, cuánto cuesta redistribuir, cómo se mide la desigualdad y por qué el Estado también falla a su manera.

Mira tu último recibo de nómina, o el ticket de una tienda. Una parte de cada precio que pagas y de cada sueldo que ganas va a un gobierno, y la calle por la que caminaste, el agua que bebiste y la vacuna de tus abuelos se pagaron así. En Dinamarca esa parte es cerca de 45% de lo que produce toda la economía; en México, 18%. En Brasil, el 10% más rico recibe cerca del 60% del ingreso; en Suecia, menos de 30%. Nadie votó para que estos números fueran exactamente así, pero moldean todo, desde cuánto esperas a un médico hasta si tu hijo puede salir de la pobreza.
  Quien estudió economía pública aprende a hacerle dos preguntas a cualquier política. ¿Arregla una falla real de los mercados, y quién termina pagando y ganando una vez que todos reaccionaron? La primera es una pregunta de eficiencia, la segunda de justicia, y la honestidad de la disciplina viene de mantenerlas separadas y de tener a la vista una tercera, incómoda: los gobiernos también fallan.

  
    La materia en una caja
    
      Quién la cursaEstudiantes de Economía como materia de campo en segundo o tercer año (MIT la tiene como 14.41, Public Finance and Public Policy; en España y América Latina suele llamarse "Economía pública", "Hacienda pública" o "Economía del sector público"), y las escuelas de políticas públicas como parte del núcleo. Los estudiantes de Administración se encuentran con su mitad tributaria en los cursos de finanzas.
      Para qué sirvePara juzgar qué deberían hacer los gobiernos en una economía, qué hacen de verdad los impuestos y los beneficios a las personas, y cuánta producción cuestan.
      Viene después de:Microeconomía (34/14): el excedente, la elasticidad y las externalidades hacen todo el trabajo.
      Lleva a:Ninguna materia de la biblioteca la exige todavía. Es el extremo de política de la carrera de Economía, junto a Macroeconomía (34/35) y Economía del desarrollo (34/39); se conecta con Políticas públicas (34/16).
      Qué te da esta piezaNo podrás diseñar un código tributario. Sí verás por qué quien firma el cheque no es quien paga, por qué reducir la desigualdad y agrandar el pastel pueden tirar en sentidos opuestos, cuánto redistribuyen de verdad los países ricos, y cómo se ve el sistema tributario de América Latina, con su IVA, comparado con el de Europa. Lecturas más fáciles: Cómo funcionan realmente los impuestos en EE. UU. (03/07), Cómo funciona realmente un gobierno (18/01) y Enviar dinero a casa: cómo funcionan las remesas (03/10).
    
  

  Por qué los gobiernos están en la economía: los bienes públicos
  Los mercados son buenos para las cosas que se pueden comprar, de un comprador en un comprador. Son malos para las cosas cuyos beneficios se derraman sobre todos. Un bien público es no excluible (no puedes dejar fuera a quien no paga) y no rival (que yo lo use no reduce tu uso): el aire limpio, un faro, la defensa, una campaña de vacunación. Cada persona preferiría que pagara otra, y el resultado es que un mercado privado ofrece demasiado poco. Es el problema del polizón (o del gorrón, free rider), y es la justificación más antigua de los impuestos: una manera de hacer que todos paguen por algo que todos quieren.
  El juego de abajo es el experimento clásico. Cuatro jugadores tienen 20 fichas cada uno. Lo que va al fondo común se multiplica por 1.6 y se reparte en partes iguales, de modo que cada ficha que das te devuelve 0.4 a ti y 0.4 a cada uno de los otros.
  
    Interactivo · El fondo común
    Tú das
      
    Los demás dan, en promedio
      
    
    
    Fichas = dinero. Pago = 20 − lo que das + 0.4 × (todas las contribuciones). Parámetros del juego inventados.
  
  Hagan lo que hagan los demás, siempre te va mejor si no das nada: cada ficha que das te cuesta 1 y te devuelve 0.4. Pero si los cuatro dan nada, cada uno termina con 20, mientras que si los cuatro dan todo, cada uno termina con 32. La mejor elección privada y el mejor resultado del grupo apuntan en sentidos opuestos. En experimentos reales la gente suele empezar dando cerca de la mitad, y las contribuciones van bajando con las rondas repetidas, aunque queda un núcleo de personas que dan; permitir que los jugadores castiguen a los polizones mantiene las contribuciones más altas. Los gobiernos hacen el "castigo": vuelven obligatorio pagar. Elinor Ostrom (Nobel 2009) añadió que las comunidades muchas veces pueden resolver el problema por sí mismas, así que el impuesto es una solución, no la única.

  Seguros e información: por qué algunos mercados necesitan una obligación
  El seguro es un mercado para compartir riesgo. Puede desmoronarse cuando los compradores saben más sobre su propio riesgo que el vendedor: la selección adversa, el problema que George Akerlof describió para los autos usados en 1970 y que le valió parte del premio Nobel de 2001. Si la aseguradora cobra el precio promedio, los clientes de bajo riesgo lo encuentran caro y se van; el grupo se enferma más; el precio sube; se van más. Los gobiernos responden con obligaciones (todos deben estar dentro), seguros públicos o subsidios.
  
    Interactivo · La espiral del seguro
    
      Voluntario
      Todos deben afiliarse
    
    Cuánto valora la gente la cobertura frente a su costo esperado
      
    
    
    Ilustrativo: 1,000 personas con costos esperados anuales de 0 a 999, repartidos de manera pareja. Cada una pagará hasta el múltiplo por su propio costo esperado. La prima es el costo promedio de quienes compran.
  
  Si la gente valora la cobertura exactamente en su costo esperado (múltiplo 1), un mercado voluntario se reduce a casi nadie. A 1.3 la prima se asienta en 812 y solo compra 37.5%. A 2 se asienta en cerca de 666 y compran dos tercios. Ni un mercado entusiasta cubre jamás a todos. Una obligación fija la prima en el promedio del grupo, 500, y cubre a todos, pero obliga a entrar a quienes valoran la cobertura en menos que ese precio: 38% con múltiplo 1.3. Las obligaciones cambian una falla de mercado por una imposición, y por eso la discusión sobre ellas es feroz (Suiza y los Países Bajos exigen que todos compren un seguro de salud privado; el Reino Unido y Canadá financian la atención con impuestos).

  Quién paga de verdad un impuesto
  La ley dice quién debe enviar el dinero. La incidencia tributaria pregunta quién termina más pobre. Si pones un impuesto a los vendedores, suben el precio; si lo pones a los compradores, ofrecen menos. En ambos casos el precio que pagan los compradores y el que se quedan los vendedores se separan por el monto del impuesto, y el reparto depende solo de quién puede irse con más facilidad. El lado menos sensible al precio carga con más.
  parte que pagan los compradores = elasticidad de la oferta ÷ (elasticidad de la oferta + elasticidad de la demanda)elasticidades en valor absoluto. La misma respuesta sin importar a quién nombre la ley. En corto: paga el lado más rígido
  
    Interactivo · Un impuesto de 10 unidades sobre un bien de 100
    
      La ley nombra a los vendedores
      La ley nombra a los compradores
    
    Sensibilidad de los compradores al precio (elasticidad de la demanda)
      
    Sensibilidad de los vendedores al precio (elasticidad de la oferta)
      
    
    
    Aproximación para impuestos pequeños en un mercado lineal. El 10 y el 100 son inventados.
  
  Con elasticidad de la demanda 0.5 y de la oferta 1.5, los compradores pagan 75% del impuesto, sea cual sea el lado que nombre la ley. Por eso los economistas desconfían de un impuesto de nómina "pagado mitad por el empleador": el reparto del formulario es una ficción legal, y el hallazgo habitual es que los trabajadores cargan con la mayor parte, a través de salarios más bajos. Y por eso un impuesto sobre algo a lo que la gente no puede renunciar con facilidad, como el combustible a corto plazo, recauda y cae sobre todo en el comprador.

  El IVA: el impuesto que más recauda en la región
  En casi toda América Latina y en España, la pieza central del sistema tributario no es el impuesto sobre la renta sino el impuesto al valor agregado (IVA; en algunos países, ITBIS, IGV o ITBMS). Se cobra en cada etapa de la cadena sobre el valor que se añade, y al final lo carga quien compra. Según la edición 2026 de Revenue Statistics in Latin America and the Caribbean (OCDE y otros), en 2024 el IVA aportó en promedio 28.9% de todos los ingresos tributarios de la región, el equivalente a 6.2% del PIB; los impuestos sobre bienes y servicios en conjunto fueron 49.2% de la recaudación regional, frente a menos de un tercio (31.2%, dato de 2023) en la OCDE. En cambio, el impuesto sobre la renta de las personas aportó 9.6% de la recaudación de la región, frente a 23.7% en la OCDE.
  Mira las tasas generales de algunos países y haz el cálculo. Muchos países aplican tasas reducidas o cero a alimentos, medicinas o libros (México, por ejemplo, tiene tasa de 0% sobre libros, alimentos y medicinas); la tasa del recuadro es la general.
  
    Interactivo · ¿Cuánto del precio final es IVA?
    País
      
    Precio antes del IVA (dólares)
      
    
    
    Tasas generales del IVA según la compilación de Wikipedia a partir de las administraciones tributarias; los países cambian sus tasas, así que revisa la vigente. Perú: 16% de IGV más 2% de impuesto de promoción municipal. El precio en dólares es solo un ejemplo.
  
  Un artículo de 100 dólares antes del impuesto cuesta 116 en México (el IVA es 13.8% del precio final) y 122 en Uruguay (18.0%). Como el IVA se cobra sobre lo que se gasta, y los hogares pobres gastan casi todo su ingreso mientras los ricos ahorran una parte, pesa más sobre el ingreso de los pobres que sobre el de los ricos; por eso las tasas reducidas a los alimentos son una decisión de equidad, aunque la incidencia (quién carga con el impuesto entre comprador y vendedor) siga dependiendo de las elasticidades. Y el IVA depende de que el comercio sea formal: una economía con mucha informalidad recauda menos con la misma tasa (ver Economía del desarrollo, 34/39).

  Eficiencia y equidad: el balde con goteras
  Los impuestos que mueven dinero de los más ricos a los más pobres pierden algo en el camino, por la administración y, más importante, porque la gente cambia lo que hace. El economista Arthur Okun lo llamó el balde con goteras (1975): lleva un balde de dinero de los ricos a los pobres y algo se escurre. ¿Qué tan grande es la gotera? Depende de cuánto reduce la gente su trabajo, muda su ingreso o evita el impuesto cuando sube la tasa, algo que los economistas resumen como la elasticidad del ingreso gravable, e. En un modelo simple en que la base tributaria se encoge con (1 − t)e, la recaudación t(1 − t)e alcanza su máximo con una tasa de 1 ÷ (1 + e): pasada esa tasa, una tasa menor recaudaría más. Es la curva de Laffer.
  
    Interactivo · ¿Qué tan alta puede ser una tasa?
    Tasa de impuesto sobre el ingreso adicional
      
    Qué tan fuerte responde la gente (e)
      
    
    
    Juguete de libro de texto: ingreso gravable = (1 − t)e. Las estimaciones reales de e varían mucho entre personas, países y horizontes de tiempo, y se discuten.
  
  Con e = 0.5 la recaudación alcanza su máximo con una tasa de 67%; con e = 1, con 50%. Gran parte de la discusión no es sobre la curva, que casi nadie niega, sino sobre dónde están los países reales y qué tan grande es e para quienes ganan más. Los economistas atentos a la equidad responden que una gotera no significa que el balde deba quedar vacío; los atentos a la eficiencia, que el crecimiento es la mejor herramienta contra la pobreza. Ambas afirmaciones son verdaderas. El desacuerdo es sobre los pesos y las respuestas medidas, así que pide ambos.

  La desigualdad, y cómo se mide
  La desigualdad es fácil de sentir y difícil de resumir. La imagen estándar es la curva de Lorenz: ordena a todos de más pobre a más rico y grafica la parte del ingreso que tiene el 10% más pobre, el 20%, y así. La igualdad perfecta es una diagonal recta; cuanto más se hunde la curva, menos igual es la sociedad. El coeficiente de Gini (Corrado Gini, 1912) es el área entre la diagonal y la curva, multiplicada por dos, de modo que 0 significa que todos tienen lo mismo y 1 que una sola persona lo tiene todo. Es un solo número y esconde formas: dos distribuciones muy distintas pueden tener el mismo Gini. Por ejemplo, una sociedad donde la mitad de la gente no tiene nada y la otra mitad reparte por igual tiene un Gini de 0.5, igual que otra donde las tres cuartas partes de abajo tienen un cuarto del ingreso y el cuarto de arriba tiene tres cuartos. Las partes de los más ricos cuentan la otra mitad de la historia.
  
    Interactivo · Construye una curva de Lorenz
    
      Igualdad
      Tipo Suecia / Noruega
      India
      Sudáfrica
    
    Parte del ingreso que tiene la mitad más pobre
      
    Parte del ingreso que tiene el 10% más rico
      
    
    
    Aproximación en tres tramos (50% de abajo, 40% del medio, 10% de arriba), así que subestima el Gini verdadero. El valor inicial es la distribución mundial del Informe sobre la Desigualdad Mundial 2026 (10% más rico cerca de 53%, mitad más pobre cerca de 8%, ingreso antes de impuestos); los preajustes son las partes que ese informe reporta para esos países, redondeadas.
  
  El Informe sobre la Desigualdad Mundial 2026 (World Inequality Report, diciembre de 2025) sitúa al 10% más rico del mundo en cerca del 53% del ingreso y a la mitad más pobre en cerca del 8%. Por país, reporta que el 10% más rico de Sudáfrica se acerca al 66% y que Brasil, México, Chile y Colombia están cerca del 60%; la India, Tailandia y Türkiye superan el 50%, y Suecia y Noruega están por debajo de 30%. Una advertencia sobre la otra medida: el Gini del Banco Mundial es, para Sudáfrica, 54.1 (2022), Colombia 54.4 (2024), Brasil 50.3 (2024), Costa Rica 45.5 (2025), Chile 43.0 (2024), México 42.6 (2024), Argentina 42.4 (2024), Estados Unidos 41.8 (2024), Perú 40.1 (2024), Uruguay 40.0 (2024), España 33.4 (2023), Alemania 33.7 (2022), Suecia 29.3 (2023), Eslovenia 24.7 (2023). Miden el ingreso o el consumo por persona a partir de encuestas de hogares, que tienden a no ver bien lo más alto; las cifras del informe usan registros tributarios y cuentas nacionales para ver más de eso. Los dos tipos de número no coincidirán y ninguno está equivocado.

  El Estado de bienestar entre países
  El Estado de bienestar moderno nació de las leyes de seguro social de Bismarck en la Alemania de 1880 y del Informe Beveridge británico de 1942, que nombró cinco "gigantes" por vencer: la necesidad, la enfermedad, la ignorancia, la miseria y la ociosidad. Hoy los gobiernos difieren en lo grandes que son y en cómo gastan: con efectivo para pensiones y desempleados, con servicios como salud y escuela, o con beneficios fiscales. La OCDE (el club de países ricos) mide el tamaño de lo que toma el Estado como ingresos tributarios sobre el PIB: 34.1% en promedio en 2024, de 18.3% en México a 45.2% en Dinamarca.
  La región tiene un nivel mucho menor. Según la misma serie de la OCDE para América Latina y el Caribe (edición 2026), el promedio simple de la región fue 21.7% del PIB en 2024, 12.3 puntos porcentuales por debajo del promedio de la OCDE; el rango va de 9.2% en Guyana a 33.7% en Brasil. Un Estado que recauda menos tiene menos para escuelas, carreteras y transferencias, y suele depender más de impuestos al consumo, como se vio arriba.
  La misma base de la OCDE mide la desigualdad antes de impuestos y transferencias ("ingreso de mercado") y después ("ingreso disponible"). La diferencia es lo que hace el sistema de impuestos y beneficios. Elige un país.
  
    Interactivo · ¿Qué cambia el Estado?
    
    
    
    Ingresos tributarios incluyendo contribuciones sociales, % del PIB, 2024 (OECD Revenue Statistics 2025). Gini de la Base de Datos de Distribución del Ingreso de la OCDE, último año disponible (2022 a 2024), población total. La OCDE trata las pensiones públicas como transferencias y no como ingreso de mercado, así que los países que envejecen muestran recortes mayores.
  
  Los países nórdicos y de Europa continental parten de Ginis de ingreso de mercado de cerca de 0.43 a 0.52 y terminan en 0.28 a 0.33, un recorte de un tercio o más. Estados Unidos parte casi tan desigual como el Reino Unido y Francia (0.51) y termina en 0.39. México casi no se mueve: de 0.416 a 0.400, un recorte de 4%, coherente con su baja recaudación; Chile pasa de 0.491 a 0.448 y Brasil de 0.523 a 0.451. Fíjate también en que la diferencia entre los países ricos está sobre todo en cuánto redistribuyen, no en qué tan desiguales los deja el mercado. El sociólogo Gøsta Esping-Andersen, en Los tres mundos del Estado del bienestar (1990), clasificó los Estados ricos en tipos liberal, conservador y socialdemócrata; hoy la mayoría de los estudiosos usa más familias y considera los grupos como tendencias.
  En la región, una herramienta distinta se volvió famosa: las transferencias monetarias condicionadas, que dan dinero a familias pobres a cambio de que sus hijos vayan a la escuela y a la clínica. Progresa, en México, nació en 1997 (se renombró Oportunidades en 2002) y fue evaluado con un experimento aleatorizado (ver Econometría, 34/36). Bolsa Família, en Brasil, se formó en 2003 al unir programas anteriores; en 2006 costaba alrededor de 0.5% del PIB brasileño y cubría unos 11.2 millones de familias, y en 2020 cubría 13.8 millones de familias con un pago promedio de 34 dólares al mes (Wikipedia). La discusión sobre ellos es qué tan bien llegan a quienes más lo necesitan y qué pasa con los incentivos.

  Fallas del gobierno: la misma lógica, apuntada en el otro sentido
  Si los mercados pueden fallar, también pueden quienes los arreglan. La economía de la elección pública (James Buchanan, Nobel 1986, y Gordon Tullock) aplica los mismos supuestos a votantes, políticos y funcionarios que a los compradores: responden a incentivos. La lógica de la acción colectiva (1965), de Mancur Olson, explicó por qué los grupos pequeños con mucho en juego se organizan mejor que los grandes con poco cada uno. Un subsidio que da 2 millones a cada una de 50 empresas y cuesta 1 a cada uno de 100 millones de contribuyentes será defendido por las empresas e ignorado por los contribuyentes (números ilustrativos). Anne Krueger llamó búsqueda de rentas al esfuerzo que se gasta en conseguir esos favores (1974).
  Otras fallas son de conocimiento: los planificadores rara vez saben lo que sabe la gente local; los programas sobreviven a su propósito; y las reglas bienintencionadas causan efectos secundarios. La respuesta sensata no es "el gobierno nunca funciona", que la viruela (declarada erradicada por la OMS en 1980) refuta, sino la advertencia de Harold Demsetz contra la "falacia del nirvana" (1969): comparar un mercado real con un gobierno ideal, o al revés, en lugar de una opción real con otra. Un graduado pregunta, de cada política, quién gana, quién paga, quién vigila y qué pasa después de la primera ronda de reacciones.

  Lo que un graduado ve sin pensarlo
  
    Los bienes públicos quedan sin ofrecerse porque todos prefieren ser polizones; la obligación o las buenas reglas lo arreglan.
    Cuando los compradores saben menos que los vendedores, o al revés, los mercados pueden deshacerse. El seguro es el caso de estudio.
    La ley dice quién firma el cheque; las elasticidades dicen quién paga. El lado menos flexible carga más.
    El IVA es la pieza central de la recaudación en la región, y pesa más sobre el ingreso de los pobres; por eso importan las tasas reducidas y la informalidad.
    Redistribuir tiene una gotera, y el tamaño de la gotera es una pregunta empírica, no una ideología.
    Un Gini es un solo número. Pide las partes de los más ricos, de la mitad de abajo y el periodo.
    Los países ricos difieren menos en desigualdad de mercado que en cuánto la cambian sus impuestos y beneficios.
    Los gobiernos fallan por incentivos, no solo por torpeza: las ganancias concentradas vencen a los costos difusos.
    Compara políticas reales, no un mercado defectuoso con un Estado perfecto ni al revés.
  

  Dónde aparece después
  
    Macroeconomía (34/35): el déficit del presupuesto, la razón de deuda y el multiplicador son esta materia a la escala de toda la economía.
    Economía del desarrollo (34/39): por qué muchos países más pobres recaudan mucho menos (Nigeria 8% del PIB, Kenia 16%, México 18%, en la serie mundial de la OCDE) y qué le hace eso a las escuelas y los caminos.
    Economía conductual (34/27): las opciones por defecto y los empujones en el diseño de pensiones y de impuestos.
    Políticas públicas (34/16): cómo un problema se vuelve política y qué falla después.
    En el mundo: un impuesto a las bebidas azucaradas, un precio al carbono, una pensión mínima, un discurso de presupuesto, el debate sobre un impuesto a la riqueza o un ingreso universal.
  

  Si quieres profundizar
  
    📘 Libro de texto. Harvey Rosen y Ted Gayer, Hacienda pública (McGraw-Hill, edición en español). Un texto estándar de grado, algo más teórico. También en español: Joseph Stiglitz, La economía del sector público (Antoni Bosch).
    📘 Libro de texto (en inglés). Jonathan Gruber, Public Finance and Public Policy (Worth/Macmillan). El texto de grado habitual, fuerte en evidencia de experimentos naturales.
    📘 Más amable. Anthony Atkinson, Desigualdad. ¿Qué podemos hacer? (Fondo de Cultura Económica, 2016), o Branko Milanovic, Desigualdad mundial (Fondo de Cultura Económica, 2017): claros con los datos, con propuestas expuestas a favor y en contra.
    🌐 Gratis, en español. Economía Pública (2019) (OpenCourseWare de la Universidad de Cantabria), Economía del Sector Público II (OpenCourseWare de la Universidad de Oviedo) y la unidad 10, "El Estado como agente económico", de La economía 2.0: macroeconomía (CORE Econ).
    🌐 Gratis (en inglés). MIT OpenCourseWare 14.41 Public Finance and Public Policy (otoño de 2024), y el World Inequality Report 2026, disponible en línea.
  

  
    Para llevar
    Los gobiernos pertenecen a una economía donde los precios pasan algo por alto: bienes públicos que nadie comprará solo, seguros que se deshacen, derrames que caen sobre otros. Quien firma el cheque de un impuesto no es quien lo paga. En América Latina el IVA lleva gran parte de la recaudación y el Estado recauda menos que en Europa. Redistribuir tiene una gotera real y medible, la desigualdad se mide con más de un número, y el Estado está sujeto a los mismos incentivos que intenta corregir.
    Prueba esto: esta semana, toma un impuesto o un subsidio del que hayas oído hablar y anota quién lo paga legalmente, quién crees que lo paga de verdad y qué lado del mercado podría irse con más facilidad.
  

  
    Fuentes y para profundizar
    Fuentes. Conceptos: finanzas públicas estándar de libro de texto (Gruber; Rosen y Gayer). OCDE, Revenue Statistics 2025 (diciembre de 2025): promedio de la OCDE de 34.1% del PIB en 2024 (estimación: cambio promedio no ponderado de 36 países aplicado a 2023), con rango de 18.3% (México) a 45.2% (Dinamarca); las cifras de cada país son valores de 2024 para Francia 43.5, Italia 42.8, Suecia 41.4, Alemania 38.0, Reino Unido 34.4, Brasil 33.7, Estados Unidos 25.6, Corea 25.3, Chile 20.5; Kenia 15.6 (2024) y Nigeria 8.2 (2023) de la serie mundial de ingresos de la OCDE. OCDE, Base de Datos de Distribución del Ingreso, Gini antes y después de impuestos y transferencias: Dinamarca 2022 0.442 / 0.276; Francia 2023 0.517 / 0.299; Italia 2023 0.509 / 0.325; Suecia 2024 0.431 / 0.289; Alemania 2023 0.497 / 0.307; Reino Unido 2023 0.522 / 0.367; Brasil 2022 0.523 / 0.451; Corea 2023 0.392 / 0.323; Estados Unidos 2023 0.506 / 0.394; Chile 2022 0.491 / 0.448; México 2022 0.416 / 0.400. OCDE, CEPAL, BID y CIAT, Revenue Statistics in Latin America and the Caribbean 2026 (mayo de 2026), folleto de resultados clave: promedio simple de ALC 21.7% del PIB en 2024 (0.2 puntos más que en 2023; sin Cuba, sin cambio), brecha de 12.3 puntos con la OCDE, rango de 9.2% (Guyana) a 33.7% (Brasil), impuestos sobre bienes y servicios 49.2% de la recaudación regional en 2024 frente a 31.2% en la OCDE (2023), IVA 28.9% de la recaudación y 6.2% del PIB, impuesto sobre la renta de las personas 9.6% frente a 23.7% en la OCDE, de sociedades 17.4% frente a 11.9%. Tasas generales del IVA: compilación de Wikipedia (“Value-added tax”) a partir de las administraciones tributarias, consultada en noviembre de 2026; la tasa de México de 0% sobre libros, alimentos y medicinas, de la misma compilación. Gini del Banco Mundial (SI.POV.GINI), último dato, consultado en noviembre de 2026. Informe sobre la Desigualdad Mundial 2026 (World Inequality Lab, diciembre de 2025), partes principales según las reportó Al Jazeera el 10 de diciembre de 2025 (10% más rico del mundo 53%, mitad más pobre 8%; Sudáfrica 66% y 6%; Suecia y Noruega, 10% más rico por debajo de 30%, mitad más pobre cerca de 25%) y la prensa india para la India (10% más rico cerca de 58%, mitad más pobre cerca de 15%); revisa el informe para las cifras exactas. Definición del Gini y ejemplo de igual Gini: Corrado Gini 1912, según Wikipedia. Experimentos de bienes públicos, Fehr y Gächter 2000: resumen en artículos de Wikipedia. Progresa: renombrado en 1997 desde Solidaridad y Oportunidades fundado en 2002 (Wikipedia, “Oportunidades”); Bolsa Família: formada en 2003, costo de cerca de 0.5% del PIB y 11.2 millones de familias en 2006, 13.8 millones de familias y pago promedio de 34 dólares en 2020 (Wikipedia, “Bolsa Família”). Akerlof, “The Market for ‘Lemons’”, QJE 1970 (Nobel 2001); Ostrom, Governing the Commons (1990; Nobel 2009); Nobel de Buchanan 1986; Olson 1965; Okun, Equality and Efficiency (1975); Krueger 1974; Demsetz 1969; Informe Beveridge, publicado el 1 de diciembre de 1942 (algunas fuentes lo fechan en noviembre de 1942); el seguro social de Bismarck en la década de 1880; Esping-Andersen 1990; la OMS declaró erradicada la viruela en 1980. Calculado en node: pagos del juego de bienes públicos 20 (nadie da) y 32 (todos dan); equilibrio del seguro 812 / 37.5% con 1.3, 666 / 66.7% con 2, parte forzada a entrar 50 ÷ múltiplo; parte de los compradores = es ÷ (es + ed); máximo de Laffer 1 ÷ (1 + e) = 67% con 0.5, 50% con 1; Ginis de la curva de tres tramos: global 0.59, Sudáfrica 0.68, India 0.56, Suecia/Noruega 0.32; IVA: 116 y 13.8% para México, 122 y 18.0% para Uruguay.
    
      🌐 OCW Universidad de Cantabria: Economía Pública
      🌐 CORE Econ (en español): El Estado como agente económico
      🌐 MIT OCW 14.41 Public Finance and Public Policy (en inglés)
      🌐 World Inequality Report 2026 (en inglés)
      📘 Rosen y Gayer, Hacienda pública
      📘 Atkinson, Desigualdad. ¿Qué podemos hacer?
    
  

  
    Para tu español
    
      bien público (public good) · polizón (free rider) · incidencia tributaria (tax incidence) · IVA (value-added tax) · recaudación (tax revenue, collection) · desigualdad (inequality) · transferencia (transfer payment) · Estado de bienestar (welfare state) · selección adversa (adverse selection) · búsqueda de rentas (rent-seeking)


Step 10. Economía conductual: cómo eligen realmente las personas
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Why: Las personas reales no son perfectamente racionales, y sus desvíos son predecibles.
La economía estándar supone calculadores serenos, coherentes y egoístas. La economía conductual mide cómo se apartan de eso las personas reales y, tan importante como eso, cuáles de sus hallazgos famosos han sobrevivido a que alguien los revisara.

Te apuntas a un gimnasio un 2 de enero a las 8 de la mañana, lleno de ganas, y pagas la mensualidad durante un año. Vas cuatro veces. Una tienda muestra una chamarra (o chaqueta) con el cartel «antes $2,000, ahora $1,200», y de pronto parece una ganga, aunque un minuto antes no tenías idea de cuánto valía. Una empresa inscribe automáticamente a su personal nuevo en un plan de ahorro para el retiro, y mucha más gente termina ahorrando, aunque nada de sus finanzas haya cambiado.
  Nada de esto es irracional en el sentido de ser aleatorio. Es irracional de una manera predecible, y lo predecible es lo que un economista puede usar. La economía conductual reúne esas desviaciones regulares del elector de los libros de texto y las convierte en modelos. Es también un campo que pasó una década dura, en la que se volvieron a probar muchos resultados de titular y algunos no sobrevivieron. Esta pieza enseña las dos cosas: las ideas y el boletín de calificaciones.

  
    La materia en una caja
    
      Quién la cursaEstudiantes de Economía, normalmente en el tercer año, después de Microeconomía y Estadística; los programas de Mercadotecnia, Psicología y escuelas de negocios la enseñan como comportamiento del consumidor o toma de decisiones. El MIT, por ejemplo, ofrece un curso llamado Psychology and Economics (14.13).
      Para qué sirvePara predecir dónde las decisiones reales se apartan del modelo del agente racional, y para diseñar precios, opciones por defecto y políticas que funcionen para personas reales.
      Viene después de:Microeconomía (34/14) y Probabilidad y estadística (34/19).
      Lleva a:Comportamiento del consumidor (34/29); y alimenta Precios (34/48) y Dirección de marketing (34/45). Econometría (34/36) es la caja de herramientas para juzgar cuáles de sus hallazgos son reales.
      Qué te da esta piezaNo vas a poder diseñar un experimento conductual. Sí vas a conocer los efectos principales, más o menos de qué tamaño son, y cuáles clásicos fueron refutados. Lecturas más fáciles para empezar (en inglés, 17/02, 17/05 y 17/10): The Biases That Fool Everyone, How to Make a Hard Decision y Why You Understand Less Than You Think. Esta pieza va más allá al preguntar cuánto vale cada sesgo y si resistió la prueba.
    
  

  Racionalidad limitada: atajos que casi siempre funcionan
  La consumidora de los libros de texto sopesa todas las opciones, conoce sus propios gustos y nunca comete errores de cálculo. Herbert Simon argumentó en los años cincuenta que eso ignora lo obvio: las mentes son limitadas, el tiempo es corto, la información es incompleta. Las personas no optimizan, se conforman con lo suficiente (satisfice, en inglés): buscan hasta encontrar algo suficientemente bueno y paran. Lo llamó racionalidad limitada. Daniel Kahneman y Amos Tversky catalogaron después las reglas generales, o heurísticas, que usa la gente, y los errores sistemáticos que produce cada una. Juzgar qué tan probable es algo por lo fácil que se nos ocurren ejemplos (disponibilidad), por cuánto se parece a un estereotipo (representatividad) o partiendo de un número que nos entregaron (anclaje) funciona casi siempre, y falla siempre de maneras con patrón. Kahneman recibió el Nobel de Economía de 2002 por este trabajo.
  Un ejemplo resuelto, de la literatura sobre «reflexión cognitiva» (versión adaptada del clásico problema del bate y la pelota de Shane Frederick): un cuaderno y un lápiz cuestan $110 juntos; el cuaderno cuesta $100 más que el lápiz. ¿Cuánto cuesta el lápiz? La respuesta rápida es $10. Compruébalo: lápiz $10, cuaderno $110, total $120. Si el lápiz cuesta x, el cuaderno cuesta x + 100, así que 2x + 100 = 110 y x = $5. La respuesta equivocada llega rápido y se siente bien; la correcta pide una segunda mirada. Los sesgos son en buena medida esto: un proceso rápido que suele estar bien, sin alarma cuando no lo está. El resto de la pieza es un recorrido por los mejor estudiados, con una idea creciente de cuánto confiar en cada uno.

  Teoría prospectiva: ganancias, pérdidas y el quiebre
  El artículo de 1979 de Kahneman y Tversky en Econometrica propuso la teoría prospectiva (prospect theory) como descripción de cómo valoramos los resultados con riesgo. Tiene tres ingredientes. Primero, juzgamos los resultados como ganancias o pérdidas respecto a un punto de referencia (normalmente donde estamos ahora), no como totales de riqueza. Segundo, la sensibilidad decreciente: la diferencia entre ganar 0 y 100 se siente mayor que entre ganar 1,000 y 1,100. Tercero, la aversión a las pérdidas: una pérdida duele más de lo que agrada la ganancia equivalente. Sus estimaciones de 1992 fueron aproximadamente α ≈ 0.88 para la curvatura y λ ≈ 2.25 para la aversión a las pérdidas.
  v(x) = xα para ganancias, v(x) = −λ·(−x)α para pérdidasλ mayor que 1 hace la curva más empinada para las pérdidas; α menor que 1 la aplana a medida que crecen las cantidades
  
    Interactivo · ¿Aceptarías la moneda al aire?
    Aversión a las pérdidas λ
      
    Curvatura α
      
    Ganas si sale cara (pierdes 100 si sale cruz)
      
    
    
    Una función de valor simplificada de la teoría prospectiva, que ignora la ponderación de probabilidades. Los valores están en unidades «sentidas» arbitrarias. Con λ = 1 y α = 1 el elector es el neutral al riesgo de los libros de texto.
  
  Sin JavaScript: con λ = 2.25 y α = 0.88, una apuesta 50:50 para perder 100 solo vale la pena si la ganancia es de al menos 251; con λ = 2 y α = 1 se necesita exactamente 200.
  Con los valores por defecto, una moneda al aire que arriesga 100 y ofrece 150 tiene un promedio positivo (+25 en dinero) pero un valor sentido negativo. Sube la ganancia hasta cerca de 250 y se invierte. Mucha gente rechaza esas apuestas, y la teoría prospectiva explica por qué. ¿Qué tan sólida es la propia aversión a las pérdidas? Es una discusión abierta, que se retoma al final.

  Anclaje y encuadre: los mismos hechos, otra atracción
  En el experimento de anclaje más conocido, Tversky y Kahneman (1974) hicieron girar una ruleta que se detenía en 10 o en 65, y luego preguntaron qué porcentaje de los miembros de las Naciones Unidas son países africanos. Quienes vieron 10 dieron una respuesta típica cercana a 25%; quienes vieron 65 respondieron cerca de 45%. Un número aleatorio arrastró la estimación. La herramienta de abajo interpola entre esas dos medianas reportadas (ilustra el tamaño del tirón, no son datos más allá de ellas).
  
    Interactivo · El tirón del ancla
    Número que mostró la ruleta
      
    
    
    Recta que pasa por las dos medianas reportadas (ancla 10 da 25; ancla 65 da 45). Entre ambas, cada punto de ancla mueve la estimación típica unos 0.36 puntos.
  
  El índice de anclaje es el cambio en las estimaciones dividido por el cambio en las anclas: (45 − 25) ÷ (65 − 10) ≈ 0.36. El anclaje es uno de los hallazgos más sólidos del campo, aunque unos pocos estudios con anclas obviamente aleatorias no lo han encontrado. El encuadre (framing) es su primo: el problema de la «enfermedad asiática» de Tversky y Kahneman de 1981 describe un programa para 600 personas en riesgo, ya sea como «se salvarán 200» o como «morirán 400», y ambas describen el mismo resultado. En el original, una mayoría tomó la opción segura cuando se presentaba como vidas salvadas, y una mayoría tomó la apuesta cuando se presentaba como muertes. Los efectos de encuadre se han vuelto a probar ampliamente, y la dirección suele sostenerse; el tamaño depende mucho de la redacción y de a quién se pregunta.

  Sesgo hacia el presente: hoy contra después
  La teoría estándar descuenta el futuro a una tasa constante, de modo que tu preferencia entre «$100 el día d» y «$110 el día d + 7» sigue igual a medida que pasan los días. Las personas reales no. Richard Thaler halló en 1981 que la gente era indiferente entre $15 ahora y $30 en tres meses, $60 en un año o $100 en tres años, lo que implica tasas de descuento que caen bruscamente con la demora. George Ainslie halló que muchas personas preferían $50 ahora a $100 en seis meses, pero $100 en nueve meses a $50 en tres: la misma elección, seis meses más lejos, se invierte. David Laibson (1997) lo capturó en el modelo cuasi hiperbólico: todo lo posterior a hoy recibe un descuento adicional único β menor que 1.
  valor de la recompensa x con demora t = β · δt · x si t > 0, y x si es ahoraδ es la paciencia ordinaria por día; β menor que 1 es el «sesgo hacia el presente»
  
    Interactivo · Planeas hoy, eliges mañana
    Sesgo hacia el presente β (1 = ninguno)
      
    Días hasta la recompensa menor
      
    
    Elección: $100 ese día, o $110 una semana después. Paciencia δ = 0.995 por día (se pierde cerca del 3.4% por semana). Parámetros inventados para ilustrar.
  
  Con β = 0.7, tu plan de hoy es esperar los $110 siempre que la recompensa menor esté a un día o más de distancia. Cuando llega el día y los $100 están disponibles ahora, los tomas, contra tu propio plan. Ese patrón de planear y romper el plan es la mensualidad del gimnasio, la dieta sin terminar, la cuenta de ahorros sin abrir. Quienes saben que son así compran mecanismos de compromiso: una cuenta de ahorro bloqueada, una apuesta con un amigo, borrar la aplicación. Pon β = 1 y la inversión desaparece.

  Opciones por defecto y empujoncitos: diseñar el camino fácil
  Si las personas son poco atentas y algo sesgadas hacia el presente, lo que ocurre cuando no hacen nada importa enormemente. Madrian y Shea (2001) estudiaron una gran empresa estadounidense que pasó su plan de retiro 401(k) a la inscripción automática, con los términos económicos del plan sin cambios: la participación fue significativamente mayor con inscripción automática, y muchos empleados se quedaron en la tasa de aportación y el fondo por defecto. Las tasas nacionales de donación de órganos cuentan algo parecido: cerca del 12% de consentimiento en la Alemania de adhesión voluntaria (opt-in) frente al 99.98% en la Austria de exclusión voluntaria (opt-out) es el contraste más citado, aunque mezcla otras causas.
  En el mundo hispanohablante hay ejemplos reales de cambios de regla. En España, la ley de 1979 presume el consentimiento, y el país tiene una de las tasas de donantes más altas del mundo, pero el presidente de la Organización Nacional de Trasplantes ha reconocido que la ley probablemente no es la razón principal del éxito: pesa más la organización de la coordinación en los hospitales. Chile adoptó en 2010 la Ley 20.413, que considera donantes a los mayores de 18 años salvo que declaren lo contrario, y Argentina pasó a donante presunto en 2005 (Ley 26.066) y, con la Ley Justina de 2018 (Ley 27.447), eliminó el requisito de consultar a la familia. La lección es la misma: el valor por defecto importa, pero rara vez actúa solo.
  
    Interactivo · ¿Adhesión voluntaria o exclusión voluntaria?
    Proporción de personas que deciden activamente
      
    Proporción que de verdad quiere participar
      
    
    
    Un modelo de juguete: quienes deciden activamente siguen su propio deseo; todos los demás se quedan en la opción por defecto. La participación real depende de muchas más cosas.
  
  El modelo de juguete muestra la lógica: cuanto menos atenta es la población, más decide la opción por defecto y menos personas están eligiendo. Esa es la idea detrás del empujoncito (nudge), término que Richard Thaler y Cass Sunstein hicieron famoso en su libro de 2008: cambiar la «arquitectura de la elección» sin prohibir nada. Es también el momento de una advertencia. Si los empujoncitos funcionan a gran escala es discutido (el boletín de abajo), y también se discute la ética de orientar a la gente: los críticos temen la manipulación; los defensores responden que toda elección tiene alguna opción por defecto, así que alguien tiene que fijarla.

  Preferencias sociales: el juego del ultimátum
  La teoría estándar predice que a las personas solo les importa su propia ganancia. En el juego del ultimátum (Güth, Schmittberger y Schwarze, 1982), un proponente reparte 100 con un respondedor que puede aceptar o rechazar; si rechaza, ambos se quedan sin nada. Quien solo maximiza dinero aceptaría 1, así que el proponente ofrecería 1. Los respondedores reales no lo hacen. En 37 estudios, los proponentes ofrecían típicamente cerca del 40%, y las ofertas por debajo de cerca del 30% se rechazaban a menudo: los respondedores pagan para castigar lo que ven como injusto. Quince sociedades de pequeña escala estudiadas por Henrich y colaboradores mostraron que lo que se considera justo difiere entre culturas, de modo que las cifras «típicas» pertenecen a los lugares donde se han hecho la mayoría de los experimentos.
  
    Interactivo · Haz la oferta
    Tu oferta (de 100)
      
    Mínimo típico que aceptan los respondedores
      
    Cuánto difieren los respondedores
      
    
    Cada respondedor tiene un mínimo privado, distribuido en forma de campana alrededor del valor típico. Parámetros inventados: lo importante es la forma del intercambio, no un pronóstico.
  
  Pon el mínimo y la dispersión cerca de cero (un respondedor de libro de texto): la mejor oferta se hunde a cerca de 3. Ponlos cerca de lo que describen los estudios y la mejor oferta salta a cerca de 39, porque una oferta tacaña arriesga todo. Un proponente que ofrece con justicia puede estar movido por la equidad o por el miedo al rechazo, y el juego por sí solo no puede decir cuál.

  Qué resistió, qué se encogió, qué fracasó
  La economía conductual nació de la psicología, y la psicología pasó por una crisis de replicación. En 2015 la Open Science Collaboration repitió 100 estudios de psicología publicados y encontró que cerca del 36% se replicó con éxito según su criterio principal. A la economía le fue mejor, pero no perfectamente: un proyecto de 2016 repitió 18 experimentos de laboratorio de revistas líderes de economía, y 11 (cerca del 61%) se replicaron; un proyecto de 2018 repitió 21 artículos de ciencias sociales de Nature y Science, y 13 (cerca del 62%) se replicaron, por lo general con efectos más pequeños. El boletín de abajo clasifica los hallazgos usados en esta pieza y algunos vecinos famosos. Usa los botones para filtrarlo.
  
    Interactivo · El boletín de calificaciones
    
      Todos
      Resistió
      Se encogió
      Fracasó
      Discutido
    
    
    
  
  Algunas lecciones. Las direcciones se sostienen más a menudo que los tamaños: las opciones por defecto, las anclas y el sesgo hacia el presente apuntan hacia donde dice la teoría, pero sus efectos en el terreno suelen ser menores que los del primer estudio de laboratorio. Los hallazgos grandes, llamativos y aislados son los más riesgosos: el agotamiento del yo y el priming social se construyeron sobre muestras pequeñas e historias ingeniosas. No todo «sesgo» es una sola idea: la aversión a las pérdidas, el efecto de dotación y el sesgo de statu quo pueden ser una fuerza o tres, y los expertos difieren. Y los promedios publicados exageran, por la razón que muestra Econometría (34/36): los resultados significativos sobreviven al filtro de las revistas, y las sobreestimaciones afortunadas son las que lo pasan.

  Lo que un graduado ve sin pensarlo
  
    La gente usa atajos que casi siempre funcionan y a veces fallan con patrones; el patrón es lo que lo convierte en una ciencia.
    Los resultados se juzgan desde un punto de referencia, y las pérdidas pesan más que las ganancias iguales, probablemente cerca del doble, pero la cifra depende del contexto.
    Un número que te entregan tira de tu estimación hacia él, aun cuando sea irrelevante.
    Los mismos hechos presentados como ganancias o como pérdidas pueden invertir una elección.
    El sesgo hacia el presente hace que planes y acciones discrepen; los mecanismos de compromiso existen porque la gente lo sabe.
    La opción por defecto es una decisión que alguien tomó por ti; cuando la gente está desatenta, decide ella.
    La gente pagará por castigar la injusticia, y las normas de equidad difieren entre sociedades.
    De cualquier hallazgo famoso pregunta: ¿se replicó? ¿de qué tamaño? ¿en quiénes? La dirección sobrevive más que el tamaño.
  

  Dónde aparece después
  
    Comportamiento del consumidor (34/29): los precios de referencia, el anclaje en los precios de lista y el encuadre de «antes/ahora» son mercadotecnia cotidiana.
    Precios (34/48): los señuelos, los números redondos y las suscripciones con renovación por defecto se apoyan en estos efectos, y el registro de replicaciones te dice en cuáles confiar.
    Economía pública (34/37): la inscripción automática y la donación con exclusión voluntaria son instrumentos de política, con el debate sobre los empujoncitos incluido.
    Estrategia y competencia (34/43) y Teoría de juegos (34/15): el juego del ultimátum es un resultado de teoría de juegos que las personas reales no siguen.
    En el mundo: el diseño de pensiones, la recaudación de fondos, los mensajes de salud, el diseño de aplicaciones y cada «oferta por tiempo limitado».
  

  Si quieres profundizar
  
    📘 Libro de texto. Nick Wilkinson y Matthias Klaes, An Introduction to Behavioral Economics (Palgrave, en inglés). Un texto universitario estándar.
    📘 Referencia. Colin Camerer, George Loewenstein y Matthew Rabin (eds.), Advances in Behavioral Economics (Princeton, 2004, en inglés), con los artículos de investigación detrás del campo.
    📘 Más amable. Richard Thaler, Portarse mal: el comportamiento irracional en la vida económica (Paidós, 2018), y Daniel Kahneman, Pensar rápido, pensar despacio (Debate, 2013). Léelos con el boletín en mente, porque algunos de los estudios del segundo han sido cuestionados desde entonces.
    🌐 Curso gratuito. MIT OpenCourseWare 14.13 Psychology and Economics (primavera de 2020, prof. Frank Schilbach; en inglés).
  

  
    Para llevar
    Los electores reales se apoyan en atajos, juzgan desde puntos de referencia, descuentan lo inmediato frente a lo posterior, siguen las opciones por defecto y se preocupan por la equidad. Esas desviaciones son reales y a menudo predecibles, pero los tamaños son menores y menos universales de lo que dijeron los primeros titulares, y algunos resultados famosos no sobrevivieron. Confía en la dirección, duda de la magnitud y revisa la replicación.
    Prueba esto: esta semana, busca una opción por defecto en tu vida (una suscripción, un ajuste de notificaciones, una aportación de retiro) y decide a propósito si es la que habrías elegido tú.
  

  
    Fuentes y para profundizar
    Fuentes. Simon sobre la racionalidad limitada y el conformarse con lo suficiente (años cincuenta); Tversky y Kahneman, «Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases», Science 1974 (anclaje con la ruleta: anclas 10 y 65, respuestas típicas de cerca de 25% y 45%); Kahneman y Tversky, «Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk», Econometrica 47(2), 1979; Kahneman ganó el Nobel de Economía de 2002. Los parámetros de la función de valor α ≈ 0.88 y λ ≈ 2.25 son las estimaciones de Tversky y Kahneman (1992); varían según la muestra y aquí se usan solo como ilustración. Frederick, «Cognitive Reflection and Decision Making», Journal of Economic Perspectives 2005 (problema del bate y la pelota; aquí adaptado al cuaderno y el lápiz). Tversky y Kahneman, «The Framing of Decisions and the Psychology of Choice», Science 1981. Thaler, «Some Empirical Evidence on Dynamic Inconsistency», 1981 ($15 ahora frente a $30 en 3 meses, $60 en 1 año, $100 en 3 años); las inversiones de $50/$100 de Ainslie; Laibson, «Golden Eggs and Hyperbolic Discounting», 1997. Madrian y Shea, NBER Working Paper 7682 (2000), publicado en 2001: participación «significativamente mayor con inscripción automática». Contraste de donación de órganos y la advertencia sobre otras causas: Wikipedia, «Organ donation» (que recoge también la ley española de 1979, la declaración del presidente de la ONT, la Ley 20.413 de Chile promulgada el 6 de enero de 2010, y las leyes argentinas 26.066 de 2005 y 27.447 de 2018). Thaler y Sunstein, Nudge (2008; en español, Un pequeño empujón, Taurus). Eficacia de los empujoncitos: Mertens et al. (PNAS 2022) hallaron efectos moderados; Maier et al. (PNAS 2022) no hallaron evidencia tras corregir el sesgo de publicación; DellaVigna y Linos (Econometrica 2022) hallaron efectos menores en los ensayos de unidades de empujoncitos que en los artículos publicados. Güth, Schmittberger y Schwarze, 1982; Oosterbeek, Sloof y van de Kuilen 2004 (37 estudios: ofertas de cerca del 40%, ofertas por debajo de cerca del 30% a menudo rechazadas); Henrich et al. sobre sociedades de pequeña escala. Replicación: Open Science Collaboration 2015 (36%); Camerer et al. 2016 (11 de 18) y 2018 (13 de 21); agotamiento del yo: Hagger et al. 2016 (2,141 participantes, sin evidencia) y Vohs et al. 2021 (d = 0.06); prueba del malvavisco: Mischel y Ebbesen 1970 (32 niños), Watts, Duncan y Quan 2018; aversión a las pérdidas: Gal y Rucker 2018, Mrkva et al. 2020, Yechiam y Zeif 2025; sobrecarga de opciones: Iyengar y Lepper 2000, Scheibehenne et al. 2010, Chernev et al. 2015. Cálculos con el código de esta página: ganancia de equilibrio en la moneda al aire = λ1/α × 100 = 251 (200 con λ = 2, α = 1); índice de anclaje 20 ÷ 55 = 0.36; cuaderno y lápiz: lápiz $5; las mejores ofertas del juego del ultimátum de juguete (39 y 3). Adaptada de la pieza en inglés Behavioral Economics.
    
      🌐 MIT OCW 14.13 Psychology and Economics (en inglés)
      📘 Thaler, Portarse mal (Paidós)
      📘 Kahneman, Pensar rápido, pensar despacio (Debate)
    
  

  
    Para tu español
    
      sesgo (bias) · atajo (shortcut) · ancla (anchor) · encuadre (framing) · empujoncito (nudge) · por defecto (default) · ganga (bargain) · aversión a las pérdidas (loss aversion) · boletín de calificaciones (report card) · tacaño (stingy)


Step 11. Comercio y finanzas internacionales: por qué comercian los países y por qué se mueven las monedas
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Why: Por qué comercian los países, por qué se mueven las monedas, y quién gana y quién pierde.
El comercio hace más ricos a los países en promedio y deja peor a personas concretas. Las monedas permiten que el dinero cruce fronteras, y fijar una tiene un precio que no se puede esquivar. Dos ideas, una materia.

Mira la etiqueta de lo que traes puesto. El algodón pudo cultivarse en un país, hilarse en un segundo, coserse en un tercero y venderse en un cuarto, y el precio que pagaste se movió un poco esta mañana porque se movió una moneda. Una Big Mac cuesta unos 6.22 dólares en Estados Unidos y unos 9.04 en Suiza, según la edición de julio de 2026 del índice de The Economist, aunque es el mismo sándwich, hecho por la misma empresa.
  Quien estudió economía mira todo eso y se hace dos preguntas. Primera: ¿por qué comercian los países, y quién gana y quién pierde cuando lo hacen? Segunda: ¿por qué los precios en monedas distintas se separan, y qué pasa cuando un gobierno intenta mantener quieta su moneda? La primera es la teoría del comercio. La segunda son las finanzas internacionales. Juntas son la materia.
  Si vives en México, Centroamérica, el Caribe o el Cono Sur, esto no es teoría lejana: el T-MEC, Mercosur, el dólar que llega como remesa y las devaluaciones que muchos recuerdan en la familia son esta materia. Más abajo los usamos como casos, con fecha y fuente. Esta pieza describe cómo funcionan las cosas; no es asesoría financiera, legal ni fiscal.

  
    La materia en una caja
    
      Quién la cursaEstudiantes de Economía, normalmente como materia de campo en el año 3; programas de negocios internacionales y de finanzas; y, en Administración de Empresas, como materia de año 4. Los programas suelen partirla en dos: una mitad de comercio (ventaja comparativa, aranceles, ganadores y perdedores) y otra de finanzas (tipos de cambio, balanza de pagos, crisis). Los cursos de doctorado, como el 14.581 del MIT, llegan mucho más lejos en la evidencia.
      Para qué sirvePara decir quién gana y quién pierde cuando se abren o se cierran las fronteras, y por qué una moneda puede mantenerse firme durante años y romperse en una semana.
      Viene después de:Microeconomía (34/14) y Macroeconomía (34/35).
      Lleva a:Economía del desarrollo (34/39), donde la política comercial es una de las discusiones más viejas sobre cómo se enriquecen los países pobres, y Estrategia y competencia (34/43), donde las empresas deciden dónde producir y dónde vender.
      Qué te da esta piezaNo podrás pronosticar un tipo de cambio (nadie puede, de forma fiable). Sí verás por qué el comercio eleva el ingreso total de un país, por qué los ganadores podrían compensar a los perdedores pero a menudo no lo hacen, por qué un arancel es un impuesto a tus propios consumidores y por qué no se puede tener a la vez un tipo de cambio fijo, libre movimiento de capitales y una tasa de interés propia. Lecturas más fáciles: Capitalismo (en inglés, 31/01) para los mercados en general y Movilidad social (en inglés, 30/04) para lo que hace la pérdida de empleo a una región. Esta pone números a los dilemas. Todos los mercados y países de los deslizadores son ilustrativos, salvo donde se dice que son datos.
    
  

  Ventaja comparativa: el comercio conviene incluso si eres peor en todo
  El resultado más sorprendente de la materia es también el más antiguo. En 1817, David Ricardo sostuvo en sus Principios de economía política y tributación que dos países ganan con el comercio aunque uno sea mejor que el otro en producirlo todo. Su ejemplo fue el paño inglés y el vino portugués. Según sus cifras, Portugal producía una unidad de vino con 80 años de trabajo y una de paño con 90. Inglaterra necesitaba 120 para el vino y 100 para el paño. Portugal es mejor en las dos cosas.
  El truco es contar en costo de oportunidad, no en horas. Cada vino que produce Portugal significa renunciar a 80 ÷ 90 = 0.89 de un paño. Cada vino que produce Inglaterra significa renunciar a 120 ÷ 100 = 1.2 paños. El vino es más barato, en lo que se sacrifica, en Portugal. Así que Portugal debe inclinarse hacia el vino e Inglaterra hacia el paño, aunque Inglaterra sea peor en ambos. Tu abogada puede teclear más rápido que su asistente y aun así no debe estar tecleando: el tiempo que pasa tecleando es tiempo que no dedica a algo que vale más.
  hay ganancia si el precio del vino queda entre los dos costos de oportunidad0.89 paño < precio de un vino < 1.2 paño: dentro de esa banda ambos países salen mejor
  
    Interactivo · La calculadora de Ricardo
    Cada país tiene 1,000 años de trabajo y quiere cantidades iguales de vino y de paño (un gusto deliberadamente simple). Sin comercio, cada uno produce ambos. Con comercio, cada uno se especializa donde su costo de oportunidad es menor e intercambia al precio que tú fijes.
    Precio mundial: paño por 1 vino
      
    
    
    Cifras de trabajo de Ricardo (1817). Portugal con comercio: 12.5 de vino, que vende a tu precio. Inglaterra: 10 de paño. Cada uno termina consumiendo cantidades iguales de ambos. Prueba 0.70 y 1.40: fuera de la banda un país pierde y se negaría a comerciar.
  
  El hábito del graduado es preguntar, antes de cualquier afirmación sobre comercio, "¿más barato comparado con qué?". La ventaja comparativa no trata de quién es el mejor. Trata de a qué renuncia cada lado.

  Ganancias del comercio, y quién pierde
  El modelo de Ricardo tiene un solo factor y ninguna persona. Los países reales tienen campesinos y maestras, dueños y obreros. Cuando un país se abre a importar un bien, el precio baja hasta el precio mundial. Ganan los compradores, porque el precio es menor. Pierden los productores locales, porque ahora venden a ese precio menor. En el cuadro estándar de oferta y demanda, la ganancia de los compradores es mayor que la pérdida de los productores, y el país en conjunto sale adelante. Si el precio mundial está por encima del precio interno, la misma lógica corre al revés: ganan los productores, pierden los compradores, y el total vuelve a ser positivo.
  
    Interactivo · Abre la frontera
    Un mercado ilustrativo: la demanda es Q = 100 − P y la oferta es Q = P − 20, así que sin comercio el precio es 60 y la cantidad 40. Mueve el precio mundial y mira el excedente de los compradores (azul), el de los productores (dorado) y el neto.
    Precio mundial
      
    
    
  
  La frase para recordar es "los ganadores podrían compensar a los perdedores y aun así salir ganando". Podrían. Que lo hagan es política, no modelo. La teoría del comercio es una afirmación sobre el total. El diagrama guarda silencio sobre en qué calle estaba la fábrica, que es donde empieza la evidencia de la sección siguiente.

  El shock chino: una ganancia que cayó de forma desigual
  China ingresó a la Organización Mundial del Comercio en diciembre de 2001 y sus exportaciones de manufacturas se dispararon. Los economistas David Autor, David Dorn y Gordon Hanson compararon mercados laborales locales de Estados Unidos según cuánto de su industria competía con importaciones chinas. En un artículo de 2013, "The China Syndrome", encontraron que los lugares más expuestos tuvieron más desempleo, menor participación laboral y salarios más bajos, con un aumento de las transferencias del gobierno. Atribuyeron, de forma conservadora, cerca de una cuarta parte de la caída del empleo manufacturero estadounidense entre 1990 y 2007 a la competencia de las importaciones chinas.
  Un seguimiento de 2016, "The China Shock", halló que el ajuste fue mucho más lento de lo que espera el libro de texto: los salarios y la participación siguieron deprimidos, y los trabajadores expuestos tuvieron más rotación de empleos y menor ingreso a lo largo de la vida. Su estimación principal es del orden de 2 millones de empleos estadounidenses perdidos por las importaciones chinas en los años posteriores al 2000; la cifra exacta y su interpretación se discuten, y los críticos sostienen que los empleos perdidos solo en manufactura son bastante menos y que los bienes más baratos y los nuevos empleos exportadores compensaron una parte.
  
    PreguntaQué dice la evidencia
    ¿El comercio elevó el ingreso total?La mayoría de los economistas dice que sí: bienes e insumos más baratos para todos, y más exportaciones para algunos.
    ¿Ganó todo el mundo?No. Las regiones expuestas de EE. UU. perdieron empleos e ingresos, y la recuperación fue lenta.
    ¿Pasó igual en todas partes?No. Un estudio de los mercados laborales alemanes (Dauth, Findeisen y Suedekum, 2014) reporta ganancias netas de empleo allí, porque las empresas alemanas vendieron en esos mismos mercados nuevos.
    ¿En qué discrepan los economistas?En qué tan grandes fueron las pérdidas de empleo en EE. UU., cuánto fue comercio y cuánto automatización, y qué debió hacer la política.
  
  El libre comercio no es "todos ganan". Es "se gana tanto que nadie tendría que perder, si alguien paga".

  Aranceles: quién paga de verdad
  Un arancel es un impuesto a un bien importado. La imagen del político es que lo paga el vendedor extranjero. La primera pregunta del economista es "¿a quién le queda el precio más alto, y a quién se le paga menos?". Eso es la incidencia, y no depende de quién firme el cheque. Si el país es un comprador pequeño en un mercado mundial grande, el vendedor extranjero no bajará su precio, y el precio interno sube por todo el arancel. Si el comprador es grande, el vendedor puede bajar su precio antes de impuestos para no perder la venta, y parte del impuesto cae fuera.
  La historia reciente lo puso a prueba. En un artículo de 2019 sobre los aranceles estadounidenses de 2018, Mary Amiti, Stephen Redding y David Weinstein encontraron un "traspaso completo" (complete passthrough) a los precios de importación de EE. UU.: los vendedores extranjeros no bajaron sus precios y los compradores estadounidenses cargaron con el costo, unos 1,400 millones de dólares al mes de ingreso real perdido a finales de 2018. Los aranceles de 2025 en adelante son una prueba mucho mayor, y la investigación sobre ellos seguía llegando cuando se escribió esto.
  
    Interactivo · Ponle un arancel
    El mismo mercado, con el precio mundial fijo en 40. Un arancel de t por unidad; el traspaso es la parte que aparece en el precio interno (100% = el vendedor extranjero no se mueve).
    Arancel por unidad
      
    Traspaso al precio interno
      
    
    
    Bienestar neto = pérdida de los compradores + ganancia de los productores + recaudación del arancel. Con traspaso completo siempre es negativo (la "pérdida de eficiencia", dos triángulos pequeños). Con traspaso bajo el país puede salir ganando, pero es una transferencia de los extranjeros, invita a represalias, y las represalias no están en el modelo.
  
  El argumento a favor de los aranceles que los economistas toman en serio es más estrecho que el político: una industria joven que necesita tiempo para aprender (el argumento de la "industria naciente", que viene de Alexander Hamilton y Friedrich List), la seguridad nacional, o un país lo bastante grande como para empujar parte del costo hacia afuera. Cada uno tiene costos, y la evidencia del primero es mixta. En América Latina esa discusión no es abstracta; vuelve en Economía del desarrollo (34/39).

  Dos apuestas de integración: T-MEC y Mercosur
  La región ha intentado el camino contrario al arancel alto: bajar aranceles entre socios. Dos casos, con fechas.
  
    AcuerdoQué pasó (con fecha)
    TLCAN / T-MEC (México, EE. UU., Canadá)El TLCAN entró en vigor el 1 de enero de 1994. Su sucesor, el T-MEC (USMCA en inglés), se firmó el 30 de noviembre de 2018 (con una versión revisada el 10 de diciembre de 2019) y entró en vigor el 1 de julio de 2020. Está previsto que se revise de forma conjunta a los seis años. El 1 de junio de 2026 Canadá pidió renovarlo por otros 16 años; el 1 de julio de 2026 Estados Unidos no aceptó renovarlo en esa revisión, lo que activa revisiones anuales. El tratado sigue vigente, con vencimiento previsto en 2036 si nadie lo prorroga (las fuentes difieren en el día exacto); el gobierno mexicano ha dicho que espera continuidad. Es una situación en movimiento: revisa el estado actual.
    Mercosur (Argentina, Brasil, Paraguay, Uruguay, y Bolivia)El Tratado de Asunción se firmó el 26 de marzo de 1991; la unión aduanera rige desde el 1 de enero de 1995 (Protocolo de Ouro Preto, 16 de diciembre de 1994). Venezuela fue suspendida el 1 de diciembre de 2016, y en agosto de 2017 la suspensión se declaró indefinida. Bolivia es miembro pleno desde el 8 de julio de 2024. El acuerdo con la Unión Europea se firmó en enero de 2026; el 21 de enero de 2026 el Parlamento Europeo votó (334 a 324) enviarlo al Tribunal de Justicia de la UE, y la Comisión anunció que lo aplicaría de forma provisional mientras tanto; la prensa difiere en la fecha de inicio de esa aplicación.
  
  Para México, el comercio pesa: las exportaciones de bienes y servicios equivalían a cerca del 37% del PIB en 2024 (Banco Mundial). Eso explica por qué una revisión de un tratado se lee en la economía real, desde el tipo de cambio hasta el empleo de una ciudad fronteriza. La teoría de esta sección no te dice si un tratado conviene a todos; te dice a quién mirar: a los consumidores que ganan poco cada uno y a los trabajadores y regiones que pierden mucho cada uno.

  Tipos de cambio y la Big Mac
  El comercio necesita un precio entre dos monedas: el tipo de cambio. Si una canasta dada de bienes costara lo mismo en todas partes una vez convertida, el tipo de cambio estaría en la paridad del poder adquisitivo (PPA). La periodista de The Economist Pam Woodall inventó en 1986 una prueba ligera: usar una Big Mac como canasta. Divides el precio local entre el precio en Estados Unidos y obtienes el tipo de cambio al que la hamburguesa costaría lo mismo. Lo comparas con el tipo real y puedes decir que una moneda parece "barata" o "cara".
  tipo implícito = precio local ÷ precio en EE. UU.sobrevaluación o subvaluación = precio de la hamburguesa en dólares ÷ precio en EE. UU. − 1
  
    Interactivo · La Big Mac, julio de 2026
    Elige un país
    
    Si la moneda se fortalece en (negativo: se debilita)
      
    
    Datos: índice Big Mac de The Economist, edición de julio de 2026 (publicado en GitHub por The Economist). Deslizador positivo = la moneda se fortalece. Índice en bruto, sin ajustar por PIB. En países con varios tipos de cambio o con inflación muy alta (Argentina, Venezuela) la comparación es más frágil: úsala como pista, no como veredicto.
  
  No te tomes la hamburguesa demasiado en serio. Se hace con renta y salarios locales, así que debe ser más barata en países más pobres: una Big Mac en India cuesta menos en parte porque los salarios indios son menores. Por eso The Economist publica también un índice ajustado por PIB. La lección más profunda es que a lo largo de muchos años los tipos de cambio tienden a acercarse a la PPA, pero despacio y con ruido, y durante unos años pueden quedar muy lejos.

  La balanza de pagos: todo déficit tiene un espejo
  La balanza de pagos es una identidad contable con traje. Cada transacción entre un país y el resto del mundo se registra dos veces: qué se compró o se vendió, y cómo se pagó. Así que la cuenta corriente de un país (comercio de bienes y servicios, más ingresos y transferencias) y su cuenta financiera (compra y venta de activos) deben ser el espejo una de la otra. Un país que compra más de lo que vende debe pagar con deuda o vendiendo activos.
  cuenta corriente = ahorro nacional − inversiónun déficit significa que el país invierte más de lo que ahorra, y los extranjeros prestan la diferencia
  
    Interactivo · Dónde se financia la brecha
    
      Un gran ahorrador
      Un prestatario
      Equilibrado
    
    Ahorro nacional (% del PIB)
      
    Inversión (% del PIB)
      
    
    Países estilizados, solo para la identidad; los ejemplos no son las cifras de ningún país real.
  
  Un déficit no es automáticamente una enfermedad. Un país que crece rápido y se endeuda para construir fábricas tiene uno por buenas razones; uno que se endeuda para consumir, o cuyos prestamistas pierden la confianza, está en otra situación. Para tener escala: el déficit de cuenta corriente de EE. UU. en el segundo trimestre de 2026 fue de unos 246,000 millones de dólares, el 3.0% del PIB, según la Oficina de Análisis Económico de EE. UU. (BEA; comunicado del 24 de septiembre de 2026), y lleva décadas en déficit. La imagen en espejo es que los extranjeros siguen comprando activos estadounidenses.

  Las remesas: un dólar que entra por la cuenta corriente
  En América Latina hay una partida de esa cuenta que las familias conocen: las remesas, el dinero que los migrantes envían a casa. Cuentan como transferencias en la cuenta corriente, y para varios países son una fuente de divisas comparable a una gran exportación. Dos datos, con su fuente.
  En dólares, México es de los mayores receptores del mundo: según el Banco de México, recibió 64,746 millones de dólares en 2024 y 61,791 millones en 2025, una caída de 4.6% (la primera de un año completo desde 2013). Pero medidas contra el tamaño de la economía, las remesas pesan mucho más en los países pequeños:
  
    PaísRemesas recibidas, % del PIB (2024)
    Nicaragua26.6%
    Honduras25.7%
    El Salvador24.3%
    Guatemala19.1%
    República Dominicana9.1%
    México3.7%
  
  Fuente: Banco Mundial, indicador "remesas personales recibidas (% del PIB)", consulta de 2026. Son cifras oficiales de balanza de pagos y no incluyen todo el dinero que viaja por vías informales.
  
    Interactivo · Una remesa y el tipo de cambio
    Alguien envía dólares a México cada mes. El tipo de referencia es el de la edición de julio de 2026 del índice Big Mac (17.386 pesos por dólar), no una cotización de hoy. Mueve el peso: si se debilita, el mismo dólar compra más pesos.
    Dólares enviados al mes
      
    El peso se fortalece en (negativo: se debilita)
      
    
  
  Fíjate en lo que no dice el deslizador: un peso débil le da más pesos a quien recibe, pero también encarece lo importado que esa familia compra. El efecto sobre su bienestar depende de qué compra. Es la misma idea de siempre: pregunta quién gana y quién pierde cuando se mueve un precio.

  La trinidad imposible y las crisis de moneda
  A comienzos de los años sesenta, Marcus Fleming y Robert Mundell (por separado) mostraron que un gobierno no puede tener a la vez las tres cosas siguientes: un tipo de cambio fijo, libre movimiento de capitales y su propia política de tasas de interés. Cualquiera de dos, nunca las tres. También se llama el trilema, y la razón es mecánica. Supón que atas tu moneda al dólar y bajas tu tasa de interés por debajo de la del dólar. Los ahorradores venden tu moneda para ganar más en otra parte, y eso la empuja a la baja. Para sostener la paridad debes gastar reservas comprando tu propia moneda. Las reservas son finitas.
  
    Renuncia aConservaEjemplo
    Tasa de interés propiaTipo fijo, capital abiertoLos miembros de la zona euro; Hong Kong, cuyo dólar está ligado al de EE. UU. desde 1983; los países dolarizados: Panamá (desde 1904), Ecuador (2000) y El Salvador (2001)
    Tipo de cambio fijoTasa propia, capital abiertoEE. UU., Reino Unido, Japón, Canadá (flotantes)
    Capital abiertoTipo fijo, tasa propiaChina, durante largos periodos (el ejemplo de Paul Krugman)
  
  
    Interactivo · Defiende la paridad (un modelo de juguete)
    Un banco central mantiene fija su moneda. ¿Cuánto duran sus reservas si además baja la tasa por debajo de la mundial? Se supone que la salida diaria es proporcional a la movilidad del capital × la brecha de tasas. Números inventados, lógica honesta.
    Movilidad del capital
      
    Tasa propia por debajo de la mundial (puntos)
      
    Reservas (miles de millones de $)
      
    
    Los ataques reales son más rápidos que este modelo, porque en cuanto los operadores creen que viene una devaluación, vender se vuelve una profecía que se cumple sola.
  
  Cuatro casos reales en una tabla. Son las historias clásicas, no las únicas.
  
    CasoQué pasó
    Reino Unido, 16 de septiembre de 1992La libra estaba dentro del mecanismo europeo de tipos de cambio. En el "Miércoles Negro" la tasa base subió de 10% a 12% por la mañana, se prometió llevarla a 15% el mismo día, y aun así siguió la venta; por la noche el Reino Unido salió del sistema. La tasa volvió a 10% al día siguiente. El Tesoro estimó después el costo en unos 3,300 millones de libras; George Soros ganó más de 1,000 millones de libras del otro lado.
    México, diciembre de 1994El 20 de diciembre de 1994 el banco central devaluó el peso entre 13% y 15%, y el 22 de diciembre lo dejó flotar. El peso perdió cerca de la mitad de su valor, de unos 3.4 a unos 7.2 por dólar. En enero de 1995 se anunció un paquete de rescate de unos 50,000 millones de dólares (EE. UU. 20,000; FMI 17,800; BIS 10,000; otros, el resto), y el PIB cayó 6.2% en 1995. El contagio a Chile y Brasil se conoció como el "efecto tequila".
    Tailandia, 2 de julio de 1997El baht estaba fijo en cerca de 25 por dólar. Sin reservas para defenderlo, Tailandia lo dejó flotar. Cayó más de la mitad, hasta un mínimo de 56 por dólar en enero de 1998, y la crisis se extendió por el Asia oriental. El FMI anunció en agosto de 1997 un paquete de rescate de más de 17,000 millones de dólares.
    Argentina, 1991-2002En abril de 1991 la convertibilidad fijó el peso en uno por dólar, con un banco central atado por ley. El 3 de diciembre de 2001 se limitó el retiro de depósitos (el "corralito"); el país suspendió el pago de su deuda externa, y en enero de 2002 el gobierno de Eduardo Duhalde derogó la convertibilidad y fijó un tipo provisional de 1.4 pesos por dólar. El peso llegó a perder cerca del 75% de su valor frente al dólar en pocos meses. Krugman lo usó en 1999 como ejemplo de tipo fijo con capital abierto.
  
  El patrón: una paridad es la promesa de gastar reservas para mantener un precio. Es creíble mientras las reservas parezcan grandes frente a lo que podría huir, y falla rápido cuando la gente deja de creerla. Tampoco todo tipo flotante es tranquilo. El punto no es que las paridades sean malas y los tipos flotantes buenos. El punto es que hay que elegir a cuál de las tres cosas se renuncia. Ecuador, El Salvador y Panamá eligieron renunciar a la política monetaria propia con la dolarización; el costo, que la bibliografía señala, es perder la devaluación como herramienta y el banco central como prestamista de última instancia.

  Lo que un graduado ve sin pensarlo
  
    "Mejor en todo" no significa "debe producirlo todo": cuenta el costo de oportunidad, no las horas.
    El comercio agranda el pastel y reparte distinto las rebanadas. Las dos cosas son ciertas.
    Las ganancias se reparten finas entre los consumidores; las pérdidas se concentran en trabajadores y lugares concretos, y por eso la política comercial es ruidosa.
    Un arancel es primero un impuesto a tus propios compradores. Pregunta quién paga más y a quién le pagan menos.
    Una moneda que parece barata puede ser solo la de un país pobre: ajusta por ingreso antes de llamarla ganga.
    Cuenta corriente = ahorro − inversión. Un déficit es una historia de endeudamiento, y alguien presta.
    Una remesa es una entrada de divisas: pesa poco en México (3.7% del PIB) y muchísimo en Honduras o Nicaragua (más del 25%).
    Solo se pueden tener dos de tres: tipo fijo, capital abierto, tasa propia.
    Las paridades terminan de golpe: cuando las reservas parecen pequeñas junto a lo que podría salir, la creencia es todo el juego.
  

  Dónde aparece después
  
    Economía del desarrollo (34/39): si los países pobres deben abrirse o proteger, y qué muestran los casos de crecimiento exportador de Asia oriental, son las discusiones vivas de esa materia.
    Estrategia y competencia (34/43): las cadenas de suministro, la relocalización y "¿en qué país hago esto?" son ventaja comparativa elegida por una empresa en vez de por un gobierno.
    Macroeconomía (34/35): cuando un banco central sube las tasas, la moneda se mueve y eso mueve los precios de lo importado; es la mitad de economía abierta de la inflación.
    En el mundo: el precio del combustible y los alimentos importados, el riesgo cambiario de una empresa, por qué una remesa vale más o menos, y cada noticia sobre un arancel, un vaivén de la moneda o un programa del FMI. Para llevar estas ideas a un negocio propio, mira Emprender en América Latina vs. en EE. UU. (en Empezar un Negocio, 04/10).
  

  Si quieres profundizar
  
    📘 Libro de texto. Paul Krugman, Maurice Obstfeld y Marc Melitz, Economía internacional (Pearson, hay edición en español). El texto estándar de licenciatura, con el comercio y las finanzas en dos mitades.
    📘 Libro de texto (en inglés). Robert Feenstra y Alan Taylor, International Economics (Worth/Macmillan). La otra opción muy asignada, fuerte en datos y evidencia.
    📘 Más amable. Dani Rodrik, La paradoja de la globalización (Antoni Bosch, 2012): el trilema aplicado a la democracia, las naciones y los mercados abiertos. O, en inglés, Douglas Irwin, Free Trade Under Fire, para el argumento a favor del comercio.
    🌐 Curso de bajo costo, en español. Globalización, Crecimiento Económico y Estabilidad, de IE Business School (Gayle Allard), en Coursera: tres cursos, con comercio, inmigración y tipos de cambio, balanza de pagos y valoración de divisas (videos en inglés con subtítulos en español; ejercicios en español). (Coursera: inscribirse es gratis; el acceso completo a materiales y tareas es de pago, con prueba gratuita).
    🌐 Gratis, en inglés. MIT OpenCourseWare 14.581 International Economics I (primavera de 2013, Costinot y Donaldson). Un curso de posgrado: notas de clase y lecturas sobre por qué comercian los países y quién gana y pierde. Difícil, pero su lista de lecturas es la literatura de verdad. Para una base más amable y en español, CORE, La economía 2.0 (gratis).
  

  
    Para llevar
    El comercio conviene porque los países difieren en a qué renuncian para producir, así que todos pueden salir mejor, pero solo en promedio y solo si alguien está dispuesto a pagar a los perdedores. Las monedas agregan una segunda lección: un gobierno puede fijar el tipo de cambio, dejar que el dinero circule libremente o manejar su propia tasa de interés, y debe renunciar a una. Importaciones baratas, moneda fuerte y déficit comercial son tres miradas a las mismas cuentas.
    Prueba esto: elige algo que compraste esta semana y averigua dónde se hizo. Pregunta quién ganó con la venta en ese país, y quién en el tuyo ganó o perdió porque se hiciera allá.
  

  
    Fuentes y para profundizar
    Fuentes. Las cifras de trabajo de Ricardo (80/90 y 120/100 años de trabajo) son la versión estándar de los libros de texto de Principios (1817), capítulo 7. Autor, Dorn y Hanson, "The China Syndrome" (NBER w18054; cita: "conservatively, it explains one-quarter of the contemporaneous aggregate decline in US manufacturing employment", 1990-2007) y "The China Shock" (NBER w21906, enero de 2016). Amiti, Redding y Weinstein, "The Impact of the 2018 Trade War on U.S. Prices and Welfare" (NBER w25672, marzo de 2019). La comparación alemana es de Dauth, Findeisen y Suedekum, Journal of the European Economic Association (2014). Datos de la Big Mac: índice publicado por The Economist (github.com/TheEconomist/big-mac-data), edición de julio de 2026 (archivo big-mac-full-index.csv, fecha 2026-07-01); origen atribuido a Pam Woodall, 1986. Balanza de pagos de EE. UU.: comunicado de la BEA del 24 de septiembre de 2026. Trilema: Fleming (1962) y Mundell (1960-63); ejemplos de Krugman: China, Reino Unido, Canadá y Argentina. Miércoles Negro y baht: relatos estándar resumidos en Wikipedia (costo estimado por el Tesoro, 3,300 millones de libras; Soros, más de 1,000 millones; mínimo del baht, 56 en enero de 1998; paquete del FMI, más de 17,000 millones, 11 de agosto de 1997). Crisis mexicana de 1994: Wikipedia, "1994 economic crisis in Mexico" (devaluación del 20 de diciembre, flotación del 22, paquete de unos 50,000 millones anunciado en enero de 1995, PIB −6.2% en 1995, "efecto tequila"). Convertibilidad argentina: Wikipedia, "Convertibility plan" (abril de 1991; corralito del 3 de diciembre de 2001; derogación en enero de 2002 bajo Duhalde; tipo provisional de 1.4; pérdida de cerca del 75% del valor del peso en meses). Dolarización: Panamá 1904, Ecuador 2000, El Salvador 2001 (Wikipedia, "Dollarization"). T-MEC: Wikipedia, "United States–Mexico–Canada Agreement" (TLCAN, 1 de enero de 1994; firma, 30 de noviembre de 2018; versión revisada, 10 de diciembre de 2019; vigor, 1 de julio de 2020; revisión conjunta de 2026) y la cobertura de IISD (9 de septiembre de 2026), BBVA Research, PwC México y Holland & Knight (julio de 2026) sobre la decisión del 1 de julio de 2026; las fuentes difieren en la fecha exacta de vencimiento (1 de enero o 1 de julio de 2036). Mercosur: Wikipedia, "Mercosur" (Asunción, 26 de marzo de 1991; Ouro Preto, 16 de diciembre de 1994, aplicación el 1 de enero de 1995; Venezuela, 1 de diciembre de 2016 y agosto de 2017; Bolivia, 8 de julio de 2024). Acuerdo UE-Mercosur: cobertura de Infobae (21 de enero de 2026: votación 334 a 324 y 11 abstenciones del Parlamento Europeo para consultar al Tribunal de Justicia) y de prensa especializada sobre la aplicación provisional; las fechas de inicio difieren entre fuentes. Remesas de México: Banco de México (64,746 millones de dólares en 2024; 61,791 millones en 2025; −4.6%), según reportes de prensa del 2 y 3 de febrero de 2026. Remesas como % del PIB: Banco Mundial, indicador BX.TRF.PWKR.DT.GD.ZS, año 2024. Exportaciones de México, 37.3% del PIB en 2024: Banco Mundial, NE.EXP.GNFS.ZS. Todos los números de los interactivos se calcularon en node: por ejemplo, el consumo sin comercio de Ricardo es 5.88 (Portugal) y 4.55 (Inglaterra) de cada bien y los precios de equilibrio son 0.889 y 1.2; con el precio mundial en 40 el mercado gana 400 en total (compradores +1,000, productores −600); un arancel de 10 con traspaso completo cuesta 550 a los compradores, da 250 a los productores, recauda 200 y pierde 100 neto; una remesa de 300 dólares a 17.386 pesos por dólar son 5,215.8 pesos. Adaptada de la pieza en inglés International Trade & Finance.
    
      🌐 IE Business School: Globalización, Crecimiento Económico y Estabilidad (bajo costo, en español)
      🌐 CORE: La economía 2.0 (gratis)
      🌐 MIT OCW 14.581 International Economics I (en inglés)
      🌐 Datos del índice Big Mac de The Economist
      📘 Krugman, Obstfeld y Melitz, Economía internacional
      📘 Rodrik, La paradoja de la globalización
    
  

  
    Para tu español
    
      ventaja comparativa (comparative advantage) · arancel (tariff) · tipo de cambio (exchange rate) · balanza de pagos (balance of payments) · remesa (remittance) · reservas (reserves) · devaluación (devaluation) · paridad (peg, parity) · dolarización (dollarization) · déficit de cuenta corriente (current account deficit)


Step 12. Estrategia y competencia: por qué algunas empresas conservan sus ganancias
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Why: Cómo compiten las empresas, cuándo crecen demasiado y qué hace la política de competencia.
La mayoría de las buenas ideas se copian hasta que la ganancia desaparece. La estrategia estudia qué lo impide, y el derecho de la competencia estudia cuándo lo ha impedido demasiado bien.

En el conjunto de datos de Damodaran de enero de 2026 para empresas cotizadas de Estados Unidos, el mercado entero se quedaba con cerca de 9.7 centavos de ganancia neta por cada dólar de ventas. Las empresas de software se quedaban con unos 25 centavos. Las de tabaco, con unos 27. Las aerolíneas, con unos 2.5, y el comercio de alimentos, con unos 1.3. Las aerolíneas cruzan océanos y vuelan con seguridad; los supermercados alimentan ciudades enteras. No son menos útiles que el software. Solo están en un juego en el que la ganancia se la lleva la competencia.
  ¿Por qué? Una empresa hace refrescos y otra acero, y las dos trabajan duro. La estrategia pregunta qué permite a una empresa ganar por encima del promedio, y la política de competencia pregunta qué debe hacer la sociedad cuando una empresa se queda con demasiado.
  Si quieres verlo desde esta región, piensa en una panadería de barrio frente a una gran marca nacional, en la plataforma en la que compras en línea, o en la farmacia de la esquina frente a tres cadenas. En cada una está la misma pregunta. Más abajo hay casos latinoamericanos y españoles con fecha y fuente. Esta pieza es descriptiva: no es asesoría legal, financiera ni de inversión.

  
    La materia en una caja
    
      Quién la cursaEstudiantes de Administración (una materia central de año 3 en licenciaturas y MBA, normalmente después de haber visto finanzas y marketing); estudiantes de Economía, como organización industrial; y estudiantes de Marketing, que la encuentran como estrategia de marketing. Las escuelas de negocios la enseñan con casos y marcos; los departamentos de economía, con teoría de juegos y modelos. Es la misma materia vista desde dos lados.
      Para qué sirvePara ver por qué algunas industrias y algunas empresas ganan bien durante décadas, y cuándo esa ganancia viene de un mejor producto y cuándo de cerrar el paso a los rivales.
      Viene después de:Microeconomía (34/14) y Teoría de juegos (34/15).
      Lleva a:Es la materia de cierre de Administración de Empresas y una materia tardía en Economía y en Marketing. Alimenta Precios (34/48) y Emprendimiento (34/44).
      Qué te da esta piezaNo podrás escribir la estrategia de una empresa. Tendrás una lista de preguntas que hacen los estrategas con experiencia, una idea de por qué la escala y las redes crean ganadores, y la visión del economista sobre cuándo un mercado tiene muy pocos competidores. Lecturas más fáciles: De dónde sale el dinero de verdad y Emprender en América Latina vs. en EE. UU. (en Empezar un Negocio, 04/03 y 04/10), y Capitalismo (en inglés, 31/01). La mayoría de las empresas de la región son micro y pequeñas: los marcos de abajo valen igual para una tienda que para una multinacional, pero con otra escala. Los números de los deslizadores son ilustrativos.
    
  

  Por qué unas industrias son más rentables: las cinco fuerzas de Porter
  En un artículo de 1979 en la Harvard Business Review, "How Competitive Forces Shape Strategy", Michael Porter hizo una afirmación sencilla: la ganancia depende menos de qué tan lista sea una empresa que de la estructura de la industria en la que está. Nombró cinco fuerzas que aprietan o protegen la ganancia:
  
    Amenaza de nuevos entrantes. Si cualquiera puede empezar, las ganancias se copian hasta desaparecer.
    Amenaza de sustitutos. Algo distinto que cumple el mismo trabajo pone tope a tu precio.
    Poder de los compradores. Compradores grandes e informados que pueden cambiar de proveedor te bajan el precio.
    Poder de los proveedores. Si tus insumos vienen de una sola fuente, te quitan el margen.
    Rivalidad. Muchos rivales parejos con costos fijos altos pelean por precio.
  
  Una fuerza débil es buena para la empresa y una fuerte es mala. Un graduado mira una industria y califica las cinco antes de decir nada sobre los directivos.
  
    Interactivo · Califica una industria
    Califica cada fuerza de 1 (débil, buena para la ganancia) a 5 (fuerte, mala). Los ejemplos usan valoraciones ilustrativas de esta pieza para cinco industrias; discútelas. El margen mostrado es el margen neto de Damodaran para la industria equivalente de empresas de EE. UU., enero de 2026.
    
    Nuevos entrantes
    Sustitutos
    Poder de los compradores
    Poder de los proveedores
    Rivalidad
    
    
  
  El modelo tiene críticos, y vale la pena conocerlos. Kevin Coyne y Somu Subramaniam sostienen que supone que compradores, proveedores y rivales nunca se alían ni interactúan, que el valor viene solo de la estructura y que la incertidumbre es baja. Adam Brandenburger y Barry Nalebuff añadieron a los complementadores (quienes hacen las cosas que vuelven más valioso tu producto) como una sexta fuerza. Otros sostienen que el modelo ignora lo que cada empresa sabe hacer, que la visión basada en recursos pone primero. El propio Porter actualizó el marco en un artículo de 2008. Todos coinciden en que importan tanto la industria como la empresa.

  Ventaja competitiva: costo, diferenciación y cadena de valor
  Dentro de una industria, la empresa que gana más que sus rivales tiene una ventaja competitiva. La Estrategia competitiva de Porter (1980) dijo que hay dos tipos básicos. Ventaja en costo: haces lo mismo por menos, y puedes vender más barato que los rivales o quedarte con la diferencia. Diferenciación: haces algo por lo que los compradores pagan más. También advirtió contra quedar "atrapado en el medio", sin ninguna de las dos; economistas y gerentes aún discuten qué tan seguido es cierto.
  Una forma ordenada de ver las dos juntas es preguntar qué te deja cobrar el costo del rival. Si tu producto es tan bueno como el del rival, una guerra de precios baja el precio hasta el costo del rival, y tu margen es tu brecha de costo. Si los compradores valoran más el tuyo, puedes cobrar esa prima además.
  tu margen = (costo del rival + tu prima de calidad) − tu costobrecha de costo más prima; un número negativo significa que el rival gana la venta
  
    Interactivo · Costo, prima o ambos
    Dos empresas venden a los mismos compradores. Una guerra de precios lleva el precio de la perdedora a su propio costo. Los compradores valoran tu producto $prima más que el del rival. Todas las cifras son inventadas.
    Tu costo por unidad
    Costo por unidad del rival
    Prima que pagan los compradores por la tuya
    
    
  
  La cadena de valor de Porter (Ventaja competitiva, 1985) te dice dónde mirar: logística de entrada, operaciones, logística de salida, marketing y ventas, servicio, apoyadas por tecnología, compras, personas e infraestructura. Una ventaja se esconde en un eslabón o en cómo encajan los eslabones. La de Ikea vive en el diseño y en la logística del empaque plano, no en la madera barata. La de una marca de lujo vive en el marketing y el servicio. La pregunta siempre es: ¿qué actividad hacemos mejor, y pueden copiarla? Una ventaja copiable dura lo que tarde la copia.
  Dos ejemplos de la región, como lecturas y no como cifras certeras. Zara (Inditex, con sede en Arteixo, Galicia; la primera tienda abrió en 1975) es el caso que se cita para una ventaja en la cadena de valor: Inditex se creó en 1985 como holding de Zara y sus plantas, y se reporta que el proceso de diseño a estante ha llegado a tardar tan solo 15 días en algunos casos, frente a los ciclos más largos de muchas empresas de moda. La ventaja no está en una prenda, sino en la velocidad de todo el sistema. Grupo Bimbo (las operaciones empezaron en la Ciudad de México el 2 de diciembre de 1945) se considera una de las panificadoras más grandes del mundo, aunque la afirmación se discute; la empresa reporta unas 57,000 rutas de distribución y unos 3 millones de puntos de venta. Una lectura posible: en un producto perecedero, repartirlo a tiempo a millones de tiendas pequeñas es una actividad difícil de copiar. Son cifras reportadas por la empresa y recogidas en fuentes públicas; compáralas con sus informes anuales antes de citarlas.

  Economías de escala y la curva de aprendizaje
  El tamaño ayuda de dos maneras simples. Los costos fijos se reparten: una fábrica cuesta lo mismo si hace mil unidades o un millón, así que el costo medio por unidad baja con el volumen. Y la experiencia enseña: cuanto más produce una empresa, mejor lo hace. T. P. Wright notó en 1936 que el trabajo por avión bajaba un porcentaje constante cada vez que se duplicaba la producción acumulada; las consultoras llamaron luego a esto la curva de experiencia.
  costo medio = costo fijo ÷ volumen + costo unitario × (factor de aprendizaje)factor de aprendizaje = r^d, donde r es el costo que se conserva tras cada duplicación de la producción acumulada y d el número de duplicaciones
  
    Interactivo · Escala y aprendizaje
    Una empresa con $F millones de costo fijo produce Q millones de unidades. Su rival produce la mitad y tiene una duplicación menos de experiencia. Números inventados; lo que importa es la forma.
    Costo fijo (millones de $)
    Volumen (millones de unidades)
    Costo que se conserva tras cada duplicación
    Duplicaciones de experiencia (tú)
    
    
  
  La trampa: la escala solo ayuda si la demanda es lo bastante grande para aprovecharla. Una planta gigante medio vacía tiene un costo medio más alto que una pequeña llena. Y una curva de aprendizaje no es automática; viene del trabajo deliberado, y los rivales también pueden aprender.

  Efectos de red y plataformas
  Algunos bienes se vuelven más valiosos cuanta más gente los usa. Un teléfono es inútil solo y valioso con millones. Los economistas llaman a esto efecto de red (una economía de escala del lado de la demanda): sube lo que los compradores están dispuestos a pagar, en vez de bajar el costo del vendedor. Los efectos directos vienen de otros usuarios de lo mismo (mensajería, una red telefónica). Los efectos indirectos o de dos lados unen a grupos distintos: más conductores mejoran una aplicación de viajes para los pasajeros, y más pasajeros la mejoran para los conductores. Una plataforma es un negocio construido para alojar un mercado así, y la economía de fijar precios a dos lados a la vez la plantearon Jean-Charles Rochet y Jean Tirole (2003).
  La ley de Metcalfe dice que el valor de una red crece con el cuadrado de sus usuarios, porque n usuarios tienen cerca de n(n−1)/2 conexiones posibles. Andrew Odlyzko, Bob Briscoe y Benjamin Tilly sostuvieron en 2006 ("Metcalfe's Law is Wrong") que los usuarios posteriores valen menos que los primeros, así que el crecimiento se parece más a n × log n. Estudios de Facebook y Tencent han ajustado n², y un estudio europeo de uso de internet encontró n² en redes pequeñas y n log n en las grandes. Los datos no lo han zanjado; la idea central sobrevive en ambos casos.
  Un caso de la región para pensar con estas ideas es Mercado Libre: fundada el 2 de agosto de 1999 en Buenos Aires por Marcos Galperin, es un mercado en línea que une compradores y vendedores, con su propio sistema de pagos (Mercado Pago) y de envíos; en 2007 fue la primera empresa tecnológica latinoamericana en cotizar en el Nasdaq, y opera en 18 países de la región. Una lectura posible, no una medición: un mercado de dos lados tiende a mejorar para unos cuando se suman los otros, y sumar pagos y logística cambia lo que cuesta cambiar de plataforma. Si eso la protege de rivales es justo lo que los reguladores y los analistas discuten caso por caso.
  
    Interactivo · Punto de quiebre
    Un modelo de juguete. Cada persona se une si su gusto por el producto, multiplicado por su valor (un valor base más la fuerza de la red por la proporción que ya lo usa), supera el precio. Las rondas se repiten. Si empiezas por debajo de la masa crítica, muere; por encima, despega.
    Fuerza de la red
    Precio (como proporción del valor máximo)
    Proporción inicial de usuarios
    
    
  
  Tres cautelas. El quiebre no es automático: requiere que los beneficios de red superen las diferencias de producto y los costos de cambiar o de usar varios servicios a la vez. Algunas redes se congestionan (más usuarios pueden empeorarla). Y las ventajas de datos suelen ser más débiles y más breves que los efectos de red clásicos. Los casos famosos, como el de VHS contra Betamax, los cuentan con detalles distintos por distintos historiadores.

  Entrada, guerras de precios y la visión del economista sobre la competencia
  Los libros de estrategia preguntan cómo ganar. La organización industrial pregunta lo contrario: ¿cuántos rivales hacen falta para que un mercado se comporte de forma competitiva? El modelo clásico es el del economista francés Antoine Cournot (1838): las empresas eligen cuánto producir, y el precio baja a medida que sube la producción total. Con una empresa tienes el precio de monopolio. Con dos, un precio menor. A medida que crece el número de empresas, el precio se desliza hacia el costo. Los precios bajan rápido al principio y luego despacio.
  
    Interactivo · ¿Cuántos rivales?
    La demanda es P = 100 − Q. Cada una de N empresas idénticas elige su producción; el costo unitario es c. El IHH es la suma de los cuadrados de las cuotas de mercado. El botón de fusión quita una empresa (dos se vuelven una).
    Número de empresas
    Costo unitario
    
      Fusionar dos empresas
    
    
    
  
  Fíjate en lo que el modelo omite y los estrategas añaden. Las empresas reales también entran y salen, y un incumbente puede amenazar con una guerra de precios para disuadir la entrada. La teoría de juegos (34/15) muestra que una amenaza de pelear solo es creíble si pelear conviene al incumbente cuando llegue el momento; si no, los entrantes descubren el farol. Las empresas evitan las guerras de precios cuando pueden: en la imagen de Cournot la ganancia cae rápido a medida que se multiplican los rivales, y por eso prefieren diferenciar productos a igualar precios.

  Poder de mercado y defensa de la competencia
  Las empresas que conservan ganancias por ser mejores hacen lo que el sistema premia. Las que las conservan cerrando el paso a los rivales hacen otra cosa. Distinguirlas es el trabajo del derecho de la competencia (se llama antitrust en Estados Unidos), y los regímenes difieren. En España y en América Latina la autoridad suele tener nombres como estos:
  
    RégimenNormas y autoridad principalesNotas
    Estados UnidosSherman Act (1890), Clayton Act (1914), Hart-Scott-Rodino (1976)La sección 2 de Sherman prohíbe la monopolización. Las fusiones las revisan el Departamento de Justicia (DOJ) y la Comisión Federal de Comercio (FTC).
    Unión EuropeaArtículos 101 (acuerdos) y 102 (abuso de posición dominante); Reglamento de concentraciones 139/2004La Ley de Mercados Digitales se aplica desde 2023 a los "guardianes de acceso" designados, con multas de hasta el 10% de la facturación mundial.
    EspañaLey 15/2007 de Defensa de la Competencia; Comisión Nacional de los Mercados y la Competencia (CNMC)La CNMC se creó por la Ley 3/2013 (de 4 de junio), empezó a funcionar el 7 de octubre de 2013 e integró a la Comisión Nacional de la Competencia y a los reguladores de energía, telecomunicaciones, sector postal y transporte. Aplica la norma española y la de la UE.
    MéxicoLey Federal de Competencia Económica; Comisión Nacional Antimonopolio (CNA)Una reforma publicada el 16 de julio de 2025 suprimió la Comisión Federal de Competencia Económica (COFECE) y creó la CNA, que asumió sus funciones el 17 de octubre de 2025. Es un órgano descentralizado adscrito a la Secretaría de Economía.
    ChileDecreto Ley 211; Fiscalía Nacional Económica (FNE) y Tribunal de Defensa de la Libre Competencia (TDLC)La FNE investiga y puede pedir sanciones; el TDLC (creado por la Ley 19.911 de 2003) resuelve.
    ColombiaSuperintendencia de Industria y Comercio (SIC)Es la autoridad que investiga y sanciona las prácticas restrictivas de la competencia.
    ChinaLey Antimonopolio, en vigor desde 2008La aplica desde 2018 la Administración Estatal de Regulación del Mercado (SAMR).
    IndiaCompetition Act, 2002La aplica la Comisión de Competencia de la India.
  
  Ejemplos recientes, cada uno con fecha. En Chile, la FNE presentó en diciembre de 2008 un requerimiento contra las tres principales cadenas de farmacias por concertar los precios de medicamentos. El TDLC dictó sentencia el 31 de enero de 2012 y sancionó a Cruz Verde y Salcobrand con multas de unos 19 millones de dólares cada una; Farmacias Ahumada no fue condenada porque había llegado a un acuerdo. El 7 de septiembre de 2012 la Corte Suprema rechazó los recursos de las condenadas. El caso se cita como un impulso para la delación compensada (el beneficio a quien delata el cártel). En Colombia, la SIC formuló cargos en 2014 contra cinco empresas por acordar precios de pañales desechables y, el 28 de junio de 2016, sancionó a tres empresas y a 16 directivos con multas por unos 208,900 millones de pesos; la investigación contra una empresa se archivó por colaborar. En México, la reforma de 2025 que creó la CNA se justificó, según se reportó, por concentrar las funciones de competencia en una sola autoridad y aplicar mayores sanciones, mientras sus críticos sostienen que un órgano subordinado al Ejecutivo reduce la independencia y la capacidad técnica; ambas posturas son parte del debate público y no hay una conclusión zanjada.
  Y los casos de las grandes tecnológicas. El 5 de agosto de 2024 un juez federal de EE. UU., Amit Mehta, determinó que Google había mantenido ilegalmente un monopolio en la búsqueda general; en una decisión sobre las medidas, del 2 de septiembre de 2025, rechazó partir la empresa, prohibió los contratos de exclusividad para la búsqueda y ordenó compartir algunos datos, y ambas partes apelaron. En abril de 2025 la Comisión Europea impuso las primeras multas bajo la Ley de Mercados Digitales: 500 millones de euros a Apple y 200 millones a Meta. En abril de 2021 el regulador chino multó a Alibaba con unos 2,800 millones de dólares, cerca del 12% de su beneficio neto de 2020, por prácticas anticompetitivas.
  Las herramientas difieren en qué miden. Un primer filtro común es el IHH (Índice Herfindahl-Hirschman, el widget de arriba). Las guías de EE. UU. de 2010 trataban un mercado con más de 2,500 como muy concentrado; la revisión de 2023 endureció el umbral, así que revisa el texto vigente. La discusión más profunda es sobre el objetivo. El estándar de bienestar del consumidor, asociado con Robert Bork, pregunta si suben los precios o baja la producción para los compradores. Los críticos (a veces llamados "neobrandeisianos") dicen que es demasiado estrecho y no ve el poder sobre los trabajadores, los proveedores y la política. Los defensores dicen que es el único estándar que se puede medir y poner a prueba. La mayoría de las jurisdicciones tratan hoy el bienestar del consumidor como un factor entre varios.

  Lo que un graduado ve sin pensarlo
  
    La estructura de la industria explica mucha de la ganancia antes de mirar a los directivos: califica las cinco fuerzas.
    Una ventaja vale tanto como lo difícil que sea copiarla.
    Tu margen = costo del rival + tu prima − tu costo: una ventaja es una brecha.
    El costo medio baja con el volumen, pero solo si la demanda llena la fábrica.
    Los efectos de red crean ganadores al desbordar un punto de quiebre; la masa crítica es todo el juego, y las expectativas lo deciden.
    En un mercado con pocos rivales los precios tienden a subir; cada rival adicional ayuda, con fuerza decreciente.
    Una fusión cambia el número de concentración, y los reguladores miran tanto el nivel como el cambio.
    "Dominante por ser mejor" y "dominante por haber bloqueado a todos los demás" pueden verse igual desde afuera, y la ley intenta distinguirlos.
    La autoridad de competencia cambia de nombre y de diseño de un país a otro (CNMC, CNA, FNE, SIC); la pregunta de fondo es la misma.
  

  Dónde aparece después
  
    Precios (34/48): una vez que conoces tu costo y el costo de tu rival, fijar el precio es elegir dónde sentarte dentro de esa brecha.
    Dirección de marketing (34/45): el posicionamiento es la diferenciación vista desde el cliente.
    Emprendimiento (34/44): la primera pregunta de una empresa nueva es qué fuerza puede vencer y por cuánto tiempo.
    Derecho mercantil y ética empresarial (34/13): los deberes de quienes dirigen y los límites legales de la competencia.
    En el mundo: por qué las aerolíneas y los supermercados ganan márgenes delgados, por qué se forma un mercado de aplicaciones donde "el ganador se lleva casi todo", qué pregunta una revisión de fusiones, y cada noticia sobre una empresa demandada por un regulador.
  

  Si quieres profundizar
  
    📘 Libro de texto (en inglés). Robert Grant, Contemporary Strategy Analysis (Wiley). El texto estándar de estrategia para estudiantes de negocios, con análisis de industria, recursos y casos.
    📘 Libro de texto (en inglés). David Besanko, David Dranove, Mark Shanley y Scott Schaefer, Economics of Strategy (Wiley). La versión del economista, con teoría de juegos a lo largo. Para la teoría pura, Jean Tirole, The Theory of Industrial Organization (MIT Press, 1988).
    📘 Más amable. Michael Porter, Estrategia competitiva (hay edición en español, Compañía Editorial Continental), para los originales; Carl Shapiro y Hal Varian, Information Rules (1999, en inglés), para redes y estándares; Tim Wu, The Curse of Bigness (2018, en inglés), para la historia del antimonopolio y el argumento contra el bienestar del consumidor.
    🌐 Curso de bajo costo, en español. Estrategia de marketing, de IE Business School, en Coursera: cinco cursos en español, entre ellos el de posicionamiento (la diferenciación vista desde el cliente) y el plan de marketing. Cubre el lado del cliente más que la teoría de la competencia. (Coursera: inscribirse es gratis; el acceso completo a materiales y tareas es de pago, con prueba gratuita).
    🌐 Gratis, en inglés. MIT OpenCourseWare 15.902 Strategic Management I (otoño de 2006, Hax y Sahani), un curso de posgrado de la escuela Sloan sobre métodos analíticos y práctica estratégica. Y los márgenes por industria de Damodaran, gratis, para comparar tu intuición con datos.
  

  
    Para llevar
    La ganancia dura donde algo detiene a los rivales: barreras de entrada altas, una escala que un rival no puede igualar, una red que se desborda o un producto que los compradores no cambiarán. Donde nada los detiene, la ganancia se compite hasta el costo. El economista agrega una segunda pregunta: cuando la ganancia de una empresa viene de bloquear a los rivales y no de servir a los compradores, ¿interviene la sociedad, y con qué criterio?
    Prueba esto: elige un negocio que uses (un banco, un servicio de streaming, una tienda). Califica sus cinco fuerzas de 1 a 5 y nombra lo único que impide que un rival lo copie. Si no puedes nombrar nada, espera márgenes delgados.
  

  
    Fuentes y para profundizar
    Fuentes. Márgenes: Aswath Damodaran, conjunto de datos de márgenes por industria, base de EE. UU., enero de 2026 (márgenes netos: todas las empresas 9.74%, software 25.49%, tabaco 26.65%, refrescos 13.40%, transporte aéreo 2.51%, acero 1.93%, comercio de alimentos 1.32%, automóviles y camiones 1.29%; página cargada y leída); las valoraciones de las cinco fuerzas en el widget son de esta pieza. Cinco fuerzas: Porter, "How Competitive Forces Shape Strategy", Harvard Business Review (1979) y "The Five Competitive Forces That Shape Strategy" (2008); las críticas (Coyne y Subramaniam; los complementadores de Brandenburger y Nalebuff; la visión basada en recursos) según Wikipedia. Las estrategias genéricas (1980) y la cadena de valor (1985) son atribuciones estándar a Porter. Wright (1936) es el origen estándar de la curva de aprendizaje. Efectos de red: definiciones y cautelas sobre el quiebre según Wikipedia; la ley de Metcalfe y sus críticos (Briscoe, Odlyzko y Tilly, IEEE Spectrum, 2006; Madureira y otros, 2013; Zhang, Liu y Xu, 2015) igualmente; Rochet y Tirole (2003) sobre mercados de dos lados. Zara/Inditex: Wikipedia, "Inditex" (primera tienda en 1975; Inditex creada en 1985 como holding; el proceso de diseño a estante "reportedly as little as 15 days in some cases"). Grupo Bimbo: Wikipedia, "Grupo Bimbo" (operaciones desde el 2 de diciembre de 1945; 57,000 rutas y cerca de 3 millones de puntos de venta, cifras de la empresa; la afirmación de "mayor panificadora" se discute frente a Yamazaki). Mercado Libre: Wikipedia, "Mercado Libre" (2 de agosto de 1999; Nasdaq en agosto de 2007; 18 países). Defensa de la competencia: normas de EE. UU. y UE según el artículo de Wikipedia sobre derecho de la competencia; CNMC según la ficha en español de Wikipedia (Ley 3/2013, de 4 de junio; inicio el 7 de octubre de 2013); Ley 15/2007 (3 de julio de 2007) según la ficha de Wikipedia sobre el órgano predecesor; México: reforma a la Ley Federal de Competencia Económica aprobada por el Senado el 28 de junio de 2025 y por Diputados el 1 de julio de 2025, publicada el 16 de julio de 2025; la CNA asumió funciones el 17 de octubre de 2025 (Expansión, El Financiero, Cuatrecasas, Galicia Abogados); Chile: Wikipedia, "Fiscalía Nacional Económica" (DL 211; TDLC por la Ley 19.911 de 2003) y el caso de farmacias (The Clinic, 7 de septiembre de 2012; Salud y Fármacos, 2012; Centro Competencia; La Tercera); Colombia: comunicado de la SIC del 28 de junio de 2016 publicado por Ámbito Jurídico (208,907,622,820 pesos, tres empresas y 16 directivos) y reportes de Blu Radio y La FM. United States v. Google (Mehta, 5 de agosto de 2024, fallo sobre responsabilidad; 2 de septiembre de 2025, medidas); Ley de Mercados Digitales (en vigor desde el 1 de noviembre de 2022, guardianes designados en septiembre de 2023, primeras multas en abril de 2025: Apple 500 millones de euros, Meta 200 millones); multa a Alibaba, SAMR, 9 de abril de 2021 (según se reportó, 2,800 millones de dólares, cerca del 12% del beneficio neto de 2020); bandas del IHH de EE. UU. de las Guías de Fusiones Horizontales de 2010 (1,500 y 2,500). Todos los números de los interactivos se calcularon en node: por ejemplo, con tres empresas y costo unitario 20 el precio de Cournot es 40, cada una produce 20 y gana 400, IHH 3,333; fusionar dos sube el precio a 46.7; el modelo de quiebre con fuerza 1.5 y precio 0.3 tiene una masa crítica de 4.2% y una proporción estable de 79.1%. Adaptada de la pieza en inglés Strategy & Competition.
    
      🌐 IE Business School: Estrategia de marketing (bajo costo, en español)
      🌐 MIT OCW 15.902 Strategic Management I (en inglés)
      🌐 Damodaran: márgenes por industria (en inglés)
      📘 Porter, Estrategia competitiva
      📘 Besanko y otros, Economics of Strategy (en inglés)
    
  

  
    Para tu español
    
      ventaja competitiva (competitive advantage) · cadena de valor (value chain) · economía de escala (economy of scale) · efecto de red (network effect) · barrera de entrada (entry barrier) · defensa de la competencia (competition law, antitrust) · cártel (cartel) · delación compensada (leniency programme) · fusión (merger) · margen (margin)


Step 13. Finanzas corporativas: el precio del tiempo y del riesgo
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Why: Cómo ponen precio los mercados al tiempo y al riesgo.
Un dólar hoy vale más que un dólar dentro de un año, y un dólar arriesgado vale menos que uno seguro. Las finanzas corporativas son el oficio de ponerle número a las dos cosas, para que una empresa decida qué proyectos valen su dinero.

Alguien te ofrece $1,000 hoy o $1,100 dentro de un año. Casi nadie necesita un curso para responder "depende": de si confías en esa persona, de qué otra cosa podrías hacer con el dinero, de si lo necesitas ya. Esas tres palabras, confianza, alternativas y necesidad, son toda la materia. Las finanzas corporativas son lo que pasa cuando haces la misma pregunta sobre una fábrica en lugar de un préstamo, con cien millones en juego y un consejo de administración esperando la respuesta.
  Toda empresa enfrenta las mismas tres decisiones. ¿En qué proyectos gastamos? ¿De dónde sale el dinero, prestado o de los dueños? ¿Y cuánto vale el negocio entero? Un graduado tiene una sola herramienta para las tres: una manera de convertir efectivo que llega en fechas distintas, con riesgos distintos, en un único número de hoy.
  En el mundo hispanohablante esa herramienta trabaja con un ingrediente extra: la inflación y la moneda. Quien descuenta flujos en pesos argentinos y quien los descuenta en dólares o en euros no usan la misma tasa, y confundirlas es uno de los errores más caros que existen. Lo verás más abajo.

  
    La materia en una caja
    
      Quién la cursaEstudiantes de Administración, Economía e Ingeniería, normalmente en el segundo o tercer año; todo MBA la lleva en el primer año, y en las escuelas de negocios de Estados Unidos forma parte del núcleo obligatorio. Los que se especializan en finanzas la dividen después en inversiones, derivados y banca. En España y en varios países se llama también dirección financiera o finanzas de empresa.
      Para qué sirvePara decidir si un proyecto, una empresa o un plan de financiamiento vale más de lo que cuesta, una vez puestos precio al tiempo y al riesgo.
      Viene después de:Contabilidad (34/40) para los flujos de efectivo, y Probabilidad y estadística (34/19) para el riesgo.
      Lleva a:Emprendimiento (34/44). Los ingenieros civiles y de otras ramas la conocen como "ingeniería económica" cuando se preguntan si vale la pena construir un puente.
      Qué te da esta piezaNo sabrás valorar una empresa real. Sí sabrás calcular un valor presente neto, ver por qué un rendimiento llamativo puede engañar y saber de qué está hecha una tasa de descuento. Lecturas más fáciles en la biblioteca: El poder del interés compuesto y Deudas: buenas, malas y estrategias reales para salir de ellas (en Finanzas Personales y Crédito). Esta pieza va más lejos. Describe cómo funcionan las finanzas y de qué discuten los economistas; no es asesoría de inversión.
    
  

  El dinero tiene fecha: interés compuesto y valor presente
  Si un banco paga 6% al año, $1,000 hoy se vuelven $1,060 el año próximo y $1,123.60 el siguiente, porque el interés gana interés. Eso es el interés compuesto. Si lo corres hacia atrás obtienes a su gemelo, el valor presente: lo que vale hoy una suma futura. Con 6%, una promesa de $1,000 dentro de 20 años vale hoy apenas unos $312, porque $312 invertidos al 6% crecerían hasta $1,000 en ese tiempo.
  VF = VP × (1 + r)n   ·   VP = VF ÷ (1 + r)nVF = valor futuro, VP = valor presente, r = tasa de interés por periodo, n = número de periodos. La tasa que convierte dinero futuro en dinero de hoy se llama tasa de descuento.
  
    Interactivo · Hazlo crecer, luego descuéntalo
    Monto
      
    Tasa de interés o de descuento
      
    Años
      
    
  
  Con los valores iniciales, $1,000 crecen hasta $3,207 en 20 años, y $1,000 que se deben dentro de 20 años valen $312 hoy. La regla del 72 da un atajo: el dinero se duplica en más o menos 72 dividido entre la tasa en porcentaje, o sea unos 12 años al 6% (la respuesta exacta es 11.9). La misma aritmética explica por qué esperar cuesta: una tasa es el precio del tiempo.

  Tasa nominal, tasa real e inflación
  Hay una trampa que en economías con inflación alta se aprende pronto. La tasa que anuncia el banco es la nominal; lo que de verdad ganas en poder de compra es la tasa real, que descuenta la inflación. La relación exacta es multiplicativa: (1 + nominal) = (1 + real) × (1 + inflación). Con 12% nominal y 10% de inflación, la tasa real no es 2% sino 1.82%. Mueve los deslizadores: $1,000 invertidos diez años.
  
    Interactivo · Lo que gana tu dinero de verdad
    Tasa nominal anual
      
    Inflación anual
      
    
    Ilustrativo: $1,000 durante diez años, con la misma tasa y la misma inflación cada año. Una tasa real negativa significa que el dinero compra menos al final.
  
  La regla práctica que de ahí se desprende: los flujos y la tasa de descuento deben estar en la misma moneda y con el mismo tratamiento de la inflación. Flujos en pesos con inflación, descontados con una tasa en pesos; flujos en dólares, con una tasa en dólares. Mezclarlos produce valores absurdos. Por eso, quien valora un proyecto en un país de inflación alta elige entre trabajar todo en moneda local, con una tasa local, o todo en dólares, con una tasa en dólares. También por eso las normas contables de algunos países exigen ajustar los estados por inflación: la versión venezolana de las NIIF, según la ficha de la Fundación IFRS, lo pide desde 10% de inflación (ver Contabilidad, 34/40).

  Valor presente neto: la regla para decir que sí
  Un proyecto es una corriente de efectivo: un desembolso ahora y cobros después. Para juzgarlo, descuentas cada cobro hasta hoy y los sumas. Esa suma, menos el desembolso, es el valor presente neto (VPN; en España, valor actual neto, VAN). Si el VPN es positivo, el proyecto gana más de lo que exige la tasa de descuento, y hacerlo enriquece a los dueños exactamente en esa cantidad. Si es negativo, les iría mejor prestando el dinero a la tasa de descuento.
  VPN = −Desembolso + FC1/(1+r) + FC2/(1+r)2 + … + FCn/(1+r)nacepta cuando VPN > 0. La tasa de descuento es tu costo de oportunidad para proyectos de este riesgo.
  Un ejemplo: gastas $1,000 ahora para recibir $300 al año durante cinco años. Con una tasa de descuento de 8%, los cinco cobros valen hoy $1,198, así que el VPN es +$198. Con 15%, los cobros valen $1,006 y el VPN casi es cero. La tasa a la que el VPN llega a cero es la tasa interna de retorno (TIR) del proyecto, aquí 15.2%. Mueve la tasa y mira cómo la línea cruza el cero.
  
    Interactivo · VPN contra la tasa de descuento
    Desembolso hoy
      
    Efectivo por año
      
    Años
      
    Tasa de descuento
      
    
    
  

  Cuando la TIR engaña
  La TIR es popular porque es un solo porcentaje, fácil de comparar con una tasa mínima exigida. Es también la parte de las finanzas en que los libros de texto más advierten. Dos fallas clásicas.
  Varias TIR. Si el flujo de efectivo cambia de signo más de una vez, por ejemplo una mina que al final necesita pagar una gran limpieza, la curva del VPN puede cruzar el cero dos veces. Un proyecto con flujos de −100, +230 y −132 (en millones) tiene TIR de 10% y de 20% a la vez, y conviene hacerlo solo cuando la tasa de descuento queda entre las dos. Un único número de TIR oculta eso.
  Escala. El proyecto A convierte 100 en 150 (TIR 50%). El proyecto B convierte 1,000 en 1,300 (TIR 30%). Si solo puedes hacer uno y el costo del capital es 10%, A suma 36 y B suma 182. Mayor TIR, mucho menos valor. Las dos curvas de VPN se cruzan en cerca de 27.8%, y por debajo de esa tasa gana B. La regla que conservan los graduados: cuando TIR y VPN discrepan, confía en el VPN, porque mide dinero, no porcentaje.
  
    Interactivo · Dos trampas
    
      Factura de limpieza al final
      Pequeño y rápido contra grande y lento
    
    Tasa de descuento
      
    
    
    Flujos de efectivo ilustrativos (millones), inventados para mostrar las trampas.
  

  Riesgo y rendimiento, y por qué diversificar casi sale gratis
  Hasta aquí el futuro era seguro. No lo es. Una acción puede caer 40% en un año, y los inversionistas quieren que les paguen por correr esa posibilidad. La observación central de las finanzas modernas, hecha por Harry Markowitz en 1952, es que te pagan por el riesgo que no puedes evitar, y que puedes evitar mucho sin pagar nada. Si tienes muchos activos que no se mueven al unísono, sus subidas y bajadas se cancelan en parte.
  Aquí el riesgo se mide como volatilidad: la desviación estándar de los rendimientos. Para una cartera de N activos, cada uno con volatilidad σ y una correlación promedio ρ entre pares, la volatilidad de la cartera es:
  σc = σ × √( 1/N + (1 − 1/N) × ρ )la diversificación elimina la parte 1/N; la parte ρ, el riesgo que comparten todos los activos, es lo que queda
  Toma acciones con 30% de volatilidad cada una y una correlación de 0.3. Una acción: 30%. Diez acciones: 18.2%. Cincuenta: 16.8%. El piso es 30% × √0.3 = 16.4%, sin importar cuántas tengas. Ese piso es el riesgo de mercado, que no se puede diversificar; el resto es riesgo específico, que sí.
  
    Interactivo · ¿Cuántas acciones bastan?
    Volatilidad de cada acción
      
    Correlación entre las acciones
      
    Número de acciones que tienes
      
    
    
    Supone la misma volatilidad y la misma correlación entre todos los pares, una simplificación. Las correlaciones reales varían y suben en las crisis.
  

  CAPM: la idea y sus críticos
  Si los inversionistas diversifican, el único riesgo que merece premio es el de mercado que queda. El modelo de valoración de activos financieros (CAPM, por Capital Asset Pricing Model), desarrollado a comienzos de los años sesenta por Jack Treynor, William Sharpe, John Lintner y Jan Mossin (la versión de Sharpe es de 1964), lo convierte en un precio. La beta de una acción mide cuánto se mueve con el mercado: beta 1 se mueve igual, 0.5 la mitad, 1.5 una vez y media. El modelo dice que el rendimiento exigido es la tasa segura más la beta por el premio extra del mercado:
  Rendimiento exigido = rf + β × (rendimiento del mercado − rf)el rendimiento del mercado menos rf se llama prima de riesgo del mercado (en inglés, equity risk premium)
  
    Interactivo · La línea del mercado de valores
    Tasa libre de riesgo
      
    Prima de riesgo del mercado
      
    Beta
      
    
    Los valores son ilustrativos, no pronósticos. Las estimaciones de la prima varían mucho.
  
  Con una tasa segura de 3%, una prima de 5% y una beta de 1.2, el rendimiento exigido es 9%. Ese número es la tasa de descuento que usas en el VPN. El modelo es elegante, por eso se enseña en todas partes, y por eso se discute. Críticos: Fama y French (1992) encontraron que la beta sola explicaba mal los rendimientos promedio de las acciones de EE. UU., mientras que el tamaño de la empresa y la razón entre valor en libros y precio explicaban mejor, y más tarde agregaron esos dos como factores. Richard Roll (1977) sostuvo que el modelo no se puede someter a prueba de verdad, porque el "mercado" debería incluir todos los activos, también inmuebles y capacidades humanas. Muchos profesionales usan el CAPM de todos modos como punto de partida rápido y transparente. Trata el número como una estimación con un margen de error amplio.

  Una prima por país
  Cuando la empresa opera en un país más riesgoso, el CAPM de manual se queda corto, y por eso los valoradores suman una prima de riesgo país. Una fuente muy usada es la tabla que actualiza cada año Aswath Damodaran, de la Universidad de Nueva York, a partir de las calificaciones soberanas de Moody's. En su actualización del 5 de enero de 2026, la prima de riesgo del mercado accionario es de 4.23% para un país de calificación máxima como Alemania, 5.33% para Chile, 6.69% para México, 7.47% para Brasil, 13.94% para Argentina y 30.89% para Venezuela. Es una metodología de una persona, no un hecho: otras instituciones calculan otras primas, y el propio autor advierte que su tabla es una estimación aproximada.
  
    Interactivo · El mismo proyecto en distintos países
    País donde se hace el proyecto
      
    Tasa libre de riesgo en dólares
      
    Beta del proyecto
      
    
    Primas de Damodaran, actualización del 5 de enero de 2026, en dólares. Proyecto de la sección sobre VPN: $1,000 hoy y $300 al año durante cinco años. Ilustrativo: no es una recomendación de invertir en ningún país.
  
  Con una tasa libre de riesgo de 3% y una beta de 1.2, el rendimiento exigido va de 8.1% con la prima alemana a 11.0% con la mexicana y 19.7% con la argentina. El proyecto de $300 al año tiene una TIR de 15.2%: con la tasa mexicana su VPN es de unos +$108, con la argentina pasa a −$97. El mismo proyecto, los mismos flujos, y una decisión distinta según el riesgo que se le asigne al lugar.

  Costo de capital y valoración: flujo de caja descontado
  El costo de capital de una empresa es el rendimiento que exigen quienes la financian: los prestamistas quieren intereses, los dueños quieren un rendimiento al estilo CAPM. Mezcla los dos, ponderados por cuánto aporta cada uno, y ajusta la deuda por impuestos, y tienes el costo promedio ponderado de capital (CPPC, o WACC en inglés; en España se dice coste medio ponderado, CMPC). Es la tasa de descuento de los flujos de la empresa.
  Una valoración por flujo de caja descontado (FCD, o DCF en inglés) hace con la empresa entera lo que el VPN hacía con los proyectos. Proyectas el flujo de caja libre por algunos años, sumas un valor terminal por todo lo que viene después y lo descuentas todo. Con el flujo de caja de $100 millones de esta empresa, crecimiento de 8% durante cinco años, 2% después y un CPPC de 9%, el negocio vale unos $1,880 millones, y 74% de eso viene del valor terminal. Esa es la primera lección del FCD: casi toda la respuesta está en el futuro lejano, así que la respuesta vale lo que valgan los supuestos de crecimiento y de tasa de descuento. Sube el crecimiento terminal a 4% y el valor salta casi un tercio.
  
    Interactivo · Valora una empresa
    Crecimiento en los próximos 5 años
      
    Crecimiento para siempre después
      
    Tasa de descuento (CPPC)
      
    
    Una empresa con $100 millones de flujo de caja libre hoy. Si el crecimiento para siempre llegara a la tasa de descuento, la herramienta lo limita un punto por debajo.
  
  El otro método habitual usa múltiplos: miras por cuánto se venden empresas parecidas en relación con una medida como las utilidades o el flujo de caja, y aplicas la misma razón. La herramienta de arriba diría que esta empresa vale "18.8 veces su flujo de caja". Los múltiplos son rápidos y se basan en el mercado, pero solo se mueven con el mercado: si todo el sector está sobrevalorado, también la tuya. Los analistas cuidadosos usan ambos métodos y preguntan por qué discrepan.

  Estructura de capital: Modigliani y Miller en palabras
  ¿Debe una empresa financiarse con deuda o con capital propio? En 1958, Franco Modigliani y Merton Miller demostraron algo asombroso: en un mundo sin impuestos, sin costos de quiebra y sin brechas de información, no importa. El valor de la empresa viene de lo que ganan sus activos, no de cómo se reparten los derechos sobre ellos. Un inversionista podría endeudarse por su cuenta para copiar a una empresa apalancada, así que el mercado no pagará extra porque la empresa lo haga. Más deuda vuelve más riesgoso al capital propio, y los accionistas exigen un rendimiento mayor que cancela exactamente lo barato de la deuda. Recibieron premios Nobel por esto (Modigliani en 1985, Miller en 1990).
  El teorema es un punto de referencia: dice dónde buscar los efectos reales. El primero son los impuestos. En la mayoría de los países el interés es deducible y los dividendos no, así que la deuda trae un escudo fiscal y el CPPC de una empresa apalancada baja. El segundo es la insolvencia: más deuda aumenta la probabilidad de quiebra, que es costosa. La "teoría del equilibrio" de los libros de texto balancea las dos; los teóricos del orden jerárquico (pecking order) sostienen que los gerentes prefieren primero el efectivo interno, luego la deuda y al final acciones nuevas, por las brechas de información. Las dos siguen vivas en la literatura.
  
    Interactivo · Deuda, impuestos y costo de capital
    Deuda como parte del valor de la empresa
      
    Tasa de impuesto a las empresas
      
    
    Supone un rendimiento de 10% con todo capital propio y deuda a 5%. No se modelan los costos de insolvencia, por eso el beneficio fiscal parece interminable aquí. Las empresas reales topan con un límite.
  
  Sin impuestos, el CPPC se queda en 10% con cualquier nivel de deuda mientras el costo del capital propio sube (13.3% con 40% de deuda). Con 25% de impuestos, 40% de deuda baja el CPPC a 9%. Empujado hasta 90%, la herramienta dice 7.75%, algo que ningún prestamista permitiría: ese es el límite que pone el costo de la insolvencia.

  Mercados eficientes: el debate que nunca terminó
  Si los precios ya reflejan lo que todos saben, nadie puede superar al mercado de manera confiable, y un cálculo de VPN solo lee el precio. La revisión de Eugene Fama de 1970 le dio estructura a esta hipótesis del mercado eficiente: débil (los precios pasados no traen noticias), semifuerte (la información pública ya está en el precio) y fuerte (hasta la información privada lo está). La evidencia es mixta de una forma que mantiene en el negocio a los dos bandos.
  
    A favor: la mayoría de los fondos de gestión activa rinden menos que un índice simple en periodos largos, algo que los boletines SPIVA de S&P han reportado año tras año en muchos mercados.
    En contra: Robert Shiller mostró en 1981 que los precios de las acciones se mueven mucho más de lo que justifican los dividendos posteriores, y las burbujas y los desplomes parecen difíciles de explicar con precios racionales. Economistas conductuales, como los de Economía conductual (34/27), construyen sobre eso.
    Un punto medio: Sanford Grossman y Joseph Stiglitz argumentaron en 1980 que los mercados no pueden ser perfectamente eficientes, porque entonces nadie pagaría por reunir la información que los hace eficientes.
  
  Fama, Shiller y Lars Peter Hansen compartieron el premio Nobel de economía de 2013: un premio por la teoría de un bando, la crítica del otro y los métodos estadísticos que ambos usaron. La suerte pesa más de lo que la gente cree. Pruébalo: dale una moneda a cada uno de mil "gestores de fondos" y mira cuántos le ganan al mercado diez años seguidos solo por azar.
  
    Interactivo · ¿Habilidad o cara y cruz?
    Gestores
      
    Años seguidos
      
    Lanzar las monedas
    
    Cada gestor tiene 50% de probabilidad de superar al mercado cada año, de forma independiente de los demás. La simulación usa los números aleatorios de tu navegador.
  
  Con 1,000 gestores y diez años, el número esperado con un récord perfecto es de cerca de uno (1,000 ÷ 1,024), y hay 62% de probabilidad de que al menos uno lo logre. Ese uno parece un genio. Las rachas reales no son pura suerte, pero la aritmética explica por qué los lectores cuidadosos preguntan cuántos gestores empezaron.

  Lo que un graduado ve sin pensarlo
  
    Una suma de dinero lleva fecha. Nunca sumes flujos de años distintos sin descontarlos.
    Una tasa de descuento es un costo de oportunidad: qué más podría ganar el dinero con el mismo riesgo.
    Los flujos y la tasa deben estar en la misma moneda y con el mismo tratamiento de la inflación; la tasa nominal no es lo que ganas.
    El VPN mide el valor creado en dólares; la TIR es solo un porcentaje y puede engañar, sobre todo con escala o cambios de signo.
    Te pagan por el riesgo que no puedes diversificar, no por el que pudiste eliminar gratis.
    Una valoración trata sobre todo del futuro lejano, así que pregunta qué supuesto la sostiene.
    La deuda es más barata porque es más segura para quien presta, lo que vuelve más riesgoso al capital propio. El almuerzo gratis está en el código fiscal, no en la matemática.
    Superar al mercado es difícil; muchos ganadores aparentes son sobrevivientes con suerte.
    Detrás de cada número hay un modelo. Sabe cuál es y qué supone.
  

  Dónde aparece después
  
    Emprendimiento (34/44): capital propio, dilución y la valoración de una empresa que todavía no gana.
    Microeconomía y Macroeconomía (34/14, 34/35): la tasa de interés la fijan ahorradores, empresas y bancos centrales; toda tasa de descuento de esta pieza descansa sobre ella.
    Economía conductual (34/27) y Teoría de juegos (34/15): dónde se tensa la historia de los mercados eficientes, y cómo se comportan los mercados con jugadores estratégicos.
    Comercio y finanzas internacionales (34/38): tipos de cambio, riesgo país y por qué la moneda de los flujos importa.
    En el mundo: una hipoteca, una pensión, el anuncio de una fusión, una ronda de financiamiento de una startup, una nueva planta eléctrica, un gobierno que decide si un ferrocarril se paga solo.
  

  Si quieres profundizar
  
    📘 Libro de texto. Richard Brealey, Stewart Myers y Franklin Allen, Principios de finanzas corporativas (McGraw Hill; hay edición en español, anterior a la última edición en inglés, que suma a Alex Edmans como autor). Fuerte en intuición y casos reales.
    📘 Libro de texto (en inglés). Jonathan Berk y Peter DeMarzo, Corporate Finance (Pearson). Más sistemático, construido sobre el razonamiento de no arbitraje.
    📘 Más amable. Burton Malkiel, Un paseo aleatorio por Wall Street (Alianza Editorial), para el argumento de los mercados eficientes en lenguaje llano. Y, en inglés, Peter Bernstein, Against the Gods: The Remarkable Story of Risk (Wiley, 1996), para la historia del riesgo.
    🌐 Curso en español, gratis. Dirección Financiera, de la Universidad de Cantabria (OpenCourseWare, licencia Creative Commons BY-NC-SA; edición 2025): estructura de capital, política de dividendos, capital de trabajo, fuentes de financiamiento e insolvencia financiera.
    🌐 Curso en inglés, gratis. MIT OpenCourseWare 15.401 Finance Theory I (otoño de 2008, Andrew Lo): clases y notas sobre valor presente, riesgo, teoría de carteras y valoración.
  

  
    Para llevar
    Las finanzas corporativas convierten efectivo que llega en fechas y con riesgos distintos en un único número de hoy. Descuenta con una tasa que refleje lo que el dinero podría ganar en otra parte con el mismo riesgo, en la misma moneda que los flujos; confía en el VPN antes que en la TIR; recuerda que diversificar quita riesgo gratis y que el resto es por lo que te pagan. Toda valoración es un modelo, y su mayor insumo suele ser una conjetura sobre el futuro lejano.
    Prueba esto: toma cualquier oferta con dinero diferido, como los "meses sin intereses" de las tiendas mexicanas (en otros países se oyen fórmulas parecidas, como "cuotas sin interés"). Si una compra de 12,000 pesos se paga en 12 mensualidades de 1,000 y tú descuentas al 12% anual, esas mensualidades valen hoy unos 11,292 pesos: la "gratuidad" te ahorra cerca de 6%, siempre que el precio a plazos sea igual al de contado (la Condusef, el organismo mexicano de protección al usuario financiero, recomienda comprobarlo). Escoge una tasa que creas razonable y calcula el valor presente de los dos lados.
  

  
    Fuentes y para profundizar
    Fuentes. El valor del dinero en el tiempo, el VPN, la TIR y la fórmula de diversificación son finanzas estándar de libro de texto (Brealey et al.; Berk y DeMarzo). Markowitz, "Portfolio Selection", Journal of Finance (1952); Sharpe, "Capital Asset Prices", Journal of Finance (1964), con Treynor, Lintner y Mossin de forma independiente; Roll, "A Critique of the Asset Pricing Theory's Tests" (1977); Fama y French, "The Cross-Section of Expected Stock Returns", Journal of Finance (1992); Modigliani y Miller, "The Cost of Capital, Corporation Finance and the Theory of Investment", American Economic Review 48(3) (1958); Fama, "Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work" (1970); Shiller (1981) sobre el exceso de volatilidad; Grossman y Stiglitz (1980). Premios Nobel: Markowitz, Miller y Sharpe 1990; Modigliani 1985; Fama, Hansen y Shiller 2013. La afirmación sobre SPIVA se refiere a los boletines publicados por S&P Dow Jones Indices; el porcentaje varía por año y mercado, así que no se cita ninguno. Terminología en español: Wikipedia en español, artículos "Valor actual neto" (también valor presente neto, VAN o VPN), "Tasa interna de retorno", "Coste medio ponderado de capital" y "Modelo de valoración de activos financieros". Primas de riesgo país: Aswath Damodaran, "Country Default Spreads and Risk Premiums", actualización del 5 de enero de 2026 (pages.stern.nyu.edu/~adamodar): prima de riesgo del mercado accionario de 4.23% (Alemania), 4.46% (EE. UU.), 5.78% (España), 5.33% (Chile), 6.30% (Uruguay y Perú), 6.69% (México), 7.08% (Colombia), 7.47% (Brasil), 13.94% (Argentina), 17.18% (Ecuador) y 30.89% (Venezuela). "Meses sin intereses": descripción de prensa y de la Condusef citada en notas periodísticas (por ejemplo, IDC Online, 2018), no un texto oficial. Los números de los interactivos se calcularon en node: $1,000 al 6% por 20 años = $3,207.14, valor presente $311.80, duplicación en 11.90 años; 12% nominal con 10% de inflación = 1.82% real, y $1,000 a diez años = $3,106 nominales o $1,197 de hoy; VPN de 5 × $300 sobre $1,000 al 8% = $197.81, TIR 15.24%; los flujos −100/+230/−132 tienen TIR de exactamente 10% y 20%; A contra B al 10% = $36.36 contra $181.82, cruce en 27.8%; diversificación 30.0%, 18.2%, 16.8% y piso de 16.4%; CAPM 3% + 1.2 × 5% = 9%; con 3% y beta 1.2, rendimiento exigido de 8.08% (Alemania), 11.03% (México), 19.73% (Argentina), con VPN de +$195, +$108 y −$97; valor de empresa por FCD $1,877.9 millones con 74.1% de valor terminal, 2,472.7 con 4% de crecimiento terminal; CPPC 9.0% y costo del capital propio 12.5% con 40% de deuda y 25% de impuestos; 1,000/1,024 = 0.98 gestores, 62.4% de probabilidad de al menos uno; 12 mensualidades de 1,000 descontadas al 12% anual = 11,291.5.
    
      🌐 Universidad de Cantabria OCW: Dirección Financiera (gratis, en español)
      🌐 MIT OCW 15.401 Finance Theory I (gratis, en inglés)
      🌐 Damodaran: primas de riesgo país (en inglés)
      📘 Brealey, Myers y Allen, Principios de finanzas corporativas (McGraw Hill)
      📘 Malkiel, Un paseo aleatorio por Wall Street (Alianza Editorial)
    
  

  
    Para tu español
    
      valor presente neto (net present value; en España, valor actual neto) · tasa de descuento (discount rate) · tasa interna de retorno (internal rate of return) · apalancamiento (leverage) · diversificación (diversification) · prima de riesgo (risk premium) · flujo de caja (cash flow) · costo de capital (cost of capital) · mercado eficiente (efficient market) · meses sin intereses (interest-free installments, Mexico)


Step 14. Economía del desarrollo: por qué unos países son ricos y qué ha ayudado de verdad
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Why: Por qué unos países son ricos y otros pobres, y qué ha ayudado de verdad.
En 1960 Ghana parecía más rica que Corea del Sur. Sesenta años después, el ingreso por persona de Corea es unas diez veces el de Ghana. La materia pregunta por qué, y qué arreglos se han puesto a prueba en lugar de solo creerse.

En un mapa mundial del ingreso promedio destacan dos penínsulas. Corea del Sur y Corea del Norte comparten idioma, clima, historia hasta 1945 y casi todos sus genes. Sus ingresos de hoy son enormemente distintos. Una sola frontera trazada sobre un mismo lugar hizo eso, lo cual es difícil de explicar por el clima o por quiénes son las personas.
  O toma a Ghana y Corea del Sur. Según las estimaciones del Maddison Project (edición de 2023, en dólares internacionales de 2011), el ingreso por persona de Ghana en 1960 era de unos 2,200 dólares y el de Corea de unos 1,500. En 2022 Corea estaba en unos 41,300 y Ghana en unos 4,200. Nadie se sentó a elegir eso. La economía del desarrollo es el intento de averiguar qué lo produjo y qué pueden hacer realmente un gobierno, un organismo de ayuda o una organización caritativa al respecto.
  Para quien lee desde América Latina, la pregunta es doméstica. En 1960 Argentina, Venezuela y Uruguay estaban entre los países más ricos de la tabla de abajo; hoy la distancia con Corea o España se invirtió. Esta pieza usa la región como caso, con datos fechados, y cuando una discusión sigue abierta cuenta cada postura en sus propios términos.

  
    La materia en una caja
    
      Quién la cursaEstudiantes de Economía como materia de campo en el año 4; estudiantes de desarrollo internacional, políticas públicas y salud global; y muchos profesionales de organismos de ayuda y ministerios. Se enseña en departamentos de economía y en escuelas de políticas públicas, y es donde la economía más a menudo se encuentra con datos de campo. Algunas universidades la ofrecen en licenciatura (el 14.73 del MIT, The Challenge of World Poverty, es una); otras solo en posgrado.
      Para qué sirvePara entender por qué los ingresos difieren tanto entre países, cómo se cuenta la pobreza y qué intervenciones tienen evidencia detrás.
      Viene después de:Macroeconomía (34/35) y Econometría (34/36).
      Lleva a:Es la materia de frontera de la carrera de Economía. Se apoya en Comercio y finanzas internacionales (34/38) y Economía pública (34/37) y termina en la práctica: trabajar en un ministerio, un banco de desarrollo o un grupo de investigación.
      Qué te da esta piezaNo podrás diseñar un programa de desarrollo. Conocerás las tres grandes explicaciones de ricos contra pobres y por qué los economistas no han zanjado entre ellas; cómo se cuenta la pobreza; qué puede y qué no puede decir un ensayo aleatorizado; la discusión regional sobre sustitución de importaciones; y lo que dice de verdad la evidencia sobre ayuda, transferencias de efectivo y microfinanzas. Lecturas más fáciles: La economía mixta (en inglés, 31/05) e Instituciones: las reglas invisibles que nos moldean (en inglés, 30/05). Esta agrega los datos.
    
  

  Por qué unos países son ricos: geografía, instituciones, capital humano
  Tres familias de explicación compiten, y cada una tiene un caso serio.
  Geografía. Dónde está un país define sus costos. John Gallup, Jeffrey Sachs y Andrew Mellinger sostuvieron en 1998 que la geografía afecta el crecimiento directamente, por los costos de transporte (los países sin litoral y lejos de la costa pagan más por comerciar), por la carga de enfermedades (los trópicos cargan más) y por la productividad agrícola. Armas, gérmenes y acero (1997), de Jared Diamond, hizo una versión más amplia del argumento, sobre continentes y cultivos.
  Instituciones. Las reglas del juego importan más. Daron Acemoglu, Simon Johnson y James Robinson sostuvieron en "The Colonial Origins of Comparative Development" (2000, publicado en 2001) que donde los europeos no podían sobrevivir a las enfermedades construyeron instituciones extractivas, que duraron; donde pudieron instalarse en gran número construyeron otras que protegían la propiedad. La mortalidad de los primeros colonos, dijeron, predice las instituciones de hoy, y las instituciones predicen el ingreso. Los tres ganaron el premio Nobel de economía de 2024 por su trabajo sobre cómo las instituciones moldean la prosperidad. Corea del Sur frente a Corea del Norte es la imagen estándar.
  Capital humano. Las personas importan más. Edward Glaeser, Rafael La Porta, Florencio Lopez-de-Silanes y Andrei Shleifer (2004) sostuvieron que la educación es el motor más profundo y que las instituciones siguen al crecimiento; los países pobres, dijeron, a menudo han salido de la pobreza con políticas sensatas, a veces bajo dictaduras, y mejoraron sus instituciones políticas después.
  
    EscuelaSu caso más fuerteLa objeción habitual
    GeografíaEl acceso a la costa y la carga de enfermedades predicen el ingresoLas dos Coreas comparten geografía; los lugares cambian con la tecnología
    InstitucionesLa mortalidad de los colonos predice las instituciones, y las instituciones predicen el ingresoLos críticos cuestionan los datos de mortalidad y si funciona solo a través de las instituciones
    Capital humanoLa educación predice el crecimiento y precede al cambio institucionalLos países ricos pueden costear más educación, así que la causalidad puede ir al revés
  
  La mayoría de los economistas pesa las tres. La discusión viva es sobre cuál es la más profunda: qué causa a las otras. No se ha zanjado, y cada lado lee de otro modo la mejor evidencia del contrario.

  Milagros de crecimiento y estancamientos
  Cualquiera sea la escuela que prefieras, la aritmética es común. Un ingreso que crece g por ciento al año se duplica en unos 70 ÷ g años. A 2% un país se duplica en 35 años; a 7%, en diez. Pequeñas diferencias de crecimiento, sostenidas, producen brechas gigantes de ingreso: esa es toda la razón de que exista la materia.
  años para duplicar ≈ 70 ÷ tasa de crecimiento (%)la "regla del 70": exactamente, ln 2 ÷ ln(1 + g)
  
    Interactivo · La carrera larga
    Ingreso por persona en dólares internacionales constantes (precios de 2011). Elige un país y una ventana. Estados Unidos es la vara de medir. Fuente: Maddison Project Database 2023, publicada por Our World in Data. Las cifras de antes de 1990 para países pobres son estimaciones gruesas.
    Elige un país
    
    Desde
      
    Hasta
      
    
  
  Lee la tabla como lo hace un graduado. Corea (5.4% al año), Taiwán (5.3%), Botsuana (5.6%) y China (4.8%) se hicieron entre 18 y 29 veces más ricos de 1960 a 2022. Vietnam e India se hicieron unas seis veces más ricos. Ghana (1.1% al año) creció unas 1.9 veces; Níger se encogió un poco. Estados Unidos, con 1.9% al año, se hizo 3.2 veces más rico.
  Ahora mira América Latina con esa vara. Entre 1960 y 2022 la República Dominicana se hizo 8.5 veces más rica (3.5% al año), Brasil 4.3 veces, Costa Rica y Colombia unas 3.6, Chile y México 3.4, Perú 2.7, Uruguay 2.6, Bolivia 2.5 y Argentina 2.1 (1.2% al año). España, con 6.8 veces, muestra otra trayectoria dentro del mismo idioma. Y hay una década que se ve a simple vista en el deslizador: entre 1980 y 1990 el ingreso por persona quedó en 0.78 veces su nivel en Argentina, 0.71 en Perú, 0.85 en Bolivia, 0.81 en Venezuela y casi sin cambio en Brasil (0.95) y México (0.98), mientras Corea se multiplicaba por 2.3. Es la "década perdida" de la crisis de la deuda, de la que habla la sección sobre la discusión regional.
  Venezuela es un caso aparte. Su ingreso por persona pasó de unos 17,100 dólares en 2010 a unos 5,300 en 2022 en esta base, lo que es un colapso y no un estancamiento. Cómo se explica sigue disputado, y cada lado tiene sus razones. Quienes apoyan al gobierno de Chávez y de Maduro señalan la caída del precio del petróleo, las sanciones internacionales y la presión de la élite empresarial; el gobierno habla de una "guerra económica". La mayoría de los observadores citan además los controles de precios, las expropiaciones, la falta de inversión y mantenimiento en la industria petrolera, la corrupción y el manejo económico. En cuanto a las sanciones, Estados Unidos las extendió en 2017 y las amplió en 2019; los economistas Mark Weisbrot y Jeffrey Sachs (2019) les atribuyeron una pérdida de ingresos y muertes adicionales, y otros economistas criticaron su metodología y sus conclusiones. La evidencia sobre cuánto pesa cada factor no está zanjada; el hecho de la caída del ingreso, sí.
  Una cautela: la "trampa del ingreso medio" (países que crecen rápido y luego se estancan) es una frase popular, y los economistas discuten qué tan real es como patrón separado. Los datos muestran estancamientos, y las explicaciones pelean.

  Medir la pobreza: dónde se traza la línea
  Para decir cuánta gente es pobre se necesita una línea. La línea internacional de pobreza del Banco Mundial empezó en 1990 con cerca de un dólar al día y se ha recalculado a medida que mejoraron los datos de precios: 1.90 dólares (precios de 2011), 2.15 (precios de 2017) y, desde junio de 2025, 3.00 dólares al día en precios de 2021, con líneas más altas de 4.20 y 8.30 para los países de ingreso mediano bajo y mediano alto. Los dólares se ajustan por lo que el dinero compra localmente (paridad del poder adquisitivo, como en Comercio y finanzas internacionales, 34/38), así que "un dólar al día" no es un dólar de comida al tipo de cambio.
  Con la línea de 3.00, la actualización de septiembre de 2026 del Banco Mundial dice que unos 811 millones de personas viven en pobreza extrema, aproximadamente una de cada diez, frente a unos 2,300 millones en 1990. El avance se ha frenado en la última década, y la pobreza extrema se concentra cada vez más en África subsahariana y en países frágiles y afectados por conflictos. Los críticos sostienen que la línea es mucho más baja de lo debido: Peter Edward, de la Universidad de Newcastle, por ejemplo, defiende una cifra cercana a 7.40 al día. Dónde pongas la línea cambia la historia.
  En América Latina, la CEPAL mide con sus propias líneas de pobreza regionales, distintas de la línea internacional del Banco Mundial, así que sus porcentajes no se comparan de forma directa con los del Banco. Según el Panorama Social de América Latina y el Caribe 2025 de la CEPAL (cifras citadas por la prensa), en 2024 el 25.5% de la población de la región (unos 162 millones de personas) estaba en situación de pobreza y el 9.8% (unos 62 millones) en pobreza extrema; la pobreza bajó 2.2 puntos porcentuales respecto de 2023 y es la más baja de la serie con datos comparables. Son datos de un organismo regional, con método propio.
  
    Interactivo · Mueve la línea
    Una distribución de ingresos ilustrativa (no es un país real): los ingresos son log-normales, una forma que las distribuciones reales siguen más o menos. Cambia la línea, el ingreso mediano o la desigualdad y mira quién cuenta como pobre.
    
      $2.15
      $3.00
      $4.20
      $8.30
    
    Línea de pobreza ($/día)
      
    Ingreso mediano ($/día)
      
    Desigualdad (dispersión de ingresos)
      
    
    
  
  Dos cosas que enseña el deslizador. Subir el ingreso mediano baja mucho la pobreza, y por eso importa el crecimiento. Pero el mismo ingreso mediano con más desigualdad pone a más gente por debajo de una línea baja. Las dos palancas mueven la cuenta; ninguna es toda la historia.

  El giro de los aleatorizados: Banerjee, Duflo y Kremer
  Durante décadas las grandes preguntas se respondieron con regresiones entre países, y las respuestas eran frágiles: hay muy pocos países y demasiadas cosas que los distinguen. En los años noventa y dos mil un grupo de economistas tomó otro camino: hacer experimentos. Elegir al azar aldeas, escuelas u hogares para un programa, dejar al resto como comparación y medir la diferencia. Abhijit Banerjee, Esther Duflo y Michael Kremer compartieron el premio Nobel de economía de 2019 por este enfoque experimental para aliviar la pobreza global. Sus amigos escépticos llamaron "randomistas" al movimiento.
  La lógica es simple: la asignación aleatoria hace que los dos grupos se parezcan en promedio, así que una diferencia posterior la causa el programa. Lo que lo vuelve difícil es el ruido. Un ensayo pequeño puede no detectar un efecto real, y uno con suerte puede exagerarlo. Eso es el poder estadístico, y puedes sentirlo.
  
    Interactivo · Corre un ensayo
    Un programa tiene un efecto verdadero (en desviaciones estándar del resultado). Inscribes n personas en cada grupo. Cada pulsación corre 200 ensayos imaginarios con ruido aleatorio y cuenta cuántos llegan a "p < 0.05".
    Efecto verdadero (desviaciones estándar)
      
    Personas por grupo
      
    Correr 200 ensayos
    
    
    Estimación = diferencia de medias entre grupos, con el resultado de cada persona de desviación estándar 1. Error estándar = √(2/n). Las barras doradas son los ensayos que "encontraron" un efecto; la línea discontinua es la verdad.
  
  Prueba con 0.2 y 100 personas por grupo: solo cerca del 29% de los ensayos detectan un efecto real y modesto, y los que lo hacen lo exageran, con un promedio de unos 0.37. Un resultado "significativo" de un estudio pequeño es una lectura sesgada de la verdad. Por eso los economistas piden muestras grandes y réplicas.
  Ahora adivina qué encontraron los ensayos. Cinco de ellos probaron algo que mucha gente esperaba que funcionara; cuatro corrieron en Kenia o en varios países, y uno en México.
  
    Interactivo · Predice y luego mira
    
    
    
      Creo que sí
      Lo dudo
    
    
  

  Los críticos: lo que dijo Deaton
  Angus Deaton, que ganó él mismo el premio Nobel de economía en 2015 por su trabajo sobre consumo y pobreza, fue un crítico temprano y filoso. En un artículo de 2009 con un título que es en sí un argumento, "Instruments of development: Randomization in the tropics, and the search for the elusive keys to economic development", sostuvo que los ensayos aleatorizados y métodos parecidos a menudo malinterpretan qué hace aleatoria la asignación, que los efectos promedio esconden variación, y que "los experimentos no tienen una capacidad especial para producir conocimiento más creíble" que otros métodos. Su conclusión fue que es poco probable que la evaluación de proyectos con ensayos aleatorizados haga avanzar la comprensión del desarrollo económico, y celebró un giro hacia probar mecanismos teóricos.
  La respuesta de los randomistas: las preguntas pequeñas y contestables se suman. Quizá no aprendas por qué creció Corea, pero sí puedes aprender si un mosquitero debe ser gratis o tener precio, y la respuesta es utilizable. El resultado es una división del campo sobre qué cuenta como conocimiento:
  
    PreguntaLos experimentalistasEl lado de Deaton
    ¿Qué podemos saber?Efectos específicos de programas específicosLos mecanismos y la teoría importan más
    ¿Se generaliza?Replicar en muchos lugaresEl contexto y la heterogeneidad pueden deshacerlo
    ¿Responde las grandes preguntas?No directamente; sí responde preguntas prácticasEntonces las grandes preguntas quedan sin respuesta
  
  Ninguno de los dos lados ha ganado; la mayoría de los economistas del desarrollo en activo usa los dos tipos de evidencia.

  Ayuda, efectivo y microfinanzas
  Ayuda. En 1970 la Asamblea General de la ONU fijó la meta de que los países ricos dieran el 0.7% de su ingreso nacional como ayuda. La discusión sobre si la ayuda funciona es más vieja que la meta. Jeffrey Sachs sostiene que la ayuda, si ataca la enfermedad, los bajos rendimientos agrícolas y los altos costos de transporte, puede romper una trampa de pobreza. William Easterly sostiene que la ayuda de arriba hacia abajo distorsiona los incentivos y hace poco. Dambisa Moyo sostiene que la ayuda engendra corrupción y dependencia y que los países africanos deben apoyarse en capital privado. Los estudios estadísticos de ayuda y crecimiento dan resultados mixtos; los primeros a menudo encontraron efectos pequeños o negativos y los posteriores más positivos pero no concluyentes.
  Efectivo. Una alternativa a los proyectos es simplemente dar dinero a los hogares pobres. En un gran experimento en Kenia, Dennis Egger, Johannes Haushofer, Edward Miguel, Paul Niehaus y Michael Walker (publicado en 2022) encontraron un multiplicador local de las transferencias de cerca de 2.4, inflación de precios mínima y "grandes efectos positivos indirectos sobre hogares y empresas que no recibieron" (large positive spillovers on non-recipient households and firms). El efectivo no se limitó a subir los precios locales y perjudicar a los vecinos.
  Transferencias condicionadas. América Latina fue el laboratorio de una versión particular: pagar a las familias pobres con la condición de que los niños vayan a la escuela y a los controles de salud. Dos programas, con fechas.
  
    ProgramaQué se sabe
    Progresa / Oportunidades / Prospera (México)Empezó en 1997 como Progresa; se llamó Oportunidades desde 2002 y después Prospera. Su primera evaluación, del Instituto Internacional de Investigación sobre Políticas Alimentarias (IFPRI), asignó el programa al azar entre localidades; Paul Schultz (2004) analizó un diseño inicial de 495 localidades y halló que aumentó la matrícula de secundaria, cerca de 5 a 6 puntos porcentuales para los niños y de 7 a 9 para las niñas en los primeros dos años (las cifras varían un poco según quién las reseñe). El programa sobrevivió a tres cambios de presidente. Hacia 2019 el gobierno lo cerró y lo sustituyó por becas (Becas Benito Juárez); estudios preliminares (documentos de trabajo, sujetos a revisión) reportan que la matrícula cayó después del cierre, sobre todo entre los varones de edad de preparatoria.
    Bolsa Família (Brasil)Se creó en 2003, con Lula, fusionando programas previos como Bolsa Escola, y se formalizó con la Ley 10.836 de 2004. Exige que los niños asistan a la escuela y estén vacunados. Cubría unos 13.8 millones de familias en 2020. En diciembre de 2021 el gobierno de Bolsonaro lo reemplazó por Auxílio Brasil, y en 2023 volvió a llamarse Bolsa Família. Entre los resultados reportados: la pobreza en Brasil bajó 27.7% durante el primer mandato de Lula, aunque en ello pesaron también el empleo y el salario mínimo; un estudio vinculado al PNUD le atribuye cerca del 20% de la caída de la desigualdad desde 2001. Los críticos dicen que desalienta el trabajo (el Banco Mundial no encontró evidencia de eso) o que sirve al clientelismo electoral.
  
  Fíjate en la forma del argumento. Quienes defienden estos programas dicen que combinan un alivio inmediato con una inversión en niños, y que tienen evaluación. Quienes los critican dicen que pueden depender de cuánto dinero tenga el Estado en cada gobierno, que pueden usarse con fines políticos y que la condición cuesta administrarla. La evidencia (matrícula, salud, pobreza) se puede medir; el valor de preferir más condiciones o menos es otra discusión.
  Microfinanzas. Los préstamos pequeños a los pobres, asociados con Muhammad Yunus y el Grameen Bank, fueron recibidos como un gran avance. Seis evaluaciones aleatorizadas en seis países (Banerjee, Karlan y Zinman, 2015) encontraron "un patrón consistente de efectos modestamente positivos, pero no transformadores". El microcrédito es una herramienta útil, no un milagro.
  El cuadro sobrio: los economistas tienen buena evidencia sobre algunas cosas pequeñas (mosquiteros gratis, efectivo), evidencia mixta sobre las grandes (ayuda) y humildad ante la pregunta más grande de todas.

  América Latina: sustitución de importaciones, década perdida y consenso
  La región tiene su propio capítulo en esta materia, y es un buen ejemplo de una discusión que se mezcla con valores. Aquí va en tres tiempos, y cada escuela en sus términos.
  Primero, el estructuralismo de la CEPAL. La Comisión Económica para América Latina (CEPAL) se creó en 1948 y tiene su sede en Santiago de Chile. Raúl Prebisch, economista argentino (1901-1986), dirigió la CEPAL desde 1950, y en un estudio de ese año sostuvo, junto con la tesis de Hans Singer de 1949, que los términos de intercambio de los países que exportan materias primas empeoran con el tiempo: con la misma cantidad de exportaciones primarias se compran menos manufacturas (la tesis Prebisch-Singer). De ahí su propuesta: proteger con aranceles a las industrias nacientes y desarrollar industrias propias, la industrialización por sustitución de importaciones (ISI). La ISI se adoptó en buena parte de la región desde los años treinta hasta fines de los ochenta.
  Segundo, el balance. Quienes la defienden señalan que funcionó mejor en los países grandes (Argentina, Brasil, México): un historiador citado por la bibliografía calcula que a comienzos de los años sesenta la industria nacional abastecía el 95% de los bienes de consumo de México y el 98% de los de Brasil, y que la producción industrial se multiplicó por seis entre 1950 y 1980. Señalan también que muchos países hoy industrializados pasaron por una etapa de protección (Werner Baer y Ha-Joon Chang). Quienes la critican señalan que, sin competencia, bajaron la innovación y la eficiencia y subieron los precios; que las empresas estatales rara vez dieron ganancias; que las manufacturas no eran competitivas afuera y los déficits de cuenta corriente crecieron; y que hubo búsqueda de rentas. Una corriente cercana, la teoría de la dependencia (Fernando Henrique Cardoso, Enzo Faletto, André Gunder Frank), sostiene que la pobreza de la periferia es en parte consecuencia de su relación con el centro; sus críticos (como Sanjaya Lall o Robert Allen) dicen que el concepto es ambiguo, que subestima la política interna y que el proteccionismo latinoamericano terminó en deuda y recesión.
  Tercero, la crisis y el giro. En agosto de 1982 el ministro de Finanzas de México, Jesús Silva-Herzog, dijo que el país no podía pagar su deuda; esa fecha suele marcar el inicio de la crisis de la deuda. De 1980 a 1985 el producto real de la región creció solo cerca de 2.3% al año y el producto por persona cayó casi un 9%; los salarios urbanos reales cayeron entre 20% y 40% en la década, según la bibliografía. Muchos países abandonaron la ISI por la industrialización orientada a la exportación. En 1989 el economista John Williamson acuñó el término Consenso de Washington para un paquete de diez medidas: disciplina fiscal, reorientar el gasto hacia educación, salud e infraestructura, reforma tributaria, tasas de interés determinadas por el mercado, tipos de cambio competitivos, apertura comercial, inversión extranjera directa, privatizaciones, desregulación y seguridad para los derechos de propiedad. Williamson lamentó después que la etiqueta se tomara como un programa neoliberal impuesto desde fuera, y dijo que los resultados fueron "decepcionantes, por decir lo menos". Sus críticos (Joseph Stiglitz, entre otros) sostienen que la receta fue de talla única y descuidó las instituciones y la pobreza, y señalan a los Estados asiáticos con un papel más activo. Sus defensores, entre ellos Williamson, dicen que las reformas fueron incompletas y no erradas.
  
    PosturaSu afirmación centralSu objeción principal
    Estructuralismo / ISI (CEPAL)Los términos de intercambio castigan a los exportadores primarios; la industria naciente necesita protecciónSin competencia hay ineficiencia, déficits y deuda
    DependenciaLa periferia se empobrece en su relación con el centroEs ambigua y subestima los factores internos
    Reformas de mercado (Consenso de Washington)Disciplina fiscal, apertura y privatización llevan a crecerLos resultados fueron decepcionantes y descuidaron instituciones y pobreza
  
  Mira la diferencia entre lo que se puede comprobar y lo que no. Que el ingreso por persona de Argentina, Perú o Venezuela fuera menor en 1990 que en 1980 está en la tabla de arriba. Cuánto de eso se debe a la ISI, a la deuda, a los precios de las materias primas o a las reformas posteriores es lo que las escuelas leen distinto, y tu respuesta depende en parte de qué valoras: la industria propia, la estabilidad fiscal, la apertura o la protección social.

  Lo que un graduado ve sin pensarlo
  
    Las diferencias de ingreso son enormes y se deben sobre todo a tasas de crecimiento sostenidas durante décadas: 70 ÷ g da el tiempo de duplicación.
    Geografía, instituciones y capital humano son reales; la disputa es cuál es la más profunda.
    Una "línea de pobreza" es una elección, en dólares ajustados por precios locales, y moverla cambia la cuenta; la CEPAL y el Banco Mundial miden con líneas distintas.
    El crecimiento saca de la pobreza a más gente; pero el mismo promedio puede esconder desigualdades muy distintas.
    Una asignación aleatoria da una comparación honesta, pero un ensayo pequeño es ruidoso y los resultados "significativos" exageran.
    Un ensayo aleatorizado responde "¿funcionó aquí?"; no responde automáticamente "¿funcionará allá?".
    Lo que la gente espera que funcione a menudo no funciona: cobrar una cuota pequeña por los mosquiteros, libros de texto gratis, grandes efectos del microcrédito.
    Las transferencias de efectivo han resistido mejor de lo que se temía, con efectos indirectos locales en vez de inflación; las condicionadas de América Latina se evaluaron con diseño aleatorio.
    La sustitución de importaciones, la crisis de la deuda y el Consenso de Washington son hechos con fecha y a la vez discusiones de valores: separa lo medible de lo que se prefiere.
  

  Dónde aparece después
  
    Econometría (34/36): la revolución de la credibilidad (experimentos naturales, instrumentos, ensayos) es la caja de herramientas sobre la que se construye esta materia.
    Comercio y finanzas internacionales (34/38): si un país pobre debe abrir sus fronteras o proteger una industria naciente es una de las peleas más viejas del desarrollo, y las remesas y las crisis de moneda de esa pieza son parte del paisaje latinoamericano.
    Economía pública (34/37): las transferencias de efectivo, los impuestos y los bienes públicos en países de bajo ingreso son las mismas preguntas que en los ricos, con menos recursos.
    Políticas públicas (34/16): cómo un programa pasa de idea a evaluación a presupuesto, y por qué un buen programa puede morir con un cambio de gobierno.
    En el mundo: un empleo en un ministerio, un banco de desarrollo (el BID, el Banco Mundial, la CAF), un grupo de investigación como J-PAL (cofundado por Banerjee y Duflo) o una ONG que decide qué financiar; y cada noticia sobre recortes de ayuda, conteos de pobreza o un nuevo "milagro".
  

  Si quieres profundizar
  
    📘 Libro de texto (en inglés). Debraj Ray, Development Economics (Princeton University Press, 1998). El estándar riguroso, fuerte en teoría.
    📘 Libro de texto (en inglés). Michael Todaro y Stephen Smith, Economic Development (Pearson). Un panorama más amplio y muy asignado, con casos de países.
    📘 Más amable. Abhijit Banerjee y Esther Duflo, Repensar la pobreza (Taurus, 2012): la visión randomista, contada a través de las elecciones de la gente pobre. Para el lado escéptico, Angus Deaton, El gran escape (2015).
    🌐 Curso de bajo costo, en español. Desigualdad e Informalidad de Países en Desarrollo, de la Pontificia Universidad Católica del Perú (PUCP), en Coursera: un curso breve de cinco módulos sobre desigualdad, exclusión e informalidad con un modelo dualista. (Coursera: inscribirse es gratis; el acceso completo a materiales y tareas es de pago, con prueba gratuita).
    🌐 Gratis, en inglés. MIT OpenCourseWare 14.73 The Challenge of World Poverty (primavera de 2011, Duflo y Banerjee), un curso de licenciatura sobre crecimiento, hambrunas, educación, microfinanzas y ayuda. También Development Economics, el curso en video de Marginal Revolution University (Tyler Cowen y Alex Tabarrok). En español y gratis, CORE, La economía 2.0, para la base de crecimiento y desigualdad.
  

  
    Para llevar
    Los países ricos y pobres difieren porque pequeñas diferencias de crecimiento se acumulan durante décadas, y las tres grandes explicaciones (geografía, instituciones, personas) tienen cada una parte de la respuesta. La pobreza se cuenta contra una línea que hay que elegir. Los ensayos aleatorizados dieron al campo respuestas pequeñas y honestas y afilaron sus dudas sobre las grandes. América Latina muestra que las discusiones de política (proteger o abrir, condicionar o no) mezclan datos con valores. El resumen honesto es una lista corta de cosas que funcionan, una más larga de cosas que no funcionaron como se esperaba, y mucha humildad.
    Prueba esto: elige un país que te importe y busca su PIB por persona en 1990 y ahora. Calcula la tasa de crecimiento anual y el tiempo de duplicación, y pregúntate qué habría tenido que ser distinto para que creciera un punto más rápido.
  

  
    Fuentes y para profundizar
    Fuentes. Ingreso por persona: Bolt y van Zanden, Maddison Project Database 2023 (dólares internacionales constantes de 2011), vía Our World in Data (archivo gdp-per-capita-maddison-project-database.csv, descargado y leído); las cifras de países pobres anteriores a 1990 son estimaciones. Geografía: Gallup, Sachs y Mellinger, NBER w6849 (1998). Instituciones: Acemoglu, Johnson y Robinson, NBER w7771 (2000) y American Economic Review (2001); premio Nobel de 2024 a Acemoglu, Johnson y Robinson. Capital humano: Glaeser, La Porta, Lopez-de-Silanes y Shleifer, NBER w10568 (2004). Historia de la línea de pobreza (1 dólar en 1990; 1.90, 2.15, 3.00; líneas de 4.20 y 8.30) y actualización del Banco Mundial de septiembre de 2026 (unos 811 millones por debajo de 3.00 al día; uno de cada diez; unos 2,300 millones en 1990): Banco Mundial, página "Poverty overview"; la historia de la línea según Wikipedia. Argumento de Peter Edward según se reporta allí. CEPAL, Panorama Social de América Latina y el Caribe 2025: 25.5% de pobreza y 9.8% de pobreza extrema en 2024, 162 y 62 millones de personas, −2.2 puntos respecto de 2023 (cifras tomadas de reportes de prensa de Portafolio, El Mundo y otros; el documento de la CEPAL no cargó). Premio Nobel de 2019: Banerjee, Duflo, Kremer. Deaton: NBER w14690 (enero de 2009; cita del resumen). Meta de ayuda: Asamblea General de la ONU, 1970. Posturas de Sachs, Easterly y Moyo según el artículo de Wikipedia sobre ayuda exterior. Transferencias de efectivo: Egger y otros, NBER w26600, Econometrica (2022). Microcrédito: Banerjee, Karlan y Zinman, American Economic Journal: Applied Economics (2015). Mosquiteros: Cohen y Dupas, NBER w14406, Quarterly Journal of Economics (2010). Libros de texto: Glewwe, Kremer y Moulin, NBER w13300. Progresa: Schultz (2004) según reseñas citadas en una búsqueda web (diseño aleatorio con 495 localidades; efectos en matrícula de secundaria de 5-6 puntos para niños y 7-9 para niñas, que varían entre reseñas); inicio en 1997; Becas Benito Juárez y el cierre hacia 2019 según Marquez-Padilla, Parker y Vogl (VoxDev, 2025) y Parker (2024), documentos de trabajo; Wikipedia, "Oportunidades". Bolsa Família: Wikipedia, "Bolsa Família" (Ley 10.836 de 2004; 13.8 millones de familias en 2020; Auxílio Brasil, diciembre de 2021; vuelta al nombre en 2023). CEPAL: fundada en 1948, sede en Santiago (Wikipedia, "Economic Commission for Latin America and the Caribbean"); Prebisch, Wikipedia, "Raúl Prebisch" (1901-1986; director de la CEPAL desde 1950); Prebisch-Singer, Wikipedia, "Dependency theory"; ISI, Wikipedia, "Import substitution industrialization" (los datos de 95% y 98% son de un historiador citado ahí y se tratan como una estimación disputada); crisis de la deuda de 1982, Wikipedia, "Latin American debt crisis"; Consenso de Washington, Wikipedia, "Washington Consensus" (término acuñado por Williamson en 1989). Venezuela: Wikipedia, "Venezuelan crisis" (posturas del gobierno y de los críticos; sanciones de 2017 y 2019; Weisbrot y Sachs, 2019, con las críticas a su método). Todos los números de los interactivos se calcularon en node: la tabla de crecimiento (Corea 26.7 veces y 5.44% al año, Ghana 1.9 veces y 1.07%, Venezuela cayó a 0.43 de 1960, República Dominicana 8.5 veces, Argentina 2.1 veces y 1.18% al año, 1980-1990 Argentina 0.78 y Perú 0.71), el poder de un efecto de 0.2 desviaciones estándar con 100 por grupo (29.3%) y la estimación promedio significativa (unos 0.37). Adaptada de la pieza en inglés Development Economics.
    
      🌐 PUCP: Desigualdad e Informalidad de Países en Desarrollo (bajo costo, en español)
      🌐 CORE: La economía 2.0 (gratis)
      🌐 MIT OCW 14.73 The Challenge of World Poverty (en inglés)
      🌐 Marginal Revolution University: Development Economics (en inglés)
      📘 Banerjee y Duflo, Repensar la pobreza
      📘 Deaton, El gran escape
    
  

  
    Para tu español
    
      desarrollo (development) · ingreso por persona (income per capita) · línea de pobreza (poverty line) · transferencia condicionada (conditional cash transfer) · sustitución de importaciones (import substitution) · década perdida (lost decade) · términos de intercambio (terms of trade) · ensayo aleatorizado (randomised trial) · ayuda (aid) · desigualdad (inequality)


Step 15. Aprendizaje automático: programas que escriben sus propias reglas
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Why: Los economistas predicen y miden con aprendizaje automático; conocer sus límites importa.
Nadie escribió la regla que distingue un mensaje de spam del correo de tu mamá. Un programa la encontró mirando ejemplos, y todo el campo gira en torno a una pregunta: ¿puedes confiar en lo que encontró?

Tu teléfono agrupa las fotos por persona. Tu bandeja de entrada esconde los avisos de "ganaste un premio". Un banco bloquea un pago con tu tarjeta a las 3 de la mañana desde otro continente. Intenta escribir a mano las reglas de cualquiera de estas tareas y chocas con un muro en una hora: ¿qué hace, exactamente, que una cara sea una cara o un mensaje sea spam?
        El aprendizaje automático (también llamado aprendizaje de máquina, o machine learning) renuncia a escribir las reglas. En lugar de eso, le muestras al programa miles de ejemplos etiquetados y dejas que se ajuste solo hasta acertar. Es potente, y cambia sin ruido las preguntas que hay que hacer. Lo difícil ya no es "¿cuál es la regla?", sino "¿cómo sé que la regla que encontró va a funcionar mañana, con gente que nunca ha visto?"
        Esa pregunta, y un puñado de herramientas sencillas para responderla, es lo que se queda para siempre quien cursa una materia de aprendizaje automático.

        
            La materia en una caja
            Quién la cursa: estudiantes de Ciencias de la Computación, normalmente en el año 4; también de estadística, ciencia de datos e ingeniería. Quien viene de Psicología la encuentra aquí como el lado computacional de la pregunta "¿cómo se aprende de la experiencia?".
            Para qué sirve: construir programas que aprenden su comportamiento de los datos, y juzgar con honestidad si funcionan.
            Viene después de: Álgebra lineal (34/34), Probabilidad y estadística (34/19), Cálculo multivariable (34/33) y Algoritmos (en inglés, 34/24).
            Lleva a: ninguna materia posterior de esta serie la pide como requisito; alimenta la investigación y las carreras en inteligencia artificial, y toca Seguridad informática (en inglés, 34/33), donde los sistemas que aprenden son herramientas y también blancos de ataque, y Bases de datos (en inglés, 34/28), donde viven los datos de entrenamiento. Dentro de Psicología conecta con Aprendizaje y conducta (34/18) y con Métodos de investigación en psicología (34/20): separar datos de entrenamiento y de prueba es la misma disciplina que replicar un estudio.
            Una línea honesta: después de esta pieza no vas a entrenar un modelo de lenguaje moderno; sí vas a entender el ciclo de entrenamiento que todos comparten. Para la historia de la IA y un recorrido por los modelos de lenguaje, lee primero Inteligencia artificial (en inglés, 29/01) y Cómo funcionan realmente los grandes modelos de lenguaje (en inglés, 29/02); esta pieza va por debajo de ellos.
        

        Aprender de los datos, y los datos que reservas
        Toma un problema de juguete. A cada correo se le asigna un puntaje de "palabras sospechosas", y tienes que decidir si es spam o no. Podrías escribir una regla a mano: es spam si el puntaje pasa de 3. ¿Pero por qué 3? Mejor: prueba todos los umbrales sobre un conjunto de ejemplos etiquetados y quédate con el que acierta más. Eso, en miniatura, es el entrenamiento: una regla con una perilla ajustable, una manera de calificar la regla con datos, y una búsqueda del mejor ajuste de la perilla.
        Aquí está la trampa. El ajuste que mejor encaja con los ejemplos que usaste casi siempre se verá mejor con ellos que con ejemplos nuevos, porque lo afinaste para ellos. Por eso quienes practican este oficio dividen los datos en tres partes:
        
            Conjunto de entrenamiento: los ejemplos con los que el modelo se ajusta.
            Conjunto de validación: se reserva para comparar decisiones (qué modelo, qué ajustes).
            Conjunto de prueba: se toca una sola vez, al final, para estimar cómo le irá en el mundo real. Si sigues afinando contra él, deja de ser una prueba.
        

        
            Pruébalo: elige el umbral y luego conoce datos nuevos
            Los puntos rellenos son 30 correos de entrenamiento (naranja = spam, azul = no spam); los cuadrados huecos son 20 correos reservados que la regla nunca vio. Todos los datos están inventados para esta demostración. El mejor umbral con los correos de entrenamiento es 3.3, que acierta el 93% de ellos, pero solo el 85% de los 20 correos reservados.
            
                
                Umbral: es spam si el puntaje es mayor que 3.0
                    
                Que lo elijan los datos
                
            
        

        Regresión lineal y descenso del gradiente
        Muchos problemas consisten en predecir un número. El modelo más simple es una recta: predicción = w × entrada + b. Las dos perillas son la pendiente w y la ordenada al origen b. Para calificar una recta, mide cuánto falla en cada punto, eleva las fallas al cuadrado para que cuenten igual las que se pasan y las que se quedan cortas, y promédialas: es el error cuadrático medio (ECM, o MSE en inglés). El método de mínimos cuadrados lo publicó por primera vez Adrien-Marie Legendre en 1805; Carl Friedrich Gauss dijo haberlo usado antes, y de ahí salió una disputa de prioridad.
        Para una recta existe una fórmula del mejor w y el mejor b. Para los modelos enormes no existe, y se usa la idea que sostiene a todo el campo: el descenso del gradiente. Párate sobre la superficie del error, siente hacia dónde baja más empinado (el gradiente, de Cálculo multivariable, 34/33) y da un paso pequeño en esa dirección. Repite. Augustin-Louis Cauchy propuso el método en 1847.
        nuevo w = w − η × (pendiente del error respecto de w)    igual para bη ("eta") es la tasa de aprendizaje, el tamaño de cada paso
        La tasa de aprendizaje es un equilibrio real: si es muy pequeña, avanzas a paso de tortuga; si es muy grande, te pasas del valle y rebotas fuera de él. Pruébalo. Los 12 puntos de abajo están inventados alrededor de una recta; la respuesta de mínimos cuadrados es w = 2.465, b = 8.289, con ECM 2.58.

        
            Pruébalo: ajusta una recta rodando cuesta abajo
            Parte de w = 0, b = 0 y pulsa Paso. Elige una tasa de aprendizaje. Con η = 0.01, 200 pasos llegan a w = 2.89, b = 5.79 y ECM 4.37, todavía bajando; con η = 0.04 los pasos son demasiado grandes y el error explota en lugar de reducirse.
            
                
                
                    η = 0.001
                    η = 0.01
                    η = 0.03
                    η = 0.04
                
                Paso20 pasosReiniciar
                
            
        

        Sobreajuste y subajuste
        Una recta es un modelo rígido. Uno más flexible, por ejemplo un polinomio con más curvas, puede seguir los datos más de cerca. La flexibilidad es una perilla, y fallar es posible en los dos extremos:
        
            Subajuste (underfitting): el modelo es demasiado simple para captar el patrón. Falla con los datos de entrenamiento y falla con los nuevos.
            Sobreajuste (overfitting): el modelo es tan flexible que memoriza el ruido de los datos de entrenamiento. Es casi perfecto con ellos y malo con los nuevos.
        
        Por eso existe el conjunto de validación. El error de entrenamiento solo baja a medida que añades flexibilidad. El error de validación baja, y luego vuelve a subir, y el fondo de esa U es donde te detienes.
        El error de entrenamiento te dice qué tan bien recuerda el modelo. El error de validación te dice qué tan bien aprendió.

        
            Pruébalo: gira la perilla de complejidad
            El patrón verdadero es una onda suave; los 12 puntos rellenos son muestras con ruido de ella, y los 40 puntos huecos son muestras nuevas con ruido que se usan solo para juzgar. La curva es un polinomio ajustado a los puntos rellenos. Una recta de grado 1 no capta la onda (errores 0.54 y 0.43), el grado 3 es el mejor con datos nuevos (0.28 de entrenamiento, 0.35 de validación) y el grado 9 se pega a los 12 puntos (0.14) pero es mucho peor con los nuevos (1.02).
            
                
                Grado del polinomio: 3
                    
                
            
        

        Clasificación y redes neuronales como funciones en capas
        La clasificación predice una etiqueta en lugar de un número: spam o no, qué dígito, qué animal. Un clasificador simple calcula una suma ponderada de las entradas y la comprime en una probabilidad entre 0 y 1; su frontera de decisión es una recta (o un plano). Eso basta cuando las clases se pueden separar con una recta.
        Algunos problemas no se dejan. El ejemplo clásico es la XOR ("o exclusivo"): la respuesta es 1 cuando exactamente una de las dos entradas es 1. Ninguna recta separa bien los cuatro casos. A fines de los años sesenta, el libro Perceptrons de Marvin Minsky y Seymour Papert analizó justo ese tipo de límite en las redes de una sola capa, y a menudo se le atribuye haber ayudado a enfriar durante años el interés en las redes neuronales (los historiadores discuten cuánto).
        La salida es apilar modelos. Una red neuronal es una cadena de funciones simples: cada capa toma una suma ponderada de sus entradas, le aplica una curvatura (una función no lineal como la tangente hiperbólica) y le pasa el resultado a la capa siguiente. Una capa traza una recta; una capa construida sobre rectas puede recortar regiones que ninguna recta sola alcanza. Entrenar una red es encontrar buenos pesos, y la herramienta es la retropropagación (backpropagation), que en palabras va así:
        
            Pasa un ejemplo hacia adelante por las capas y obtén una predicción.
            Mide cuánto se equivocó.
            Camina hacia atrás, capa por capa, preguntándole a cada peso "¿cuánto de este error fue culpa tuya?", con la regla de la cadena del cálculo.
            Mueve cada peso un poco en la dirección que reduce el error. Repite con el siguiente ejemplo.
        
        La idea se dedujo varias veces; el artículo de 1986 en Nature de David Rumelhart, Geoffrey Hinton y Ronald Williams es el que la popularizó. El descenso del gradiente con retropropagación, ejecutado a gran escala, sigue siendo la forma de entrenar redes neuronales, incluidos los grandes modelos de lenguaje de 29/02 (en inglés).

        
            Pruébalo: enseña XOR a una red
            Cuatro casos de entrenamiento. Elige cuántas unidades ocultas tiene la red y luego desliza los pasos de entrenamiento (siempre con los mismos pesos iniciales). La imagen muestra la salida de la red sobre el plano. Sin capa oculta, lo mejor que puede hacer el modelo es dar cerca de 0.5 en los cuatro casos (pérdida 0.693) y se queda atascado; con 4 unidades ocultas, 500 pasos ya aciertan los cuatro (pérdida 0.010).
            
                
                
                    Sin capa oculta
                    2 unidades ocultas
                    4 unidades ocultas
                
                Pasos de entrenamiento: 500
                    
                
            
        

        Evaluación: la exactitud no basta
        "El modelo tiene 99% de exactitud" puede no significar nada. Imagina una enfermedad rara que afecta al 1% de 10,000 personas. Un modelo que siempre dice "sano" acierta el 99% y no encuentra a nadie. Mejor cuenta los resultados: verdaderos positivos (VP), falsos positivos (FP), verdaderos negativos (VN) y falsos negativos (FN).
        precisión = VP / (VP + FP): de los marcados, cuántos acertaronsensibilidad (recall) = VP / (VP + FN): de los enfermos, cuántos se encontraron
        Las dos tiran en direcciones opuestas. Un modelo que marca solo cuando está seguro tiene alta precisión y baja sensibilidad; uno que marca ante el menor indicio tiene alta sensibilidad y te inunda de falsas alarmas. Dónde poner el umbral depende de lo que cueste cada error: no es lo mismo no detectar un cáncer que mandar un buen correo a la carpeta de spam. Y cuando la condición real es rara, hasta una prueba decente produce sobre todo falsas alarmas.

        
            Pruébalo: una prueba con umbral
            10,000 personas. La prueba da un puntaje; las personas enfermas puntúan en promedio 2 desviaciones estándar más alto que las sanas (una prueba decente, inventada para esta demostración). Mueve el umbral y la prevalencia. Con 1% de prevalencia y un umbral de 1.0, la prueba encuentra 84 de las 100 personas enfermas (sensibilidad 84%) pero da 1,571 falsas alarmas, así que solo el 5% de las marcadas está realmente enferma.
            
                
                    1% enfermos
                    10%
                    50%
                
                Marcar cuando el puntaje sea mayor que 1.0
                    
                
                
            
        

        Sesgo: el modelo aprende los datos que le diste
        Un modelo no tiene opinión sobre la justicia. Encuentra el patrón que mejor encaja con los ejemplos que vio, incluidos los patrones sobre quién aparece en esos ejemplos. Si un grupo es una parte pequeña de los datos de entrenamiento, la regla única del modelo se afina para la mayoría y le va peor al resto.
        No es hipotético. En el estudio de 2018 Gender Shades, Joy Buolamwini y Timnit Gebru encontraron que los dos conjuntos de datos de referencia que examinaron tenían 79.6% (IJB-A) y 86.2% (Adience) de personas de piel clara, y que tres sistemas comerciales de clasificación de género clasificaban mal a las mujeres de piel oscura con tasas de error de hasta 34.7%, frente a un máximo de 0.8% para los hombres de piel clara.

        
            Pruébalo: ¿quién está en los datos de entrenamiento?
            Dos grupos, A y B, cuyos puntajes están en escalas distintas (un ejemplo inventado). El modelo elige el único umbral que acierta más casos de entrenamiento. Cambia qué parte de los datos de entrenamiento es del grupo B. Con 2% de los datos del grupo B, el modelo acierta el 84% en A pero el 74% en B; con 50%, los dos grupos llegan al 81%.
            
                Parte del grupo B en los datos de entrenamiento: 2%
                    
                
                
            
        
        Más datos de la misma fuente no lo arreglan; datos distintos, o un modelo revisado grupo por grupo, sí. El sesgo también puede venir de las etiquetas (decisiones humanas pasadas que el modelo copia) y de cómo se usa el sistema. Revisar el desempeño para cada grupo, y no solo el promedio, es el hábito que hay que conservar.
        La misma disciplina vale para los sistemas más nuevos. El informe AI Index 2026 de Stanford HAI describe una "frontera irregular": un modelo obtuvo medalla de oro en la Olimpiada Internacional de Matemáticas, y el mejor modelo que se probó leyó bien relojes analógicos solo el 50.1% de las veces. Un puntaje promedio, o un resultado de titular, dice poco sobre cómo le irá a un modelo en el caso que tienes delante; eso hay que medirlo.

        Lo que un graduado ve sin pensarlo
        
            Aprender es ajustar perillas para encajar con ejemplos; la regla se encuentra, no se escribe.
            El desempeño con los datos de entrenamiento no es evidencia. Solo lo es el de los datos que reservaste.
            El descenso del gradiente es "bajar un paso"; la tasa de aprendizaje es el tamaño del paso y importa.
            Tanto lo demasiado simple como lo demasiado flexible fallan; el error de validación tiene forma de U.
            Una red es una pila de funciones simples, y la retropropagación es la regla de la cadena aplicada capa por capa.
            La exactitud esconde los casos raros; pide precisión, sensibilidad y el costo de cada error.
            Cuando algo es raro, la mayoría de las alarmas son falsas.
            Un modelo es tan justo como sus datos; revisa cada grupo, no el promedio.
        

        Dónde aparece después
        
            Álgebra lineal (34/34) y Cálculo multivariable (34/33): los pesos son vectores y matrices, y los gradientes son derivadas parciales.
            Probabilidad y estadística (34/19): la idea de entrenamiento y prueba es la verificación fuera de muestra del estadístico, y la precisión es el teorema de Bayes disfrazado.
            Aprendizaje y conducta (34/18) y Métodos de investigación en psicología (34/20): aprender de la retroalimentación y no engañarse con los propios datos son problemas gemelos de los de esta pieza.
            Algoritmos (en inglés, 34/24): entrenar es optimizar, y su costo es la razón por la que importa el hardware como las GPU (ver 29/12, en inglés).
            Seguridad informática (en inglés, 34/33): los sistemas que aprenden pueden ser engañados con entradas fabricadas y con datos envenenados.
            En el mundo: detección de fraude, orden de resultados de búsqueda, recomendaciones, traducción, imágenes médicas y los chatbots de 29/02 (en inglés). Según el AI Index 2025 de Stanford, el cómputo usado para entrenar modelos notables se duplicaba más o menos cada cinco meses, razón por la que entrenar es hoy una actividad industrial.
        

        Si quieres profundizar
        
            📘 An Introduction to Statistical Learning (en inglés; James, Witten, Hastie, Tibshirani; 2.ª edición 2021, con edición en Python de 2023): gratis en la página de los autores, es el primer texto universitario estándar; claro y ligero en matemáticas.
            📘 Deep Learning (en inglés; Goodfellow, Bengio, Courville, MIT Press, 2016): el texto de posgrado estándar sobre redes neuronales, gratis en línea.
            ▶️ Más suave: la serie de videos sobre redes neuronales de 3Blue1Brown (en inglés, con subtítulos) construye con imágenes las ideas de arriba.
            🌐 Cursos gratuitos: MIT OpenCourseWare 6.036 Introduction to Machine Learning (en inglés).
        

        
            Para llevar
            El aprendizaje automático reemplaza las reglas escritas a mano por perillas afinadas con ejemplos, y usa el descenso del gradiente para encontrar el ajuste. Todo lo demás es cuestión de confianza: reserva datos para medir con honestidad, busca el punto medio entre lo demasiado simple y lo demasiado flexible, apila funciones cuando una recta no alcanza, pregunta qué errores importan y revisa quién está en los datos.
            Prueba esto: la próxima vez que leas "una IA con 95% de exactitud", hazte cuatro preguntas. ¿Exacta con qué datos? ¿Qué tan raro es lo que busca? ¿Cuánto cuesta cada tipo de error? ¿Y alguien la ha revisado para el grupo al que perteneces?
        

        
            Fuentes y para profundizar. A.-M. Legendre (1805) y C. F. Gauss sobre mínimos cuadrados (disputa de prioridad, según las historias estándar de la estadística); A.-L. Cauchy (1847) sobre el descenso del gradiente; M. Minsky y S. Papert, Perceptrons, MIT Press, 1969; D. Rumelhart, G. Hinton y R. Williams, "Learning representations by back-propagating errors", Nature 323, 1986; J. Buolamwini y T. Gebru, "Gender Shades: Intersectional Accuracy Disparities in Commercial Gender Classification", Proceedings of Machine Learning Research 81, 2018; Stanford HAI, AI Index Report 2025 (cómputo de entrenamiento duplicado cada cinco meses aproximadamente) y AI Index Report 2026 (la "frontera irregular": oro en la Olimpiada de Matemáticas, 50.1% en relojes analógicos); G. James, D. Witten, T. Hastie, R. Tibshirani, An Introduction to Statistical Learning. Todos los conjuntos de datos de las demostraciones son inventados, y cada número que muestran se calculó y se verificó para esta pieza. Adaptada de la pieza en inglés Machine Learning: Programs That Write Their Own Rules.
            📘 An Introduction to Statistical Learning (statlearning.com, gratis, en inglés)
            📘 Deep Learning, Goodfellow, Bengio y Courville (deeplearningbook.org, gratis en línea, en inglés)
            ▶️ 3Blue1Brown: redes neuronales (en inglés)
            🌐 MIT OCW 6.036 Introduction to Machine Learning (en inglés)
        

        
            Para tu español
            aprendizaje automático (machine learning) · entrenamiento (training) · sobreajuste (overfitting) · umbral (threshold) · descenso del gradiente (gradient descent) · retropropagación (backpropagation) · falsa alarma (false alarm) · sesgo (bias) · tasa de aprendizaje (learning rate)