Cálculo: pendientes, totales y el puente entre ambos

Mira el tablero de un auto. El odómetro dice cuánto has recorrido en total. El velocímetro dice con qué rapidez cambia ese total ahora mismo. Pisas el acelerador y el velocímetro se mueve primero; el odómetro lo sigue, un poco atrás, como un contador paciente que suma lo que el velocímetro fue informando.

Nadie le dio al velocímetro una regla ni un reloj para mirar todo el viaje. Lee un solo instante. Y aun así informa una tasa, que es una afirmación sobre el cambio, a partir de un único momento. ¿Cómo puede un instante decir algo sobre el cambio? Ese enigma es la razón de ser del curso, y la respuesta resultó ser el motor de buena parte de la ingeniería, la informática y la economía modernas.

En economía el mismo enigma se llama "el margen". ¿Cuánto cuesta producir una unidad más? ¿Cuánto más ganas si vendes un poco más? ¿A qué ritmo suben los precios ahora? Son derivadas con otro nombre. Por eso casi toda carrera de Economía, de Administración y de Ingeniería empieza aquí.

Esta es la segunda vez que la biblioteca se encuentra con el cálculo. Cálculo: derivadas, integrales y el lenguaje del movimiento (en inglés, 12/11) es una primera lectura más fácil, con la recta tangente y la suma de rectángulos. Aquí damos un paso más: qué te entrena a ver el curso, cómo se equivoca una computadora (o un ordenador, en España) y dónde se usa la idea después, empezando por el costo marginal de un negocio.

Un límite es el lugar donde se asienta un cálculo

El enigma del velocímetro es este. La velocidad es distancia dividida entre tiempo, pero en un instante no pasa tiempo ni se recorre distancia, así que parece que divides cero entre cero. La salida es dejar de preguntar qué pasa en cero y preguntar hacia dónde se asienta una sucesión de respuestas cada vez mejores. Mide durante un segundo, luego una décima, luego una centésima, y mira cómo la velocidad media se acerca a un número. Ese número es el límite.

Un graduado no carga con la definición formal, pero sí con el hábito: si una cantidad parece 0 ÷ 0, pregunta a qué se acerca. Toma sen(x) ÷ x cuando x tiende a cero, con x en radianes. En x = 0.1 vale 0.99833; en 0.01, 0.99998; en 0.001, 0.9999998. Nunca "es" 1 en cero, porque ahí no está definida, pero se asienta en 1. Ese único límite es la razón de que la derivada del seno resulte ser el coseno.

El error cae a medida que la brecha se encoge, como promete el límite, hasta cerca de h = 10⁻⁸, donde toca fondo en torno a 7 × 10⁻⁹. Si la encoges más, empeora: los dos valores que se restan coinciden en casi todos sus aproximadamente 16 dígitos guardados, y la resta borra la información. En 10⁻¹⁶ el resultado es exactamente 0. Es una lección de informática escondida en un curso de cálculo: el límite es una idea matemática, y una máquina solo puede acercarse hasta cierto punto.

La derivada es una pendiente, y una pendiente es una tasa

Acércate a cualquier curva suave y se endereza. La inclinación de ese tramito recto es la derivada. En palabras simples: cuánto se mueve la salida por cada empujoncito de la entrada. Si la curva es distancia contra tiempo, la derivada es la velocidad. Si es temperatura contra posición, es qué tan bruscamente se calienta al caminar. Si es el costo total contra las unidades producidas, es el costo de la siguiente unidad. Tasa y pendiente son una sola cosa vista de dos maneras.

El verdadero capital del graduado no es calcular derivadas sino leerlas. Donde la curva sube, la derivada es positiva. Donde es plana, la derivada es cero. Donde la curva es más empinada, la derivada está en su máximo. Pruébalo: la gráfica de abajo es la derivada de la de arriba, dibujada punto por punto.

Revisa las tres curvas. Cada vez que la de arriba llega a una cima o a un valle, la de abajo cruza el cero. Cada vez que la de arriba va subiendo, la de abajo está sobre el eje. Para x³ − 3x la pendiente es 3x² − 3, que vale cero en x = −1 y en x = 1: la cima de la loma y el fondo del valle.

Una advertencia útil para quien lee noticias económicas. Una tasa casi siempre se expresa en relación con el nivel: la inflación anual no es "cuántos pesos subió el índice de precios", sino cuánto subió por cada unidad que ya valía. En símbolos, es la derivada del nivel dividida entre el nivel. Esa pequeña división explica por qué una inflación constante, aunque parezca modesta, duplica los precios en un tiempo predecible: con 7% anual, los precios se duplican en ln 2 ÷ ln 1.07 ≈ 10.2 años, y con 14% anual, en ≈ 5.3 años. Y explica por qué e^x aparece en el interés compuesto continuo: es la función cuya pendiente es ella misma, la que crece a una tasa proporcional a lo que ya tiene.

La regla de la cadena: las tasas se multiplican a lo largo de una cadena

Las tasas suelen venir en cadenas. Los pedales de una bicicleta mueven el plato, la cadena mueve la rueda trasera, la rueda mueve la bicicleta. Si la rueda da 3 vueltas por cada vuelta de pedal, y la bicicleta avanza 2 metros por cada vuelta de rueda, la bicicleta avanza 6 metros por vuelta de pedal. Se multiplican las razones. Esa es la regla de la cadena, y es la regla más usada del curso.

El caso clásico es un globo. Su volumen depende de su radio, y el radio depende del tiempo. A radio r la superficie tiene área 4πr², así que un centímetro más de radio añade una cáscara de volumen cercano a 4πr² cm³: eso es dV/dr. Multiplícalo por la rapidez con que crece el radio y tendrás la rapidez con que crece el volumen. Con r = 10 cm, creciendo 2 cm por segundo, el volumen crece a 4π × 100 × 2 ≈ 2,513 cm³ por segundo. Mueve los deslizadores y compruébalo.

El dibujo muestra por qué funciona: la cáscara sombreada es lo que agrega un segundo, una piel de área 4πr² y de grosor igual al crecimiento del radio. La misma regla corre dentro de toda red neuronal, donde la "cadena" tiene decenas de capas y la multiplicación se llama retropropagación (Aprendizaje automático, 34/30; Cálculo multivariable, 34/33). En economía, la cadena es cualquier efecto indirecto: un cambio en el precio del petróleo mueve el costo del transporte, que mueve el precio de los alimentos; la tasa total es el producto de las tasas intermedias.

Donde la pendiente es cero, algo es lo mejor

En la cima de una colina dejas de subir y todavía no empiezas a bajar. La pendiente es cero. Así que para hallar el mayor o el menor valor de cualquier cosa suave (lo más resistente, lo más barato, lo más ligero, lo más rápido) busca dónde su derivada vale cero. Eso es la optimización, y es la razón por la que a ingenieros y economistas les encanta la derivada.

Toma una lámina de cartón de 30 cm por 20 cm. Recorta un cuadrado de lado x en cada esquina y dobla los lados para formar una caja abierta. Su volumen es V = x(30 − 2x)(20 − 2x). Si cortas muy poco, la caja queda baja. Si cortas demasiado, queda angosta. En medio hay una x óptima, y la pendiente te dice dónde: en x ≈ 3.92 cm el volumen alcanza su máximo, de unos 1,056 cm³.

Fíjate en lo que hace la pendiente mientras arrastras. A la izquierda de la cima la pendiente es positiva, así que conviene un corte mayor. A la derecha es negativa, así que conviene uno menor. En la cima vale cero y nada cercano es mejor. El descenso del gradiente, el algoritmo que entrena los modelos de aprendizaje automático, es exactamente este razonamiento repetido: mira la pendiente, da un paso cuesta abajo, repite.

Ahora el mismo razonamiento en un negocio. Un taller de cerámica vende q tazas por semana. Para vender más tiene que bajar el precio: cobra p = 20 − 0.05q dólares por taza, así que su ingreso es R(q) = 20q − 0.05q². Producir cuesta un fijo de 200 dólares a la semana más un costo que sube a medida que el taller se aprieta: C(q) = 200 + 4q + 0.02q². La ganancia es R − C = 16q − 0.07q² − 200, y su pendiente es el ingreso marginal (20 − 0.1q, lo que trae la siguiente taza) menos el costo marginal (4 + 0.04q, lo que cuesta la siguiente taza). Mientras la siguiente taza traiga más de lo que cuesta, conviene hacerla; la ganancia es máxima justo donde ambos se igualan, en q = 16 ÷ 0.14 ≈ 114.3 tazas.

Es la regla que todo curso de microeconomía repite, "ingreso marginal igual a costo marginal", y ahora la ves como lo que es: ganancia con pendiente cero. Tiene una versión honesta para la vida real: casi nadie conoce sus curvas con esta exactitud, pero quien piensa en el margen (¿lo que traería una unidad más supera lo que cuesta?) está haciendo cálculo aunque no escriba una derivada.

La integral suma una tasa para obtener un total

El odómetro es el velocímetro sumado a lo largo del tiempo. Dibuja la velocidad contra el tiempo; el área entre la curva y el eje del tiempo es la distancia. Esa es la integral. Donde se conozca una tasa y se quiera un total (litros por minuto que entran a un tanque, vatios que entran a una batería, ventas por día que suman un mes, el costo marginal que suma el costo total) la respuesta es un área.

Inténtalo antes de seguir leyendo. Un auto acelera de forma constante de 0 a 20 m/s en 10 segundos, avanza a 20 m/s durante 30 segundos y luego frena de forma constante hasta detenerse en 10 segundos. ¿Qué distancia recorrió?

La forma son dos triángulos y un rectángulo: ½ × 10 × 20 + 30 × 20 + ½ × 10 × 20 = 100 + 600 + 100 = 800 m. El error más común, 1,000 m, usa la velocidad máxima durante los 50 segundos y olvida que el auto pasa un rato más lento que eso.

El teorema fundamental: dos trabajos, una sola idea

Aquí está la sorpresa que convierte el curso en una sola materia. Arma un total acumulado a partir de una tasa: lo que hay en el tanque después del tiempo T. Luego pregunta con qué rapidez crece ese total en T. La respuesta es simplemente la tasa en T. Acumular y derivar se deshacen mutuamente, como el odómetro y el velocímetro. Newton y Leibniz, trabajando por separado a fines del siglo XVII, lo vieron cada uno.

Su poder práctico es que puedes hallar un total sin sumar nada: encuentra una función cuya pendiente sea tu tasa y resta sus valores en los dos extremos. Abajo, el agua entra a un tanque a un ritmo que ondula: 4 + 3 sen(t/2) litros por minuto. Arrastra el tiempo y mira la gráfica de la derecha, el total del tanque, que se empina justo cuando la tasa de la izquierda es alta.

La lectura comprueba el teorema de dos maneras: el área sumando 600 rebanadas delgadas, y la fórmula exacta 4T + 6(1 − cos(T/2)). En T = 12 minutos ambas dan 48.24 litros. La pendiente del total en ese momento es 4 + 3 sen 6 ≈ 3.16 litros por minuto, la tasa en ese momento.

Todo lo suave es casi una recta

El último hábito es el más útil en la ingeniería de todos los días. Cerca de cualquier punto, una curva suave es casi su recta tangente, así que puedes reemplazarla por una recta y acertar casi. La regla del ángulo pequeño sen x ≈ x es la razón de que un péndulo oscile a un ritmo constante. La regla √(1 + x) ≈ 1 + x/2 da raíces cuadradas mentales: √1.1 ≈ 1.05, valor verdadero 1.0488. En economía es el pan de cada día: un cambio pequeño de precio mueve la cantidad aproximadamente en proporción, y de ahí sale la elasticidad.

¿Qué tan pequeña es pequeña? El error se encoge más rápido que el paso. Si reduces el paso a la mitad, el error cae unas cuatro veces para √(1 + x) y e^x, y unas ocho veces para el seno.

Lo que un graduado ve sin pensarlo

• Una tasa y una pendiente son lo mismo, y "¿con qué rapidez?" siempre significa una derivada.
• Un total es el área bajo una tasa, y sumar rebanadas delgadas es un cálculo, no un misterio.
• Las tasas se multiplican a lo largo de una cadena: engranajes, unidades, capas de una red, efectos indirectos en una economía.
• El mejor valor de una cantidad suave está donde su pendiente es cero; en un negocio, donde el ingreso marginal iguala al costo marginal.
• Derivar y acumular son trabajos inversos, así que muchas veces un total se encuentra sin sumar.
• Una tasa de inflación o de crecimiento es una derivada dividida entre el nivel.
• De cerca, todo lo suave es una recta, y los ingenieros y los economistas lo aprovechan constantemente.
• Restar dos números casi iguales en una computadora destruye precisión, así que una estimación ingenua de la pendiente empeora cuando la brecha se vuelve demasiado pequeña.

Dónde aparece después

• Microeconomía (34/14): costo marginal, ingreso marginal, utilidad marginal y elasticidad son derivadas; la regla "marginal igual a marginal" es la de la caja de arriba.
• Cálculo multivariable (34/33): la misma optimización con muchas variables a la vez, como elegir la mejor canasta con un presupuesto.
• Macroeconomía (34/35): crecimiento, inflación y desempleo son tasas de cambio; los modelos de crecimiento son ecuaciones sobre tasas.
• Econometría (34/36) y Probabilidad y estadística (34/19): la probabilidad de un intervalo de resultados es el área bajo una curva de densidad, y la mejor recta por los datos se halla igualando una derivada a cero.
• Ecuaciones diferenciales (en inglés, 34/03) y Física I: mecánica (en inglés, 34/06): cuando una ley está escrita como tasa, resolverla es integrar; la velocidad es la derivada de la posición.
• Aprendizaje automático (34/30): los modelos se entrenan siguiendo pendientes cuesta abajo.

Si quieres profundizar

• 🌐 Gratis, en español. OpenStax, Cálculo, volumen 1: un libro de texto completo y gratuito, con funciones, límites, derivadas e integrales. Y el curso Cálculo I (2021), de la Universidad de Cantabria, en su OpenCourseWare: números, funciones de una variable, series, integración y funciones de varias variables, con ejercicios.
• 📘 Libro de texto. James Stewart, Daniel Clegg y Saleem Watson, Cálculo de una variable: trascendentes tempranas (Cengage, 2021; primera edición en español, que corresponde a la novena en inglés). El texto más asignado; muy bueno en ejemplos resueltos y en problemas.
• ▶️ Más amable (en inglés). La serie Essence of Calculus de Grant Sanderson (3Blue1Brown), un recorrido visual por las mismas ideas. Y de Steven Strogatz, Infinite Powers, para la historia.
• 🌐 Curso de bajo costo, en español. 1.- El Cálculo - Modelo Lineal, del Tecnológico de Monterrey: un repaso de la base (funciones lineales y razón de cambio) antes del cálculo propiamente dicho (Coursera: inscribirse es gratis; el acceso completo a materiales y tareas es de pago, con prueba gratuita). También gratis y en inglés: MIT OpenCourseWare 18.01SC Single Variable Calculus, con videos, notas y problemas.