Pídele a un niño el número más grande que conozca y dile "más uno". Acabas de hacer matemáticas. No revisaste todos los números. Diste un argumento corto que sirve para todos, y ninguna lista podría igualarlo. Ese paso, certeza sobre algo interminable a partir de unos pocos pasos de razonamiento, es de lo que trata de verdad un primer curso de matemáticas.
También da un poco de miedo, porque obliga a preguntar qué pasos están permitidos. ¿Qué cuenta como una jugada legal? ¿De qué están hechos los números? ¿Hay un infinito más grande? Hacia 1900 los matemáticos descubrieron que las respuestas laxas que habían usado durante siglos producían contradicciones reales, y reconstruyeron la planta baja. Lo que construyeron, y el descubrimiento de 1931 de que el edificio nunca podrá terminarse, es lo que enseña este curso.
Un graduado no carga los axiomas en la cabeza. Carga con una intuición de lo que es una demostración, de qué enunciados son resbaladizos, y del hecho de que "infinito" no es una sola cosa.
- Quién la cursa
- Todo estudiante de Matemáticas, en el año 1 o a comienzos del 2, normalmente como un curso de "introducción a la demostración" (en muchos planes de habla hispana aparece como "lógica y teoría de conjuntos", "fundamentos de la matemática" o "matemática discreta"). Los estudiantes de Computación se topan con una versión más ligera como matemática discreta. La lógica y la teoría de conjuntos vuelven después como optativas para quien quiera ir más lejos. En una carrera de Filosofía suele cursarse en los últimos años, como el punto donde la filosofía se encuentra con las matemáticas.
- Para qué sirve
- Para aprender las reglas del juego (conjuntos, enunciados lógicos, demostración) de modo que todos los cursos posteriores merezcan confianza, y para aprender dónde se acaban las reglas.
- Viene después de:
- Lógica y argumentación (34/67). (En una carrera de Matemáticas, el antecedente es Matemática discreta, en inglés 34/08.)
- Lleva a:
- Análisis real (en inglés, 34/72) y Álgebra abstracta (en inglés, 34/73), y a través de ellas Topología (en inglés, 34/76), Teoría de números (en inglés, 34/75) y Análisis complejo (en inglés, 34/74). En esta colección, además, conecta con Filosofía contemporánea (34/78), donde aparecen Frege y Russell, y con Cálculo (34/32), cuya definición de límite usa los cuantificadores de esta pieza.
- Qué te da esta pieza
- No podrás escribir una derivación formal de teoría de conjuntos. Sabrás cómo se siente una demostración por contradicción, por qué funciona el argumento diagonal de Cantor, por qué "el conjunto de todos los conjuntos" no está permitido y qué demostró de verdad Gödel. Lecturas más fáciles en esta biblioteca (en inglés): Infinity Comes in Sizes (12/16) y Gödel's Incompleteness Theorems (12/08). Esta pieza te hace construir los argumentos tú mismo.
Todo es una colección: los conjuntos
Un conjunto es una colección de cosas, y lo único que puedes preguntar de un conjunto es qué cosas están en él. El orden no importa, las repeticiones no importan. {1, 2, 3} y {3, 2, 1, 1} son el mismo conjunto. Suena demasiado escaso para construir algo encima, pero hacia 1900 casi toda la matemática se había reescrito en el lenguaje de los conjuntos: una función es un conjunto de pares entrada-salida, un número puede ser un conjunto (el cero es el conjunto vacío, el uno es el conjunto que contiene al conjunto vacío, y así sucesivamente), una figura es un conjunto de puntos.
La primera sorpresa es qué tan rápido se multiplican los conjuntos. Un subconjunto es una colección que puedes formar escogiendo algunos elementos de un conjunto. Para cada elemento hay dos opciones, dentro o fuera, y las opciones son independientes. Así que un conjunto con n elementos tiene
Cinco elementos dan 32 subconjuntos; diez dan 1,024; apenas 30 dan más de mil millones. La colección de todos los subconjuntos de S es el conjunto potencia (o conjunto de partes) de S, y volverá a importar cuando lleguemos al infinito. Pon y quita elementos abajo; cada elección de dentro/fuera es un número binario, y por eso la cuenta es una potencia de dos.
Sin JavaScript: un conjunto con 4 elementos tiene 2 × 2 × 2 × 2 = 16 subconjuntos, incluidos el conjunto vacío y el conjunto entero. Con 6 elementos hay 64.
Lógica: "para todo" y "existe" no se pueden intercambiar
Una demostración es una cadena de enunciados, así que la primera destreza es leer uno con exactitud. Dos expresiones cargan casi todo el peso. "Para todo" (∀) afirma algo de cada miembro; un solo contraejemplo lo mata. "Existe" (∃) afirma que al menos un miembro cumple; un solo ejemplo lo demuestra. Y el orden en que los escribes cambia el significado.
"Todos aman a alguien" es: para cada persona, existe alguien a quien ama. "Alguien es amado por todos" es: existe una persona a la que todos aman. El primero puede ser cierto mientras el segundo es falso, si cada quien ama a una persona distinta. Lo inverso nunca ocurre. Esta es la trampa exacta de la definición de límite (Cálculo, 34/32): "para todo ε existe un δ" no es lo mismo que "existe un δ que sirve para todo ε", y confundirlos es como nacen las demostraciones falsas.
Dos hábitos más. Para negar un enunciado, invierte los cuantificadores y niega el final: lo opuesto de "todos aman a alguien" es "alguien no ama a nadie". Y una implicación "si P entonces Q" solo se rompe con P verdadera y Q falsa; es equivalente a su contrarrecíproca, "si no Q entonces no P" ("si el pasto está seco, no llovió"). Muchas demostraciones son más fáciles al revés. Arma tu propia relación abajo.
Las filas aman a las columnas. Pulsa una celda para cambiarla.
Sin JavaScript: si Ana ama a Beto, Beto ama a Carla, Carla ama a Diego y Diego ama a Ana, entonces todos aman a alguien, pero nadie es amado por todos. Si los cuatro aman a Diego, ambos enunciados son ciertos.
Demostración por contradicción: no existe el primo más grande
La jugada más poderosa de las matemáticas es suponer lo contrario de lo que quieres y mirar cómo se desmorona. Dos demostraciones, ambas de más de 2,000 años, muestran cómo se siente. Euclides dio la primera en sus Elementos; la segunda suele atribuirse a los primeros matemáticos griegos.
Hay infinitos primos. Supón, para llegar a una contradicción, que tuvieras una lista completa de primos. Multiplícalos todos y suma 1; llámalo N. Divide N entre cualquier primo de tu lista y el residuo es 1, porque la parte del producto se divide exacto. Así que ningún primo de la lista divide a N. Pero todo número mayor que 1 tiene algún factor primo (ese es el hecho silencioso en que se apoya la demostración), así que existe un primo fuera de tu lista. La lista no estaba completa. El truco es el "+1": fabrica un número al que tu lista no llega. Nota que N mismo no tiene por qué ser primo; la demostración solo dice que un primo nuevo lo divide.
La raíz cuadrada de 2 es irracional. Supón que √2 = p/q en términos mínimos. Entonces p² = 2q², así que p² es par, así que p es par, digamos p = 2r. Entonces 4r² = 2q², así que q² = 2r² y q también es par. Que ambos sean pares contradice "términos mínimos". El truco es escoger primero los términos mínimos, de modo que un factor común de 2 quede prohibido.
Elige los primos de tu lista "completa". La página los multiplica, suma 1 y factoriza el resultado.
Sin JavaScript: los primos 2, 3, 5, 7, 11 y 13 se multiplican para dar 30,030, así que N = 30,031. No es divisible entre ninguno de ellos; es igual a 59 × 509, dos primos que tu lista omitió.
El infinito viene en tamaños: la diagonal de Cantor
Dos conjuntos tienen el mismo tamaño si puedes emparejar sus elementos uno a uno, sin que sobre ninguno en ningún lado. Así comprueba un niño que cada invitado tiene silla. Aplicado a conjuntos infinitos da resultados extraños: los números pares se emparejan con todos los números naturales (2n con n), así que hay "tantos" pares como números. Un conjunto que puedes listar como un primer, segundo, tercer... elemento se llama numerable. Los números naturales, los enteros e incluso las fracciones son numerables.
En 1891 Georg Cantor publicó un argumento breve de que los números reales no lo son. Toma cualquier lista supuesta de sucesiones infinitas de 0 y 1 (piensa: qué números están en cada conjunto). Construye una sucesión nueva bajando por la diagonal e invirtiendo cada entrada: difiere de la primera sucesión en el primer lugar, de la segunda en el segundo lugar, y así sucesivamente. No puede estar en ningún lugar de la lista. El truco es hacer que el objeto nuevo discrepe del n-ésimo elemento en el n-ésimo lugar, de modo que difiere de todos a la vez.
Lee cada fila de la cuadrícula como un subconjunto de {1, ..., n}, y el argumento se vuelve el teorema de Cantor: ninguna lista de subconjuntos de S, indexada por los elementos de S, puede contener todos los subconjuntos. El que falta es D = {x : x no está en su propia fila}. Eso funciona para cualquier conjunto, así que el conjunto potencia siempre es estrictamente más grande, y no hay un infinito más grande que todos. La demostración es la misma que puedes ejecutar en una cuadrícula finita.
Cada fila es un subconjunto de {1..n}: una celda llena significa que ese número está en él. Pulsa las celdas para editar. La fila de abajo es la diagonal, invertida.
Sin JavaScript: escribe 3 filas cualesquiera de 3 bits. Invierte la diagonal. La fila nueva difiere de la fila 1 en la columna 1, de la fila 2 en la columna 2 y de la fila 3 en la columna 3, así que no es ninguna de ellas, sin importar cómo llenes las filas.
Los nombres de Cantor para los tamaños: el infinito numerable es ℵ0 ("alef cero"); los reales tienen tamaño 2ℵ0, que es mayor. Si hay algo entre ambos es la hipótesis del continuo, y veremos qué pasó con esa pregunta.
La paradoja de Russell y los axiomas
La teoría de conjuntos primitiva permitía que cualquier regla definiera un conjunto: "el conjunto de todas las cosas rojas", "el conjunto de todos los conjuntos". Hacia 1901 Bertrand Russell preguntó por el conjunto R de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. ¿Es R miembro de sí mismo? Si lo es, entonces es un conjunto que se contiene a sí mismo, así que por su propia regla debería quedar fuera. Si no lo es, es un conjunto que no se contiene a sí mismo, así que debería estar dentro. En ambos casos, una contradicción. Es el barbero que afeita exactamente a los hombres que no se afeitan a sí mismos: ¿quién afeita al barbero?
La regla: el barbero afeita a todo hombre que no se afeita a sí mismo, y a nadie más. Adivina y luego pruébalo.
Sin JavaScript: si el barbero se afeita a sí mismo, la regla dice que solo afeita a hombres que no lo hacen, así que no debería. Si no se afeita, la regla dice que debe hacerlo. No existe tal barbero, y no existe tal conjunto.
Gottlob Frege, que acababa de terminar el primer gran intento de fundar la aritmética en la lógica, recibió la carta de Russell en el peor momento. La reparación que usa hoy la mayor parte de la matemática es la teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel (ZF, o ZFC con el axioma de elección). El sistema de Zermelo de 1908 sustituyó "cualquier regla forma un conjunto" por algo más seguro, la separación: dado un conjunto A, puedes recortar los miembros que cumplen una regla, pero no puedes sacar un conjunto de la nada. Entonces {x en A : x no está en x} está bien; simplemente resulta no ser miembro de A. Fraenkel y Skolem afinaron el sistema en 1922 y añadieron el reemplazo. Sus ingredientes principales, en palabras sencillas:
| Axioma | Qué te permite hacer |
|---|---|
| Extensionalidad | Conjuntos con los mismos miembros son el mismo conjunto. |
| Par, Unión | Formar {a, b}; reunir los miembros de los miembros. |
| Conjunto potencia | Todos los subconjuntos de un conjunto forman un conjunto. |
| Infinito | Existe un conjunto infinito (los números naturales). |
| Separación, Reemplazo | Recortar con una regla; cambiar miembros por sus imágenes. |
| Fundación | Ningún conjunto se contiene a sí mismo, ni hay cadena infinita descendente de pertenencias. |
| Elección | De cualquier familia de conjuntos no vacíos puedes escoger un elemento de cada uno. |
El axioma de elección es el que tiene historia. Hace falta para muchos teoremas (todo espacio vectorial tiene una base) y también da otros raros, como la paradoja de Banach–Tarski de 1924, que corta una esfera en piezas que se reensamblan en dos esferas del mismo tamaño. Las piezas no son medibles, así que no se viola nada físico. La mayoría de los matemáticos lo acepta; los matemáticos constructivistas, que exigen construcciones explícitas, no. Un graduado sabe cuáles de sus demostraciones lo usan.
Lo que las reglas no pueden zanjar: Gödel y el continuo
David Hilbert esperaba un único sistema formal lo bastante fuerte para toda la matemática, demostrablemente libre de contradicción y capaz de decidir cualquier enunciado. En 1931 Kurt Gödel mostró que eso no puede lograrse. Su primer teorema de incompletitud: cualquier sistema consistente que pueda expresar la aritmética básica, y cuyos axiomas puedan listarse con un programa de computadora, tiene enunciados verdaderos que no puede demostrar. Su segundo teorema: tal sistema no puede demostrar su propia consistencia.
El esquema tiene tres pasos, y el primero es el que hay que ver. El truco es convertir enunciados en números. Asigna un código a cada símbolo y codifica una fórmula elevando primos sucesivos a esos códigos. Ahora un enunciado sobre fórmulas es un enunciado sobre números, que el sistema puede expresar. Segundo, con algo de trabajo, "este número codifica una demostración de aquella fórmula" se vuelve un enunciado aritmético. Tercero, construye una oración G que diga, por medio de la codificación, "no soy demostrable". Si el sistema demuestra G, demuestra algo falso (suponiendo que es sólido). Si no la demuestra, entonces G es verdadera e indemostrable. Prueba la codificación tú mismo.
Sin JavaScript: con los códigos 0→1, S→2, +→3, =→4, la fórmula "0=0" es 21 × 34 × 51 = 810. Factoriza 810 y puedes leer la fórmula de vuelta.
El resultado de Gödel no volvió poco fiable a la matemática. Dijo que los cimientos nunca están "terminados". Y tiene un hermano concreto. La hipótesis del continuo dice que no hay nada entre el tamaño de los números naturales y el de los reales. Gödel mostró en 1940 que ZFC no puede refutarla (suponiendo que ZFC es consistente); Paul Cohen mostró en 1963, con un método nuevo llamado forcing (o "forzamiento"), que ZFC tampoco puede demostrarla. Los teóricos de conjuntos siguen sin ponerse de acuerdo sobre qué significa eso: unos esperan que un nuevo axioma convincente la resuelva, y otros piensan que no tiene una respuesta verdadera única. Hasta donde se sabe, la respuesta no está en los axiomas que tenemos.
Dos estatus más para distinguir lo abierto de lo cerrado. Cerrado: los teoremas de incompletitud y la independencia de la hipótesis del continuo están demostrados. Abierto: si algún axioma nuevo y natural decide la hipótesis del continuo. Y la pregunta más antigua que hicimos, si ZFC mismo es consistente, no puede demostrarse dentro de ZFC (si lo es), por el segundo teorema de Gödel.
Lo que un graduado ve sin pensarlo
- Un enunciado con "para todo" lo mata un solo contraejemplo; uno con "existe" lo demuestra un solo ejemplo. El orden de los dos cambia el significado.
- Para demostrar "si P entonces Q" puedes demostrar "si no Q entonces no P"; para demostrar que algo nunca ocurre, supón que ocurre y sigue la consecuencia.
- Un subconjunto es una elección de dentro/fuera para cada elemento, así que un conjunto de n cosas tiene 2n subconjuntos.
- "Infinito" no es de un solo tamaño. Emparejar cosas una a una es la prueba, y la diagonal supera a cualquier lista.
- "El conjunto de todo lo que cumple X" es peligroso. Recorta de un conjunto que ya tienes.
- Toda demostración parte de algo supuesto. Las preguntas honestas son qué axiomas, y qué se sigue.
- Hay enunciados, verdaderos o no, que un sistema dado no puede zanjar, y eso es un teorema, no una falta de esfuerzo.
Dónde aparece después
- Análisis real (en inglés, 34/72) y Cálculo (34/32): la definición ε–δ son cuantificadores anidados, y los números reales se construyen con conjuntos de racionales.
- Álgebra abstracta (en inglés, 34/73) y Álgebra lineal (34/34): un grupo es un conjunto con una operación, y todo se demuestra desde axiomas con el estilo que acabas de conocer.
- Topología (en inglés, 34/76): un espacio es un conjunto con una familia elegida de subconjuntos, y el axioma de elección aparece como un teorema real (el de Tychonoff).
- Filosofía contemporánea (34/78) y Lógica y argumentación (34/67): Frege, Russell, Wittgenstein y la lógica como herramienta de análisis.
- Computación: el argumento diagonal reaparece como la demostración de Turing de que ningún programa puede decidir si todo programa se detiene. El mismo truco, aplicado a programas en vez de a números.
- En la práctica: asistentes de demostración como Lean y Coq comprueban demostraciones contra un fundamento fijo, justo la idea de "jugadas legales" hecha mecánica.
Si quieres profundizar
- 📘 Libro de texto gratis (en inglés). Richard Hammack, Book of Proof. El primer texto estándar y gratuito sobre demostración, conjuntos y lógica, que el autor ofrece en línea.
- 📘 Libro de texto (en inglés). Herbert Enderton, Elements of Set Theory (Academic Press, 1977). El siguiente paso clásico hacia la teoría axiomática de conjuntos, si quieres el desarrollo real de ZF.
- 📘 Historia (en español). José Ferreirós, El nacimiento de la teoría de conjuntos (Ediciones de la Universidad Autónoma de Madrid, 1992 o 1993 según la fuente): el origen de la teoría de conjuntos contado por un historiador de la matemática. Su versión en inglés es Labyrinth of Thought.
- 📘 Sobre Gödel (en español). Ernest Nagel y James R. Newman, El teorema de Gödel (Tecnos): un clásico breve y asequible sobre la incompletitud.
- 📘 Más ameno (en inglés). Agustín Rayo, On the Brink of Paradox (MIT Press, 2019). Rompecabezas del infinito al teorema de Gödel, casi sin requisitos formales. Rayo es un filósofo mexicano y enseña en el MIT.
- 🌐 Curso gratis (en inglés). MIT OpenCourseWare 24.118 Paradox and Infinity (primavera de 2019, a cargo de Agustín Rayo): infinitos, paradojas, computabilidad y Gödel, construido sobre su libro. Si tu universidad publica un curso abierto de lógica o de matemática discreta en español, es una buena segunda vía.
La matemática se apoya en tres cosas que ahora puedes ver: los conjuntos como materia prima, la lógica con sus cuidadosos "para todo" y "existe", y la demostración como la única vía hacia la certeza sobre lo interminable. Explican las sorpresas (más de un infinito, un conjunto que no puede existir) y el límite (ninguna lista finita de reglas lo decide todo).
Prueba esto: esta semana, toma cualquier afirmación de "siempre" o "nunca" que oigas ("ya nadie lee") y niégala con exactitud. Fíjate en que la negación solo necesita un ejemplo.
Fuentes. El conteo de conjuntos, la lógica de cuantificadores, el argumento de Euclides sobre los primos, la demostración de √2 y la diagonal y el teorema de Cantor son matemática estándar de libro de texto (Hammack; Enderton). Artículo de la diagonal de Cantor: 1891. Paradoja de Russell hacia 1901, axiomas de Zermelo de 1908 con separación, y reemplazo añadido por Fraenkel y Skolem en 1922: Stanford Encyclopedia of Philosophy y las biografías de MacTutor. Gödel 1931 (incompletitud); Gödel 1938–40 (la hipótesis del continuo es consistente con ZFC); Cohen 1963 (la hipótesis del continuo es independiente, forcing): relatos estándar; las fuentes difieren un poco en el año exacto de Gödel (anunciado en 1938–39, monografía de 1940). Banach–Tarski 1924. Curso: MIT OCW 24.118 (primavera de 2019). Todos los números que muestran los interactivos se calcularon en node: 2n subconjuntos para n=1..6; 2·3·5·7·11·13+1 = 30,031 = 59×509; 810 = 2×34×5.
- 🌐 MIT OCW 24.118 Paradox and Infinity (gratis, en inglés)
- 📘 Ferreirós, El nacimiento de la teoría de conjuntos · Nagel y Newman, El teorema de Gödel (en español)
- 📘 Rayo, On the Brink of Paradox · Hammack, Book of Proof (en inglés)