Lógica y argumentación: por qué la conclusión se sigue, o no se sigue

Alguien te dice: "Si el puente fuera inseguro, lo habrían cerrado. No lo han cerrado. Así que es seguro". Suena bien. Otra persona dice: "Si llovió, la calle está mojada. La calle está mojada. Así que llovió". Eso también suena bien, hasta que imaginas el camión de limpieza que riega la calle por la madrugada. El primer argumento es bueno. El segundo tiene el mismo aspecto por fuera y es malo, y quien estudió Filosofía te puede decir por qué en unos tres segundos, porque dejó de escuchar de qué trata el argumento y empezó a mirar su forma.

Ese es todo el truco de la materia, y por eso Lógica y argumentación es la primera puerta de la carrera de Filosofía. Todas las demás materias (34/68 Ética, 34/69 Epistemología y el resto) están hechas de argumentos, así que necesitas una manera de preguntarle a cualquiera de ellos: si los puntos de partida fueran verdaderos, ¿tendría que serlo el final?

Esta pieza te da herramientas de trabajo: una máquina de tablas de verdad, un probador de silogismos y un detector de falacias con argumentos inventados. Es una primera mirada, no un curso de lógica. Para el mismo terreno a un paso más suave, lee What Is a Good Argument? (en inglés, 05/03); esta pieza va un paso más allá.

La validez es cuestión de forma; la solidez agrega premisas verdaderas

Un argumento es un conjunto de enunciados, las premisas, que se ofrecen como apoyo de otro, la conclusión. La lógica hace primero una pregunta: ¿es válido? Un argumento es válido cuando es imposible que todas las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. No improbable. Imposible.

Lo sorprendente es que la validez no se fija en si algo es verdad. "Todos los peces son mamíferos; las ballenas son peces; por lo tanto, las ballenas son mamíferos" es perfectamente válido: si las dos premisas fueran verdaderas, la conclusión tendría que serlo. No es sólido, porque una premisa es falsa. Y a la inversa, un argumento puede tener una conclusión verdadera y aun así ser inválido. La validez es una promesa sobre la conexión; la solidez es esa promesa más puntos de partida verdaderos. Un buen crítico pregunta las dos cosas, en ese orden.

Prueba seis argumentos y ubica cada uno. Algunos son trampas.

Sin JavaScript: "Todos los peces son mamíferos…" es válido y no sólido. "Todos los mamíferos respiran aire; las ballenas son mamíferos; por lo tanto, las ballenas respiran aire" es válido y sólido. "Si es martes, la biblioteca está abierta; está abierta; por lo tanto, es martes" es inválido. "Todos los cisnes que he visto son blancos, así que el próximo también lo será" no es válido (es inducción). "París está en Francia, por lo tanto 2 + 2 = 4" es válido en la lógica clásica, porque la conclusión no puede ser falsa. Las premisas contradictorias hacen válido cualquier argumento, pero no sólido.

Dos de esas respuestas incomodan a la gente, y es justo que incomoden. Si la conclusión no puede ser falsa de ninguna manera, nada puede llevar de premisas verdaderas a una conclusión falsa, así que la lógica clásica lo llama válido aunque la premisa no tenga que ver. Y de una contradicción se sigue cualquier cosa. Los lógicos a quienes esto no convence construyeron las lógicas de la relevancia y las lógicas paraconsistentes. La lógica clásica sigue siendo el sistema por defecto de los libros de texto; las otras son rivales vivas, no rarezas. Y aquí hay un dato cercano: según la Stanford Encyclopedia of Philosophy, la lógica paraconsistente se desarrolló de manera independiente en Sudamérica, con las tesis de Florencio Asenjo (1954) y de Newton da Costa (1963), este último impulsor de ese campo en Brasil.

Los conectivos son máquinas que convierten valores de verdad en valores de verdad

Toma las oraciones más simples, las que son verdaderas o falsas. Únelas con "y", "o", "no", "si…entonces". La lógica dice que la verdad del conjunto depende solo de la verdad de las partes: cada conectivo es una pequeña máquina, una función de verdad. Ese es todo el cimiento de la lógica proposicional, planteada por el estoico Crisipo en el siglo III a. C. y reconstruida con símbolos por George Boole en la década de 1840 y por Gottlob Frege en 1879.

Fija P y Q abajo y lee todos los conectivos a la vez.

Sin JavaScript: "P y Q" es verdadera solo cuando ambas lo son. "P o Q" (inclusiva) es falsa solo cuando ambas son falsas. "Si P entonces Q" es falsa solo cuando P es verdadera y Q falsa; es verdadera siempre que P sea falsa.

La que sorprende a todos es "si P entonces Q". En lógica es el condicional material: falso en un solo caso, P verdadera y Q falsa. Así que "si la luna es de queso, entonces 2 + 2 = 5" cuenta como verdadero, porque la parte del "si" es falsa. Eso es una característica de la herramienta más simple, no una afirmación sobre cómo funciona el "si" en español. Los filósofos discuten esa distancia desde el período helenístico; C. I. Lewis construyó condicionales más estrictos en 1912, en parte para evitar estas "paradojas", y Dorothy Edgington y otros sostienen que los condicionales corrientes expresan algo más cercano a una probabilidad condicional. Volverás a ver ese debate en Filosofía del lenguaje (34/73).

Para probar la validez, busca el contraejemplo

Este es el método que un graduado corre en su cabeza. No preguntes "¿esto me suena bien?". Pregunta: ¿puedo describir una situación en la que todas las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa? Si puedes, el argumento es inválido, y esa situación es el contraejemplo. Si honestamente no puedes, es válido. La regla es antigua: así refuta Aristóteles los malos silogismos en los Primeros analíticos (siglo IV a. C.), y así probaban los lógicos de la India sus inferencias con casos de ejemplos "semejantes" y "disímiles".

En lógica proposicional puedes hacerlo de forma mecánica: enumera todas las combinaciones de verdadero y falso para las letras y busca una fila donde las premisas sean todas verdaderas y la conclusión falsa. Elige un ejemplo prearmado o escribe tus propias fórmulas con P, Q, R y ~ (no), & (y), | (o), -> (si…entonces), <-> (si y solo si) y paréntesis.

Sin JavaScript: el modus ponens (P→Q; P; luego Q) y el modus tollens (P→Q; no Q; luego no P) son válidos. La afirmación del consecuente (P→Q; Q; luego P) y la negación del antecedente (P→Q; no P; luego no Q) son inválidas; ambas fallan en la misma fila: P falsa, Q verdadera.

Fíjate en lo que la tabla no hace: nunca pregunta si P es verdadera. Por eso la lógica sirve para argumentos sobre cualquier tema. Fíjate también en el hueco del ejemplo del camión de limpieza: "llovió → mojada" más "mojada" deja abierta la fila en que P es falsa y Q verdadera, así que el argumento tiene un contraejemplo, y un contraejemplo es una prueba de invalidez.

Los silogismos tratan de clases que se traslapan

La primera lógica de Aristóteles trataba de clases: "Todos los mamíferos son de sangre caliente; todas las ballenas son mamíferos; por lo tanto, todas las ballenas son de sangre caliente". Cada enunciado tiene una de cuatro formas: A (todos los X son Y), E (ningún X es Y), I (algunos X son Y), O (algunos X no son Y). Un silogismo tiene dos premisas y una conclusión con tres términos: S (el sujeto de la conclusión), P (su predicado) y M (el término "medio", que aparece en las dos premisas pero no en la conclusión). El término medio puede ocupar cuatro posiciones, las cuatro figuras. Eso da 4 × 4 × 4 × 4 = 256 formas posibles.

¿Cuántas son válidas? Depende de un supuesto silencioso. La lógica moderna, siguiendo a Boole y a John Venn (sus diagramas son de 1880), no supone que cada término tenga miembros, así que "todos los unicornios tienen cuerno" es verdadero aunque no haya ninguno. Con esa lectura, 15 de las 256 formas son válidas. Los lógicos medievales, que suponían que los términos nombran cosas que existen, contaban 24. Las nueve extra son válidas solo si las clases no están vacías. El probador de abajo calcula ambos números por fuerza bruta: prueba las 256 maneras de decidir cuáles de las ocho regiones del diagrama de Venn contienen algo.

Sin JavaScript: de las 256 formas silogísticas, 15 son válidas en la lectura moderna y 24 en la tradicional. Barbara (AAA, figura 1) es válida. La AAA en la figura 2 ("Todos los perros son mamíferos; todos los gatos son mamíferos; por lo tanto, todos los gatos son perros") es inválida: dos cosas pueden compartir un grupo sin ser lo mismo entre sí.

Mira el fallo más común. "Todos los perros son mamíferos; todos los gatos son mamíferos; por lo tanto, todos los gatos son perros." El término medio (mamíferos) nunca dice nada sobre todos los mamíferos, así que las dos premisas pueden ser verdaderas mientras gatos y perros son círculos separados dentro del círculo de los mamíferos. Los lógicos lo llaman término medio no distribuido. Lo verás en la calle como "todos los extremistas leen las noticias; yo leo las noticias; por lo tanto…".

Las falacias son patrones que parecen buenos argumentos

Una falacia es un error de razonamiento tan común que tiene nombre. Algunas son formales, como la afirmación del consecuente, que tu verificador ya rechaza. Otras son informales: la estructura está bien, o floja, pero falla otra cosa, como cambiar de tema, redefinir una palabra a escondidas o meter la conclusión en una premisa.

Abajo hay diez argumentos inventados. Nombra el problema antes de mirar. Tómalo como práctica para ver la jugada, no para ganar discusiones con latín: "eso es una falacia" no es una refutación hasta que muestras dónde falla el apoyo.

Sin JavaScript: los diez argumentos cometen, en orden, afirmación del consecuente, ad hominem, hombre de paja, falso dilema, pendiente resbaladiza, petición de principio, equívoco, post hoc, apelación irrelevante a la autoridad y generalización apresurada.

Dos precauciones que un graduado conserva. Primera, el nombre de una falacia describe el razonamiento, no la conclusión: un mal argumento puede tener una conclusión verdadera, y suponer que es falsa porque el argumento fue malo es otro error (a veces llamado la falacia de la falacia). Segunda, la misma jugada superficial puede estar bien. Citar a un experto es razonable cuando es experta en este campo y otros expertos coinciden; cuestionar el historial de un testigo es pertinente cuando lo que dice depende de su honestidad; una pendiente puede ser de verdad resbaladiza cuando cada paso es probable. La pregunta siempre es si el apoyo es pertinente y suficientemente fuerte.

Inducción y abducción: la fuerza viene en grados

Los argumentos válidos nunca dicen más de lo que sus premisas ya contienen. Eso los hace seguros y estériles. Casi todo lo que razonamos es distinto: del sol que ha salido cada día hasta hoy al amanecer de mañana; de una calle mojada y una cafetería cerrada a "se rompió una tubería". Son argumentos inductivos y abductivos (la "inferencia a la mejor explicación", término que viene de la obra de C. S. Peirce). No son válidos ni inválidos; son más fuertes o más débiles, y un hecho nuevo puede derribarlos.

David Hume señaló entre 1739 y 1748 que ningún argumento puede mostrar que el futuro tiene que parecerse al pasado sin suponerlo; ese es el problema de la inducción (vuelven a él Epistemología, 34/69, y Filosofía de la ciencia, 34/72). Una versión de juguete ayuda. La regla de sucesión de Laplace (1774) dice que, tras n éxitos seguidos y ningún fracaso, partiendo de una probabilidad inicial deliberadamente en blanco, la probabilidad de que el siguiente también sea un éxito es (n + 1) / (n + 2). Es un modelo con un supuesto incorporado, no la verdad sobre el sol; pero muestra la evidencia como un control deslizante, no como un interruptor.

Sin JavaScript: tras 10 éxitos, la probabilidad de un 11.º es 11/12, cerca de 92%, pero la probabilidad de que los 100 siguientes sean todos éxitos es 11/111, cerca de 10%.

Los controles hacen notar algo discreto: una conclusión que dice "siempre" es mucho más difícil de sostener que una que dice "la próxima vez". Una afirmación universal puede morir por un solo contraejemplo (el cisne negro), y por eso los científicos prefieren afirmaciones que se arriesgan.

La lógica se encontró en muchos lugares

Es tentador contar esta historia como griega y luego europea. El registro es más amplio. La silogística de Aristóteles y la lógica proposicional estoica son los hilos griegos. En China, los mohístas tardíos (hacia los siglos IV-III a. C.) dejaron unos Cánones que tratan de los nombres, la definición y "la manera en que las cosas se parecen y se diferencian". En la India, el Nyāya Sūtra, que los estudiosos fechan entre el siglo VI a. C. y el II d. C., dio una inferencia de cinco partes (afirmación, razón, ejemplo, aplicación, conclusión; la ilustración clásica es "hay fuego en la colina, porque hay humo, como en una cocina"), y Dignāga (hacia 480-540 d. C.) dijo que una buena razón debe pasar tres pruebas, que Epistemología (34/69) convierte en un juego. En el mundo islámico, al-Fārābī e Ibn Sīnā (Avicena) escribieron la lógica como herramienta de todas las ciencias y extendieron a Aristóteles al razonamiento modal y condicional. Cada tradición tuvo que contestar la misma pregunta: ¿qué hace que un enunciado se siga de otro?

La lógica también tiene capítulos hispanos. En el siglo XIII, Pedro Hispano (Petrus Hispanus, cuya identidad exacta se discute) escribió las Summulae logicales, un manual de lógica aristotélica que se usó en las universidades europeas hasta el siglo XVII. Y en el México del siglo XVI, el fraile agustino Alonso de la Vera Cruz (nacido en 1507 en Caspueñas, Guadalajara, y muerto en la Ciudad de México en 1584) escribió allí manuales para la Universidad, entre ellos la Recognitio summularum y la Dialectica resolutio (ambas de 1554), considerados de los primeros textos filosóficos impresos en América.

El hito moderno es simbólico: el álgebra de la lógica de Boole (1847, 1854), la Begriffsschrift de Frege (1879), que metió los cuantificadores ("para todo", "existe") en el sistema, y los resultados de Gödel de 1930-31 sobre lo que esos sistemas pueden y no pueden demostrar. La tesis de maestría de Claude Shannon, de 1937, mostró que el álgebra de Boole describe los circuitos de conmutación con relés, y por eso la lógica es también, en silencio, la capa más baja de toda computadora. Fundamentos de las matemáticas (34/80) y Gödel's Incompleteness Theorems (en inglés, 12/08) retoman ese hilo.

Lo que un graduado ve sin pensarlo

• Válido significa "si las premisas fueran verdaderas, la conclusión tendría que serlo"; no dice nada sobre si lo son.
• "Sólido" es "válido, más premisas verdaderas". Pregunta por separado por la conexión y por los hechos.
• Para refutar la forma de un argumento, encuentra un contraejemplo: un caso imaginable con premisas verdaderas y conclusión falsa.
• "Si P entonces Q" más Q no te dice nada sobre P. "Si P entonces Q" más no-Q te da no-P.
• Dos cosas que comparten un grupo no quedan por eso relacionadas entre sí (el término medio no distribuido).
• Una frase que suena a argumento puede ser solo una exigencia, un cuento o una definición. Encuentra primero las premisas y la conclusión.
• Un mal argumento a favor de una conclusión no hace falsa la conclusión.
• La fuerza inductiva es cuestión de grados, y las afirmaciones con "siempre" son las frágiles.

Dónde aparece después

• Epistemología (34/69): el problema de Gettier, el regreso de la justificación y las tres pruebas de Dignāga son ejercicios de buscar el contraejemplo.
• Metafísica (34/70) y Filosofía del lenguaje (34/73): qué significa "si", a qué se refiere un nombre y por qué "el actual rey de Francia es calvo" fue un enigma (Russell, 1905).
• Ética (34/68): los argumentos morales son válidos o no como cualquier otro; el trabajo está en las premisas. Las herramientas de experimentos mentales de esa pieza muestran cómo un principio te compromete con veredictos en otros casos.
• Informática y Derecho: lógica booleana en circuitos, consultas SQL y filtros de búsqueda; cláusulas de contrato con ambigüedad de "y/o"; Razonamiento y redacción jurídica (34/02).
• En el mundo: leer un folleto, un informe de política pública o un titular buscando la jugada "esto se correlaciona con aquello, así que…". Un compañero más ameno en español es El sesgo cognitivo y los engaños de la mente (22/07).

Si quieres profundizar

• 🌐 Curso gratis, en español y en inglés. Logic in Action (Johan van Benthem, Hans van Ditmarsch, Jan van Eijck y Jan Jaspars): libro abierto de lógica, en inglés, con diapositivas de enseñanza en español e inglés preparadas por Fernando Velázquez Quesada. Se usó en cursos de la Universidad de Sevilla, entre otras.
• 🌐 Libro de texto gratis (en inglés). forall x (Open Logic Project, con edición de Calgary de P. D. Magnus y otros): texto abierto de lógica simbólica con licencia libre; no hay versión en español en su página (sí en alemán y portugués).
• 🌐 Curso gratis (en inglés). MIT OpenCourseWare 24.241 Logic I (otoño de 2009, con apuntes, tareas y soluciones): un primer curso completo de lógica formal.
• 📘 Libro de texto (en español). Irving Copi (con Carl Cohen en las ediciones recientes), Introducción a la lógica: un clásico con muchas ediciones en español; fuerte en silogismos y falacias informales. Su equivalente moderno en inglés es Patrick Hurley, A Concise Introduction to Logic (Cengage; en inglés).
• 📘 Más ameno (en inglés). Raymond Smullyan, What Is the Name of This Book? (1978), acertijos de lógica que enseñan jugando; o Graham Priest, Logic: A Very Short Introduction (Oxford).
• 🌐 Enciclopedia gratis (en inglés). Stanford Encyclopedia of Philosophy: Classical Logic.