Teoría de juegos: cuando mi mejor jugada depende de la tuya

Dos gasolineras se enfrentan a ambos lados de una carretera. Si las dos cobran un precio justo, las dos ganan bien. Si una baja su precio, se lleva a los clientes y gana más, por un tiempo. Así que cada una está tentada de bajar. Las dos bajan. Ahora las dos ganan menos que antes, y ninguna puede subir el precio sola sin perder a todos. Nadie fue tonto. Cada una hizo lo sensato dado lo que la otra podía hacer.

Ese patrón, una trampa construida enteramente con decisiones sensatas, es lo primero que la teoría de juegos te enseña a ver. Luego te enseña a salir de la trampa: repitiendo el juego, cambiando quién mueve primero, cambiando las reglas. La misma caja de herramientas explica el diseño de las subastas del espectro de radio y el emparejamiento de donantes de riñón.

Jugadores, estrategias, pagos y el equilibrio de Nash

Un juego tiene tres ingredientes: los jugadores (quién decide), las estrategias (qué puede hacer cada uno) y los pagos (lo que obtiene cada uno por cada combinación de decisiones, en lo que le importe: dinero, tiempo, votos, supervivencia). Dos jugadores con dos opciones caben en una pequeña cuadrícula, la matriz de pagos. Un jugador elige la fila, el otro la columna, y cada casilla tiene dos números: primero el pago del jugador de la fila, luego el de la columna.

Dos ideas resuelven casi todas esas cuadrículas. Una estrategia dominante es la que es mejor para ti haga lo que haga el otro: si existe, juégala. Cuando ninguno la tiene, busca un equilibrio de Nash: un par de elecciones en que ninguno podría mejorar cambiando solo la suya. John Nash demostró en 1950 que todo juego finito tiene al menos uno, quizá en estrategias mixtas (tirar un dado entre opciones). Nash compartió el Nobel de Economía de 1994 con John Harsanyi y Reinhard Selten.

Sin JavaScript: en el dilema del prisionero (5, 3, 1, 0), traicionar es dominante para ambos jugadores, el único equilibrio de Nash es que ambos traicionen y obtengan 1 cada uno, y si ambos cooperaran obtendrían 3 cada uno.

Prueba los ejemplos y lee los veredictos. El gallina y el juego de manejar tienen dos equilibrios puros y uno mixto al 50:50; cara o cruz no tiene ningún equilibrio puro, solo el mixto, y por eso un portero y un pateador de penales deben ser impredecibles. Si en cara o cruz el jugador de la fila se inclina aunque sea un poco por cara, el de la columna lo explota. El economista Ignacio Palacios-Huerta lo llevó al campo: en "Professionals Play Minimax" (Review of Economic Studies, 2003) mostró que en el fútbol profesional, pateadores y porteros mezclan sus decisiones de un modo cercano al que predice la teoría.

El dilema del prisionero: por qué los listos eligen mal

Merrill Flood y Melvin Dresher lo idearon en la RAND Corporation en 1950, y Albert Tucker le dio su historia: dos sospechosos, interrogados por separado. Si callas (cooperas), los dos reciben una condena leve. Si traicionas al otro (traicionas) sales libre mientras él recibe la peor. Si los dos traicionan, los dos reciben una condena pesada. Con puntos en lugar de años, los pagos habituales son: tentación 5, cooperación mutua 3, traición mutua 1, ser traicionado 0.

Haga lo que haga el otro, traicionar te da más: 5 supera a 3 si ella coopera, 1 supera a 0 si ella traiciona. Así que los dos traicionan y los dos obtienen 1, cuando cooperar habría dado 3 a cada uno. El equilibrio es estable y malo. Esa es la lógica de las carreras armamentistas, la sobrepesca, las guerras de precios y las dos gasolineras. Ahora juégalo. Diez rondas contra una computadora cuya regla puedes elegir; sabes que el juego dura exactamente diez rondas.

Contra ojo por ojo, el mejor total en diez rondas es 32: cooperar nueve veces y traicionar en la última, cuando ya no se te puede castigar. Contra siempre traicionar, nada supera 10. Contra siempre cooperar puedes sacar 50. La jugada correcta depende de quién está del otro lado, y eso es toda la materia en una frase.

Juegos repetidos: cuando el mañana cambia el hoy

Si te encuentras con la misma persona una y otra vez, la lógica cambia: traicionar hoy invita a la venganza mañana. En 1980 el politólogo Robert Axelrod invitó a teóricos de juegos a enviar programas para un dilema del prisionero repetido, y cada programa jugó 200 jugadas contra cada uno de los otros. El ganador, en este torneo y en un segundo, más grande, fue la entrada más simple: ojo por ojo (tit for tat), enviada por el psicólogo y teórico de juegos Anatol Rapoport. Coopera primero y luego copia la última jugada del oponente. El libro de Axelrod de 1984, La evolución de la cooperación (The Evolution of Cooperation), sacó la lección: las estrategias exitosas eran amables (nunca traicionan primero), provocables (castigan la traición de inmediato), indulgentes (vuelven a cooperar) y claras (fáciles de leer).

Ojo por ojo nunca le gana a la pareja que enfrenta; lo mejor que puede hacer en un solo enfrentamiento es empatar. Ganó sacando buenos puntajes de casi todos. Haz tu propio torneo pequeño. Seis tipos de jugadores se enfrentan en un todos contra todos de 200 rondas; añade copias de Siempre traicionar y mira si cambia el ganador.

Sin participantes que siempre traicionan, las estrategias amables y que responden llenan los primeros lugares. Añade más traidores y el campo se endurece: los traidores suben a la cima cuando hay suficientes cooperadores ingenuos y jugadores de moneda al aire a quienes explotar, mientras sus puntajes entre sí se quedan en 1. El éxito en un juego repetido depende de quién más juega. Activa los errores del 5% y ojo por ojo también pierde terreno: tras una traición accidental, dos jugadores de ojo por ojo pueden quedar atrapados en una espiral de represalias mutuas. Trabajos posteriores encontraron que variantes más indulgentes, como ojo por ojo generoso, y la regla de Pavlov, rinden mejor en mundos con ruido. La cooperación sin árbitro necesita un futuro que valga la pena proteger, y por eso las relaciones largas, las reputaciones y los tratos repetidos sostienen una confianza que los encuentros únicos no pueden.

Un caso donde esto importa mucho son los carteles: empresas que acuerdan no competir en precios. Cada una gana si el acuerdo se mantiene, pero cada una podría ganar más rompiéndolo, y es justo un dilema del prisionero repetido. Los programas de clemencia o delación compensada lo rediseñan a propósito: quien confiesa primero y aporta pruebas recibe una reducción o la exención de la multa, de modo que delatar se convierte en una jugada atractiva para cada miembro del cartel. La Unión Europea puso en marcha su primer programa de clemencia en 1996, y según la literatura la detección de carteles aumentó notablemente donde se aplicaron. En Chile la delación compensada llegó con la Ley 20.361; su origen práctico fue el caso de las farmacias, en el que una de las cadenas denunció ante la Fiscalía Nacional Económica el acuerdo de precios en el que participaba.

Juegos de coordinación: cuando solo hay que coincidir

No todo juego es un conflicto. En el juego de manejar, los dos quieren elegir el mismo lado; cuál lado importa poco. Carga "De qué lado manejar" arriba: dos equilibrios, ambos buenos, y nada en los pagos dice cuál. Las convenciones (manejar por la izquierda en el Reino Unido, Japón e India; por la derecha en España, en Hispanoamérica y en casi todo el resto del mundo) son equilibrios elegidos por la historia. La caza del ciervo añade riesgo: si ambos cazan ciervo obtienen 4 cada uno, pero cazar una liebre solo es seguro y da 3. Otra vez dos equilibrios, uno mejor pero más arriesgado. Thomas Schelling, en The Strategy of Conflict (1960), notó que cuando los pagos no pueden elegir, los jugadores usan puntos focales: la opción obvia y saliente, como encontrarse "bajo el reloj" de una estación. Muchos fracasos reales, de las corridas bancarias a las guerras de estándares, son juegos de coordinación atascados en el mal equilibrio.

Juegos secuenciales: la amenaza creíble

Cuando los jugadores mueven por turnos, se resuelve el juego hacia atrás: empieza por el final, mira qué haría el último que mueve y retrocede. Piensa en una empresa que decide si entra a un mercado dominado por otra, la establecida. La establecida dice: "Si entras, empiezo una guerra de precios". ¿Debe creerle la entrante? Solo si pelear es realmente lo mejor para la establecida después de que la entrada ocurra. Si, una vez dentro la entrante, la guerra le costaría más que repartir el mercado, la amenaza está vacía. Una entrante racional lo ve y entra. El refinamiento del equilibrio de Nash de Reinhard Selten, el equilibrio perfecto en subjuegos, descarta esas amenazas vacías.

El deslizador tiene un umbral. Si la guerra vale menos de 5 para la establecida, la amenaza está vacía y la entrante entra sin problema. Sube el valor de la guerra por encima de 5, o usa el botón de compromiso, y la amenaza se vuelve creíble, la entrante no entra y la establecida nunca tiene que pelear. Los mecanismos de compromiso (capacidad ociosa ya construida, un contrato que castiga echarse atrás, una reputación) tienen esta propiedad extraña: al quitarte opciones a ti mismo pueden dejarte mejor.

Subastas: ofrece tu valor, o recórtalo

Una subasta es un juego donde las reglas deciden los pagos. En una subasta de sobre cerrado a segundo precio, gana la oferta más alta pero se paga solo la segunda más alta. William Vickrey la analizó en 1961 (los coleccionistas de sellos la usaban desde 1893). Aquí ofrecer exactamente tu verdadero valor es una estrategia dominante: ofrecer más arriesga pagar por encima de lo que vale, ofrecer menos arriesga perder algo que te habría dejado ganancia. En una subasta a primer precio pagas lo que ofreces, así que recortas tu oferta por debajo de tu valor: cambias una ganancia mayor si ganas por menos probabilidad de ganar. Con cuatro postores cuyos valores son igualmente probables en todo un rango, la oferta de equilibrio es tres cuartos de tu valor (en general, (n−1)/n).

Mueve la parte. En el segundo precio tu ganancia llega al máximo con el 100% de tu valor; en el primer precio, cerca del 74%. Fíjate también en el ingreso promedio del vendedor: es de unos 60 en ambos formatos, un primer vistazo al teorema de equivalencia de ingresos. Las subastas reales difieren del caso de libro. Cuando los postores no están seguros del verdadero valor del objeto (concesiones petroleras, espectro), el ganador suele ser quien más lo sobreestimó: la maldición del ganador.

Diseño de mecanismos: diseña el juego y deja que la gente lo juegue

La teoría de juegos pregunta: dadas las reglas, ¿qué harán los jugadores? El diseño de mecanismos le da la vuelta: ¿qué reglas harían que jugadores egoístas hagan lo que queremos? Dos casos famosos.

Subastas del espectro. Los gobiernos son dueños de las frecuencias de radio y necesitan entregarlas a las compañías de telefonía. Durante décadas usaron concursos de belleza y loterías. Desde julio de 1994, la Comisión Federal de Comunicaciones de EE. UU. organizó en cambio una subasta "simultánea de múltiples rondas", donde muchas licencias relacionadas se venden juntas a lo largo de muchas rondas y los postores ven las ofertas de los demás. Teóricos como Paul Milgrom y Robert Wilson ayudaron a darle forma, y compartieron el Nobel de Economía de 2020 por mejoras a la teoría de subastas y nuevos formatos. En 2000, la subasta de 3G del Reino Unido recaudó 22,500 millones de libras con cinco licencias.

Intercambio de riñones. Muchas personas que necesitan un riñón tienen un donante dispuesto que es del tipo de sangre equivocado. Vender riñones es ilegal casi en todas partes, así que los precios no pueden emparejar a la gente. Alvin Roth, Tayfun Sönmez y Utku Ünver diseñaron algoritmos (su artículo de 2004 en el Quarterly Journal of Economics) en los que el donante de la pareja A da al paciente de la pareja B mientras el donante de B da al de A: un intercambio, extendido a ciclos más largos y a cadenas iniciadas por un donante altruista. El primer intercambio emparejado registrado fue en Corea del Sur en 1991 y el primero en EE. UU. en 2000; hacia 2012, el Registro Nacional de Riñones de EE. UU. organizó una cadena de 60 cirugías, y hacia 2014 una de 70. Roth compartió el Nobel de Economía de 2012 con Lloyd Shapley por la teoría de las asignaciones estables y la práctica del diseño de mercados.

La teoría de juegos predice lo que hace la gente bajo las reglas. El diseño de mecanismos elige las reglas.

Lo que un graduado ve sin pensarlo

• Antes de preguntar qué hará alguien, pregunta qué haría si esperara que tú hicieras cada una de tus opciones.
• Una estrategia dominante no requiere adivinar al otro jugador. Si existe, resuelve el juego.
• Un equilibrio de Nash es estable, no bueno. El equilibrio del dilema del prisionero deja a ambos peor que cooperando.
• La repetición cambia el juego: cooperar puede ser racional cuando el futuro es largo y traicionar se puede castigar.
• Una amenaza cuenta solo si cumplirla te conviene cuando llegue el momento. Si no, construye un compromiso o espera que te prueben.
• Cuando los pagos no eligen entre equilibrios, elige el punto focal: la saliencia, la convención, una historia compartida.
• En una subasta a segundo precio, ofrece tu valor. En una a primer precio, recórtalo. Las reglas deciden cómo se comporta la gente.
• Cuando un mercado no puede usar precios, aún puedes diseñar las reglas.

Dónde aparece después

• Estrategia y competencia (34/43): las empresas que fijan precios, construyen capacidad y deciden si entrar juegan los juegos de arriba.
• Precios (34/48): los descuentos, el igualar precios y las tarifas dinámicas son juegos con clientes y competidores.
• Economía conductual (34/27): la siguiente pieza pregunta cuándo las personas reales no juegan el equilibrio, como en el juego del ultimátum.
• Derecho mercantil y ética empresarial (34/13) y el derecho de la competencia: los programas de clemencia contra los carteles son diseño de mecanismos aplicado.
• Aprendizaje automático (34/30) y Redes de computadoras (en inglés, 34/27): las IA que juegan y el control de congestión aplican estas ideas.
• En el mundo: subastas de publicidad en línea, ventas de espectro, emparejamiento de escuelas y hospitales, tratados del clima, control de armas.

Si quieres profundizar

• 📘 Libro de texto. Robert Gibbons, Un primer curso de teoría de juegos (Antoni Bosch editor; el original es Game Theory for Applied Economists, Princeton, 1992). Corto y muy usado en los programas de economía.
• 📘 Libro de texto (en inglés). Martin Osborne, An Introduction to Game Theory (Oxford). Un tratamiento de pregrado más completo, con muchos juegos resueltos.
• 📘 Más amable. Avinash Dixit y Barry Nalebuff, Pensar estratégicamente (Antoni Bosch editor; es la edición en español de Thinking Strategically, la versión anterior de The Art of Strategy, 2008), y Robert Axelrod, The Evolution of Cooperation (1984, en inglés). Casos reales, casi sin álgebra.
• 🌐 Curso gratuito. Curso gratis de Introducción a la Teoría de Juegos, en eumed.net y en español: dilema del prisionero, el modelo halcón-paloma, estrategias reactivas, duopolio y la tragedia de los comunes. Para más profundidad, Open Yale Courses ECON 159: Game Theory (en inglés; Ben Polak, 24 clases grabadas en el otoño de 2007), con equilibrio de Nash, inducción hacia atrás y señalización.